超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布

1、超幾何分布、二項分 布、正志分布時間：2021.03.05創(chuàng)作：歐陽理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、通過實例，理解超幾何分布及其特點， 掌握超幾何分布列及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng) 用。2、理解n次獨立重復(fù)試驗（即n重伯努利試驗）及其 意義，理解二項分布并能解決一些簡單的實際問題。3、借助直觀圖，了解是正態(tài)分布曲線與正態(tài)分布， 認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線表示的意義。4、會查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，會求滿足正態(tài)分布的隨機(jī) 變量 x 在某一范圍內(nèi)的概率?！局攸c與難點】重點：正確理解超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布的意義。難點：正確進(jìn)行超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布 有 關(guān) 概 率 的 計 算?！局R要點】1、超幾何分

2、布：一般地，老一個.一 g rer-頊-日一破隨機(jī)變量x的分布列為：P(x=r)= C昏 其中r =0, 1, 2, 3, ,L ! = min(n, M),則稱 x 服從超幾何分布。記作 xH(n, M, N),并將 P(x = r)= ，記 為 H(r , n , M , N) 。如：在一批數(shù)量為N件的產(chǎn)品中共有 M件不合格 品，從中隨機(jī)取出的n件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)x的概率 分 布 列 如 表 一 所 示：乂=工:012IFh=r)piMN-MCh t 1 n 1- IM -FMCk9 p w2FHb.HL a 尸 * ECk其中j = min(n , M),滿足超幾何分布。2、伯努利試驗

3、(n次獨立重復(fù)試驗)，在n次相互獨 立試驗中，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的結(jié)果A 與a 出現(xiàn)，P(A) = p(0, 1),這樣的試驗稱為n次獨立重復(fù) 試驗， 也稱為伯 努利試驗。P(藍(lán)) = 1p = q,則在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率(0MkMn)為P(k)=d一k=0, 1,2, 3, ., n),它恰好是(q + p)n的二項展開式中的第k+1項。3、二項分布：老隨機(jī)變量x的分布列為p(x = k) = 。七一七其中 0VpV1, p + q=1, k = 0, 1, 2,n,則稱x服從參數(shù)為n、p的二項分布，記作xB(n, p)。如/ n次射擊中，擊中目標(biāo)k次的試驗

4、或投擲骸子n 次，出現(xiàn)k次數(shù)字5的試驗等均滿足二項分布。3、正志分布曲線。(1)概率密度曲錢/ 當(dāng)數(shù)據(jù)無限 楮多且組距無限縮小，那么頻率直方圖的頂邊無限縮小 乃至形成一條光滑的曲錢，則稱此曲錢為概率密度曲 錢。正態(tài)密度曲錢/ 概率密度曲錢對應(yīng)表達(dá)式為P(x)=(x R)的曲錢稱之為正態(tài)密度曲錢。正態(tài)密度曲線圖象特征：當(dāng)xV四時曲錢上升；當(dāng) x四時曲錢下 降/當(dāng)曲錢向左右兩邊無限延伸時，以x軸 為漸 近 線。正態(tài)曲線關(guān)于直錢x =四對稱。O越大，正態(tài)曲線越扁平/ O越小，正態(tài)曲線越尖陡。在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1。4、正態(tài)分布：若x是一個隨機(jī)變量，對任意區(qū)間（負(fù) 虬P（t邱句恰

5、好是正態(tài)密度曲線下方和x軸上（負(fù)3上 方所圍成的圖形的面積，我們就稱隨機(jī)變量x服從參數(shù) 為四和o的正態(tài)分布，簡記為xN（四,o2）。在現(xiàn)實世界中很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布。如：反 復(fù)測量某一個物理量，其測量誤差x通常被認(rèn)為服從正 態(tài)分布；某一地區(qū)同性別同年齡組兒童的體重 W 也近似地 服 從 正 態(tài) 分 布老xN（四，02）,則隨機(jī)變量x在四的附近取值的概率很大，在離四很遠(yuǎn)處取值的概率很少。如圖一所示： 隨機(jī)變量X取值落在區(qū)間（四-O,四+。）上的概率約為 68.3%,落在區(qū)間（四一 2o,四+ 2o）上的概率約為95.4%, 落在區(qū)間（四-3。，四+ 3。）上的概率約為99.7%。其中，四實際

6、上就是隨機(jī)變量x的均值，。2為隨機(jī) 變量x的方差，它們分別反映x取值的平均大小和穩(wěn)定 程度。5、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：正態(tài)分布N（0, 1）稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)1 r 2分布，此時，P（x） = “ （xR）,通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 表可以確定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的有關(guān)概率。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，在多種微小因素影響下，如果沒有 一種影響占主導(dǎo)地位，則這樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分 布，特別是在獨立地大數(shù)量重復(fù)試驗時，就平均而言， 任何一個隨機(jī)變量的分布都將趨近于正態(tài)分布，這就是 中心極限定理，中心極限定理告訴我們在平均重復(fù)觀察 多次后，我們可以利用正態(tài)分布對隨機(jī)事件進(jìn)行分析和 預(yù)報。可以證明，對任一正態(tài)分布xN（p,。2

7、）來說，都可 以通過z =一轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布zN（0 , 1）。6、利用 Excel進(jìn)行有關(guān)概率計算。超幾何分布函數(shù)材尊：接“插入/函數(shù)/統(tǒng)材”選擇 超幾何分布函數(shù)“HYPGEOMDIST”，然后依次輸入r、 n、M、N的值，或直接在單元格內(nèi)輸入“= HYPGEOMDIST(4； 5 , 10, 30)”即可得到后邊例 1中 H(4 ； 5 , 10 , 30)的值， 約為 0.029472443。二項分布函數(shù)材尊：選擇“插入/函數(shù)/統(tǒng)材”，選擇二項分布函數(shù)“BINOMDIST”，然后依提示輸入相應(yīng)的 參數(shù)k、n、p的值，或在單元格內(nèi)直接輸入“= BINOMDIST(80, 10000, 0

8、.006, 1)”即可得到后面例 4 中 P(x80) 的 值， 約 為 0.994。正態(tài)分布函數(shù)材尊：選擇“插入/函數(shù)/統(tǒng)材”，選擇正態(tài)分布函數(shù)“NORMDIST”，輸入相應(yīng)參數(shù)x、四、。 的值，或在單元格內(nèi)直接輸入 “ =NORMDIST(184.5 , 184, 2.5, 1)”，就可得到后邊例6中P(x184.5)的值， 約為0.5793。7、二項分布的近似計算。對于二項分布函數(shù)，當(dāng)n 比較大，而p比較小(p0.1),而乘積np大小“適中”時，可以利用近似公式P(x = k) = Z# 來材尊?！镜湫屠}分析】例1：高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲：在一個口袋中裝有10個紅球，20

9、個 白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出 5個 球，摸到4個紅球一個白球就中一等獎，求中一等獎的 概率。解：以30個球為一批產(chǎn)品，其中紅球為“不合格 品”，隨機(jī)抽取5個球，x表示抽到的紅球數(shù)，則 x服從超幾何分布 H(5 , 10 , 30), 由超幾何分布公式 可得/ H(4 / 5 , 10 , 30)= 疏寫；廣如展20 = 7叩C% 142506237510.0295,所以獲一等獎的概率約為 2.95%。例2/生產(chǎn)方提供50箱的產(chǎn)品中，有兩箱不是合格 產(chǎn)品，采購方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任 取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若其中的不合格產(chǎn)品不超過一 箱，則接收該批產(chǎn)品，問：該批產(chǎn)品

10、被接收的概率是多 少？解：用x表示5箱中的不合格品的箱數(shù)， 則 x服從超幾何分布 H(5 , 2 , 50), 這批產(chǎn)品被接收的條件是5箱中有0或1箱不合格產(chǎn)品，故該產(chǎn)品被接收的概率為P(x1)即:.-H U .-H Jpl .-H 4Wf： *嚀-，傳P(x1) = P(x = 0) + P(x = 1) = C% 饋48 x 47Y46 x45x44 ,4:x 47x451 x+辦，.巾，掃.z P4 5h4 苔芳 E 4苔-1.：2?：.*_日：坦如引9濯裁47天如= 匚斜 =5x4m3x；2x145:x44+2:x45.k5=丸即243=芥-0.992答 /該批產(chǎn)品被接收的概率約為99

11、.2%。例3/求拋擲100次均勻硬幣，正好出現(xiàn)50次正面 向上 的 概 率。分析/將一枚均勻硬幣隨機(jī)拋擲100次，相當(dāng)于做 了 100次獨立重復(fù)試驗，每次試驗有兩個可能結(jié)果，即 出現(xiàn)正面(A)與出現(xiàn)反而(瓦)且P(A) = P(W = 0.5。解/設(shè)x為拋擲100次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，依題意隨機(jī)變量 xB(100 , 0.5),則 P(x = 50)=曜尹皿f=cM5皿-8%。答/隨機(jī)拋擲100次均勻硬幣，正好出現(xiàn)50次正面 的 概 率 約 為 8%。例4 :某保險公司規(guī)定，投保者每人每年交付公司 保險費120元的人身意外保險，則投保者意外傷亡時， 公司將賠償10000元，如果已知每人每年意外

12、死亡的概 率為0.006,若該公司吸收10000人參加保險，問該公司 賠本及盈利額在 400000元以上的概率分別有多大？解：設(shè)這10000人中意外死亡的人數(shù)為x , 根據(jù)題意，x B(10000 , 0.006) , P(x = k)= 成叩叩皿七(IT皿嚴(yán)碩T,當(dāng)死亡人數(shù)為x人時，公司要賠償x萬元， 此時，公司的利潤為(120 - x)萬元， 由上述分布，公司賠本的概率為：P(120 - x0) = 1 - P(x40)P(x40)P(x80)K 0.006 x0.99410i，)0-0.994即公司約有99.4%的概率可以賺到400000元以上。 TOC o 1-5 h z 例5 :若隨

13、機(jī)變量ZN(0 , 1)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 表，求/P(z 1.52) ； (3)P(0.57 V z2.3)； HYPERLINK l bookmark22 o Current Document (1)P(z0.9357:P(z 1.52) = 1 - P(z1.52) = 1 - 0.9357 = 0.0643。P(0.57 V z2.3) = P(z2.3) - P(z0.57) = 0.9893 - HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 0.7157=0.2736。P(z1.49) = 1 - P(z 184.5) = P) = P(z 0.2)=1 - P(z0.2) = 1 - 0.5793 = 0.4207。,179184 qf 4 1費 T 湃.G(2)P(179 V x189) = P 樊： K- j= P( - 2 V z2) = P(z2) - P(z - 2)=P(z2) = P(z2) - 1 - P(z2)=2P(z2) - 1 = 2x0.9772 - 1 = 0.9544答/隨機(jī)抽取一罐，其實際凈重超過184.5g的概率 是0.4207，在179g與189g之間的概率是 0.9544。例7/某電話站為300個電話用戶服務(wù)，在一個小 時內(nèi)每一個電話用戶，