中考復(fù)習(xí)-利用軸對稱性質(zhì)求幾何最值

1、.PAGE .軸對稱中幾何動(dòng)點(diǎn)最值問題總結(jié)軸對稱的作用是搬點(diǎn)移線,可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到新的圖形中,為應(yīng)用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個(gè)：1兩點(diǎn)之間線段最短；2三角形兩邊之和大于第三邊；3垂線段最短。初中階段利用軸對稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結(jié)為：兩點(diǎn)一線,兩點(diǎn)兩線,一點(diǎn)兩線三類線段和的最值問題。下面對三類線段和的最值問題進(jìn)行分析、討論。兩點(diǎn)一線的最值問題: 兩個(gè)定點(diǎn) +一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題特征：已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè),在直線上求一動(dòng)點(diǎn)的位置,使動(dòng)點(diǎn)

2、與定點(diǎn)線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的線段和中只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn),解決這類題目的方法是找出任一定點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),連結(jié)這個(gè)對稱點(diǎn)與另一定點(diǎn),交直線于一點(diǎn),交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)滿足最值的位置。 變異類型：實(shí)際考題中,經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形,比如等腰三角形,等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形,即其中一個(gè)定點(diǎn)的對稱點(diǎn)就在這個(gè)圖形上。1. 如圖,等邊ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),若AE=2,EM+CM的最小值為A4 B.8 C. D. 2.如圖,等邊ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線,F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),若AE=2

3、,當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí),則ECF的度數(shù)為 A15 C.30 D. 453.如圖,RtABC中,AC=BC=4,點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),在CD上找一點(diǎn)P,使PA+PE最小,則這個(gè)最小值是 _.4.2006XX如圖,在ABC中,AC=BC=2,ACB=90,D是BC邊的中點(diǎn),E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),則EC+ED的最小值是_.5.如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),BE=2,AE=3BE,P是AC上一動(dòng)點(diǎn),則PB+PE的最小值是A B. C. D. 106.2009XX如圖所示,正方形ABCD的面積為12,ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE

4、的和最小,則這個(gè)最小值為 A23 B. 26 C. 3 D. 6一點(diǎn)兩線的最值問題: 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+一個(gè)定點(diǎn)問題特征：已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線之間,分別在兩直線上確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)使線段和最短。核心思路：這類問題實(shí)際上是兩點(diǎn)兩線段最值問題的變式,通過做這一定點(diǎn)關(guān)于兩條線的對稱點(diǎn),實(shí)現(xiàn)搬點(diǎn)移線,把線段移到同一直線上來解決。變異類型：例1 ：如圖6,接力賽場上,甲同學(xué)站在L1、L2兩條交叉跑道之間的任意一點(diǎn)A處,要將接力棒傳給站在L1跑道上的乙同學(xué),乙同學(xué)要將接力棒傳給站在L2跑道上的丙同學(xué),丙同學(xué)跑回A處,試找出乙丙同學(xué)所站的最佳位置使比賽的路程最短。1. 如圖,已知AOB的大小為,P是AOB內(nèi)部

5、的一個(gè)定點(diǎn),且OP=2,點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),若PEF周長的最小值等于2,則= A30 B.45 C.60 D.902.如圖,AOB=30,內(nèi)有一點(diǎn)P且OP=,若M、N為邊OA、OB上兩動(dòng)點(diǎn),那么PMN的周長最小為 A26 B.6 C. 6/2 D. 63.如圖,在ABC中,C=90,CB=CA=4,A的平分線交BC于點(diǎn)D,若點(diǎn)P、Q分別是AC和AD上的動(dòng)點(diǎn),則CQ+PQ的最小值是_4.在銳角三角形ABC中,AB=4,BAC=60,BAC的平分線BC于D,M、N分別是AD與AB上動(dòng)點(diǎn),則BM+MN的最小值是_ 兩點(diǎn)兩線的最值問題: 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+兩個(gè)定點(diǎn)問題特征：兩動(dòng)點(diǎn),其中一個(gè)隨另一

6、個(gè)動(dòng)一個(gè)主動(dòng),一個(gè)從動(dòng),并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變。核心思路：用平移方法,可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn),轉(zhuǎn)化為兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)類型來解。變異類型：例1如圖4,河岸兩側(cè)有、兩個(gè)村莊,為了村民出行方便,計(jì)劃在河上修一座橋,橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？解析：設(shè)橋端兩動(dòng)點(diǎn)為、,那么點(diǎn)隨點(diǎn)而動(dòng),等于河寬,且垂直于河岸。將向上平移河寬長到,線段與XX岸線的交點(diǎn)即為橋端點(diǎn)位置。四邊形為平行四邊形,此時(shí)值最小。那么來往、兩村最短路程為：。2如圖,在直角坐標(biāo)系中有線段AB,AB=50cm,A、B到x軸的距離分別為10cm和40cm,B點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為30cm,現(xiàn)在在x軸、y軸上分別有動(dòng)點(diǎn)P、Q,當(dāng)四邊形PA

7、BQ的周長最短時(shí),則這個(gè)值為A50 B.505 C. 505-1 D. 505-13.在平面角坐標(biāo)系中,矩形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上,為邊的中點(diǎn)。1若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo)；2若,為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,當(dāng)四邊形的周長最小時(shí),求點(diǎn),的坐標(biāo)。解析：作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),則,。1連接交軸于點(diǎn),連接,此時(shí)的周長最小。由可知,那么,則。2將向左平移2個(gè)單位到點(diǎn),定點(diǎn)、分別到動(dòng)點(diǎn)、的距離和等于為定點(diǎn)、到動(dòng)點(diǎn)的距離和,即。從而把兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)類問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)類型。在上截取,連接交軸于,四邊形為平行四邊形,。此時(shí)值最小,則四邊形的周長最小。由、可求直

8、線解析式為,當(dāng)時(shí),即,則。也可以用1中相似的方法求坐標(biāo)兩點(diǎn)兩線的最值問題: 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+兩個(gè)定點(diǎn)問題特征：兩動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動(dòng),一動(dòng)點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小。核心思路：利用軸對稱變換,使一動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上兩點(diǎn)之間線段最短,且這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對稱點(diǎn)所在直線連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短時(shí),兩線段和最小,最小值等于這條垂線段的長。變異類型：演變?yōu)槎噙呅沃荛L、折線段等最值問題。例520XXXX省中考如圖6,在銳角中,的平分線交于點(diǎn),、分別是和上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為 4 。解析：角平分線所在直線是角的對稱軸,上動(dòng)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在上,當(dāng)

9、時(shí),最小。作于,交于,作交于,2：如圖9,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC10cm,在AC,AB上各取一點(diǎn)M,N,使BMMN的值最小,求這個(gè)最小值。分析：在ABC中,AB=20cm,BC10cm,由勾股定理得AC=10cm,由ACBO=ABBC,得BO=4cm,所以BB=8cm。 由ABCBNB,得BN16cm ,即BMMN的最小值為16cm 。 3 ：如圖5,MON=30,邊OM、ON分別有定點(diǎn)A、D,OA=2,OD=5,在ON、OM邊上確定動(dòng)點(diǎn)B、C的位置,使折線ABCD的長度最短,這時(shí)折線ABCD的長度為分析：若A位于ON的另一側(cè),D位于OM的另一側(cè),則連接AD與OM、ON邊相交可得B、C點(diǎn)的位置?？梢韵朕k法在保持線段AB、CD長度不變的情況下,將點(diǎn)A搬至ON的另一側(cè),將點(diǎn)D搬至