(通用版)高考數(shù)學(文數(shù))一輪復習考點梳理與過關(guān)練習21《等差數(shù)列及其前n項和》(含詳解)

1、考點21 等差數(shù)列及其前n項和（1）理解等差數(shù)列的概念.（2）掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.（3）能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應的問題.（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.一、等差數(shù)列1等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為常數(shù)2等差中項如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，且 SKIPIF 1 0 3等差數(shù)列的通項公式及其變形 以 SKIPIF 1 0 為首項，d為

2、公差的等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式為 SKIPIF 1 0 公式的變形： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 4等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由等差數(shù)列的通項公式 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為常數(shù)（1）當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 在一次函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象上，數(shù)列 SKIPIF 1 0 的圖象是直線 SKIPIF 1 0 上均勻分布的一群孤立的點，且當 SKIPIF 1 0

3、時數(shù)列 SKIPIF 1 0 為遞增數(shù)列，當 SKIPIF 1 0 時數(shù)列 SKIPIF 1 0 為遞減數(shù)列（2）當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，等差數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列 SKIPIF 1 0 的圖象是平行于x軸的直線（或x軸）上均勻分布的一群孤立的點二、等差數(shù)列的前n項和 1等差數(shù)列的前n項和首項為 SKIPIF 1 0 ，末項為 SKIPIF 1 0 ，項數(shù)為n的等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和公式： SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0

4、，即 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 是關(guān)于n的二次函數(shù)，點 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的圖象上一系列孤立的點； SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 是關(guān)于n的一次函數(shù) SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 或常函數(shù) SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 是直線 SKIPIF 1 0 上一系列孤立的點我們可以借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究等差數(shù)列的前n項和的相關(guān)問題2用前n項和公式法判定等差數(shù)列等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系給出了一

5、種判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列的方法：若數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和 SKIPIF 1 0 ，那么當且僅當 SKIPIF 1 0 時，數(shù)列 SKIPIF 1 0 是以 SKIPIF 1 0 為首項， SKIPIF 1 0 為公差的等差數(shù)列；當 SKIPIF 1 0 時，數(shù)列 SKIPIF 1 0 不是等差數(shù)列三、等差數(shù)列的性質(zhì)1等差數(shù)列的常用性質(zhì)由等差數(shù)列的定義可得公差為 SKIPIF 1 0 的等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 具有如下性質(zhì)：（1）通項公式的推廣： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2）若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

6、0 特別地，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 有窮等差數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，都等于首末兩項的和，即 SKIPIF 1 0 （3）下標成等差數(shù)列的項 SKIPIF 1 0 組成以md為公差的等差數(shù)列（4）數(shù)列 SKIPIF 1 0 是常數(shù) SKIPIF 1 0 是公差為td的等差數(shù)列（5）若數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列，則數(shù)列 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是常數(shù) SKIPIF 1 0 仍為等差數(shù)列（6）若 SKIPIF 1 0 ，則

7、 SKIPIF 1 0 2與等差數(shù)列各項的和有關(guān)的性質(zhì)利用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式易得等差數(shù)列的前n項和具有如下性質(zhì)：設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 （公差為d）和 SKIPIF 1 0 的前n項和分別為 SKIPIF 1 0 ，（1）數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列，首項為 SKIPIF 1 0 ，公差為 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 構(gòu)成公差為 SKIPIF 1 0 的等差數(shù)列（3）若數(shù)列 SKIPIF 1 0 共有 SKIPIF 1 0 項，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （4）若數(shù)列 SKIPIF 1 0 共有 SKIPIF 1

8、 0 項，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （5） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 考向一 等差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列的判定與證明的方法： SKIPIF 1 0 定義法： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列； SKIPIF 1 0 定義變形法：驗證是否滿足 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 等差中項法： SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列； SKIPIF 1 0 通項公式法：通項公式形如 SKIPIF 1 0 為常數(shù) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

9、0 為等差數(shù)列； SKIPIF 1 0 前n項和公式法： SKIPIF 1 0 為常數(shù) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列注意：（1）若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 即可；（2）如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法典例1 已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，則“數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列”是“數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等

10、差數(shù)列，設(shè)其公差為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列.若數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，不能推出數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列.所以“數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列”是“數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列”的充分不必要條件，故選A【名師點睛】根據(jù)等差數(shù)列的定義，“數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列”能推出“數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列”，“數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列”不能推出“數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列”

11、，從而可得結(jié)果.1已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 .（1）若 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列，求證： SKIPIF 1 0 ；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求證： SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列.考向二 等差數(shù)列中基本量的求解1等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項 SKIPIF 1 0 和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解2等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，d，n， SKIPIF 1 0 ，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程的思想典例2 已知

12、 SKIPIF 1 0 QUOTE 為等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 為其前 SKIPIF 1 0 項和，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 _.【答案】6【解析】 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故填6典例3 在等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中，a11，S515.（1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）若數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前k項和Sk48，求k的值【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF

13、 1 0 的公差為d，則 SKIPIF 1 0 .由a11，S515，可得510d15，解得d2，故 SKIPIF 1 0 .（2）由（1）可知an32n，所以 SKIPIF 1 0 .令 SKIPIF 1 0 ，即k22k480，解得k8或k6.又 SKIPIF 1 0 ，故k8.2在等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中，已知 SKIPIF 1 0 ，公差 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 A19B18C17D16考向三 求解等差數(shù)列的通項及前n項和1求解等差數(shù)列通項公式的方法主要有兩種：（1）定義法.（2）前 SKIPIF 1

14、 0 項和法，即根據(jù)前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的關(guān)系求解.在利用定義法求等差數(shù)列通項公式時，常涉及設(shè)等差數(shù)列項的問題，等差數(shù)列中項的常見設(shè)法有：（1）通項法；（2）對稱項設(shè)法.當?shù)炔顢?shù)列 SKIPIF 1 0 的項數(shù)為奇數(shù)時，可設(shè)中間一項為 SKIPIF 1 0 ，再以公差為 SKIPIF 1 0 向兩邊分別設(shè)項： SKIPIF 1 0 ；當?shù)炔顢?shù)列 SKIPIF 1 0 的項數(shù)為偶數(shù)時，可設(shè)中間兩項分別為 SKIPIF 1 0 ，再以公差為 SKIPIF 1 0 向兩邊分別設(shè)項： SKIPIF 1 0 .2遞推關(guān)系式構(gòu)造等差數(shù)列的常見類型

15、：（1）轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 常數(shù)，則 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列；（2）轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 0 常數(shù)，則 SKIPIF 1 0 （c可以為0）是等差數(shù)列；（3）轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 0 常數(shù)，則 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列；（4）轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 0 常數(shù)，則 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列；（5）轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 0 常數(shù)，則 SKIPIF 1 0 （c可以為0）是等差數(shù)列3等差數(shù)列前n項和公式的應用方法：根據(jù)不同的已知條件選用不同的求和公式，若已知首項和公差，則使用 SKIPIF 1 0 ；若已知通項公式，則使用 SK

16、IPIF 1 0 ，同時注意與性質(zhì)“ SKIPIF 1 0 ”的結(jié)合使用.典例4 已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式【解析】當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，兩邊同時取倒數(shù)，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 是以 SKIPIF 1 0 為首項， SKIPIF 1 0 為公差的等差數(shù)列，所以 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 典例5 已知 SKIPIF 1

17、 0 為等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和，且 SKIPIF 1 0 .（1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和 SKIPIF 1 0 .【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為d，依題意得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 .故數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式為 SKIPIF 1 0 .（2）由（1）得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和 SKIPIF 1 0 .3已知等差數(shù)列 S

18、KIPIF 1 0 的前n項和 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）求 SKIPIF 1 0 考向四 數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和的求解1求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和的關(guān)鍵是分清哪些項為正的，哪些項為負的，最終轉(zhuǎn)化為去掉絕對值符號后的數(shù)列進行求和2當 SKIPIF 1 0 的各項都為非負數(shù)時， SKIPIF 1 0 的前n項和就等于 SKIPIF 1 0 的前n項和；當從某項開始各項都為負數(shù)（或正數(shù)）時，求 SKIPIF 1 0 的前n項和要充分利用 SKIPIF 1 0 的前n項和

19、公式，這樣能簡化解題過程3當所求的前n項和的表達式需分情況討論時，其結(jié)果應用分段函數(shù)表示典例6 已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 .（1）請問數(shù)列 SKIPIF 1 0 是否為等差數(shù)列？如果是，請證明；（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和.【解析】（1）由 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ，兩式相減可得 SKIPIF 1 0 于是由 SKIPIF 1 0 可知數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列.（2）記數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0

20、項和為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .故數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 .典例7 設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 （1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和 SKIPIF 1 0 【解析】（1）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，則有.當時，；當時，.從而，即，解得.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，當時，所以有當時，；當時，.綜上， SKIPIF 1 0 . 4已知 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1

21、 0 項和， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）求 SKIPIF 1 0 ；（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 .考向五 等差數(shù)列的性質(zhì)的應用等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎(chǔ)知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題.解題時要注意性質(zhì)運用的限制條件，明確各性質(zhì)的結(jié)構(gòu)特征是正確解題的前提如 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，只有當序號之和相等、項數(shù)相同時才成立典例8 已知等差數(shù)列的公差 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則

22、 SKIPIF 1 0 _【答案】180【解析】由 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 .則 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 .典例9 一個等差數(shù)列的前10項的和為30，前30項的和為10，求前40項的和【解析】方法1：設(shè)其首項為 SKIPIF 1 0 ，公差為d，則 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 方法2：易知數(shù)列 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列，設(shè)其公差為 SKIPIF 1 0 ，則前3項的和為 SKIPIF 1 0 ，即 SK

23、IPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 方法3：設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 方法4：因為數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列，所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 也是等差數(shù)列，點 SKIPIF 1 0 在一條直線上，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三點共線，于是 SKIPIF 1 0 ，將 SKIPIF 1 0 ， SKI

24、PIF 1 0 代入解得 SKIPIF 1 0 方法5：因為 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 方法6：利用性質(zhì)： SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 方法7：利用性質(zhì)：當 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 5等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和分別為 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，若

25、 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 考向六 等差數(shù)列的前n項和的最值問題1二次函數(shù)法： SKIPIF 1 0 ，由二次函數(shù)的最大值、最小值的知識及 SKIPIF 1 0 知，當n取最接近 SKIPIF 1 0 的正整數(shù)時， SKIPIF 1 0 取得最大（?。┲档珣⒁猓罱咏?SKIPIF 1 0 的正整數(shù)有1個或2個注意：自變量n為正整數(shù)這一隱含條件.2通項公式法：求使 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )成立時最大的n值即可一般地，等差數(shù)列 SKIPIF

26、1 0 中，若 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則若 SKIPIF 1 0 為偶數(shù)，則當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 最大；若 SKIPIF 1 0 為奇數(shù)，則當 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 最大3不等式法：由 SKIPIF 1 0 ，解不等式組確定n的范圍，進而確定n的值和 SKIPIF 1 0 的最大值典例10 已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 是一個等差數(shù)列，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）求 SKIPIF 1 0 的通項 SKIPIF 1 0 ；（2）求 SKIPIF 1

27、 0 的前n項和 SKIPIF 1 0 的最大值【解析】（1）由題意知 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .（2）因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，當 SKIPIF 1 0 時，前 SKIPIF 1 0 項和取得最大值，最大值為4.典例11 已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,前n項和Sn= SKIPIF 1 0 (an+2)2.（1）求證：an是等差數(shù)列；（2）設(shè)bn= SKIPIF 1 0 an30，求數(shù)列bn的前n項和的最小值.【解析】（1）由已知得8Sn=(an+2)2,則8Sn1=(an

28、1+2)2(n2),兩式相減,得8an=(an+2)2(an1+2)2,即(an+an1)(anan14)=0.因為 SKIPIF 1 0,所以anan1=4(n2),故數(shù)列an是以4為公差的等差數(shù)列.（2）令n=1,得S1=a1= SKIPIF 1 0 (a1+2)2,解得a1=2.由（1）知an=2+(n1)4=4n2,所以bn= SKIPIF 1 0 an30=2n31.由bn=2n310,得n SKIPIF 1 0.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn,則T15最小,其值為 SKIPIF 1 0 .6已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 有最

29、大值，且 SKIPIF 1 0 ，則滿足 SKIPIF 1 0 的最大正整數(shù) SKIPIF 1 0 的值為A6B7C10D121已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的值為A51B34C64D5122已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的值為A12B15C39D423等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ,若 SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 A

30、18 B27C36 D454已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 A3 B3C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 5若 SKIPIF 1 0 是數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 是A等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D既非等比數(shù)列，也非等差數(shù)列6已知正項數(shù)列an中，a1=1，a2=2， SKIPIF 1 0 （n2），則a6=A SKIPIF 1 0 B4C16 D457我國南北

31、朝時期的數(shù)學著作張邱建算經(jīng)有這樣一個問題：今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中間三人未到者，亦等次更給，問各得金幾何？則據(jù)你對數(shù)學史的研究與數(shù)學問題的理解可知，兩個人所得金相差數(shù)額絕對值的最小值是A SKIPIF 1 0 斤B SKIPIF 1 0 斤C SKIPIF 1 0 斤D SKIPIF 1 0 斤8函數(shù) SKIPIF 1 0 為定義域 SKIPIF 1 0 上的奇函數(shù)，且在 SKIPIF 1 0 上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù) SKIPIF 1 0 ；數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列，公差不為0，若 SKIPIF 1 0 ，則

32、 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 9設(shè)各項均不為零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知 SKIPIF 1 0 ，且S100，則使不等式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 成立的正整數(shù)n的最小值是A9B10C11D1210已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 _11設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差是 SKIPIF 1 0 ，其前 SKIPIF 1 0 項和是 SKIPIF 1

33、 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的最小值是_12在等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中，已知 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 .（1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）求 SKIPIF 1 0 .13已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）當 SKIPIF 1 0 為何值時，數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和取得最大值？14已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

34、是它的前 SKIPIF 1 0 項和， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 （1）求證：數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列.（2）求 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 .15已知正項數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足： SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和.（1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，記數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項積 SKIPIF 1 0 ，試求 SKIPIF 1 0”是“S4

35、 + S62S5”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件2（2019年高考全國III卷文數(shù)）記 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 _.3（2019年高考江蘇卷）已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 是其前n項和.若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0，求使得Snan的n的取值范圍5（2016新課標全國II文科）等差數(shù)列中，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前10項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如0.9=

36、0，2.6=2變式拓展變式拓展1【解析】（1）已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列，設(shè)其公差為 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，由相加得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 .（2）由 SKIPIF 1 0 ，得當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，并整理，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列【名師點睛】本題主要考查了倒序相加法，以及等

37、差數(shù)列的證明，屬于中檔題.等差數(shù)列的證明常常運用以下兩種方法：（1）定義法，通過證明 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 為常數(shù)， SKIPIF 1 0 ）即可；（2）等差中項法：通過證明其滿足 SKIPIF 1 0 即可.2【答案】C【解析】根據(jù)題意，數(shù)列an是等差數(shù)列，且a13，公差d2，所以ana1+（n1）d3+2n22n+1，又因為am2m+1a1+a2+a3+a4+a55a335（mN*），所以m17，故選C【名師點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式，準確計算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題依題意an2n+1，且a1+a2+a3+a4+a55a335，令am35解方程即可

38、3【解析】（1）由等差數(shù)列的前n項和公式可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的通項公式為 SKIPIF 1 0 .（2） SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 以1為首項，以 SKIPIF 1 0 為公差的等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的求解，以及等差數(shù)列的求和公式，考查學生的計算能力4【解析】（1）由 SKIPIF 1 0 ，及 SKIPIF 1 0 ，聯(lián)立解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （2）由（

39、1）知 SKIPIF 1 0 ，可得當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的基本量的運算，以及等差數(shù)列中絕對值的和的求解，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項，以及合理分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題5【答案】D【解析】由題意得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1

40、 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .本題正確選項為D.【名師點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應用，關(guān)鍵是能夠利用中項的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為中間項之間的比較.6【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，因為等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 有最大值，所以 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以滿足 SKIPIF 1 0 的最大

41、正整數(shù) SKIPIF 1 0 的值為10.【名師點睛】本題主要考查使等差數(shù)列前 SKIPIF 1 0 項和最大的整數(shù)，熟記等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.求解時，先設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 有最大值，得到 SKIPIF 1 0 ，再由 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及性質(zhì)，即可得出結(jié)果.考點沖關(guān)考點沖關(guān)1【答案】A【解析】因為 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列，所以 SKI

42、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以選擇A.【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列比較重要的一個性質(zhì)；在等差數(shù)列中，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，屬于基礎(chǔ)題.2【答案】B【解析】由題意得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列，且公差為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，故選擇B.【名師點睛】本題主要考查了判斷是否為等差數(shù)列以及等差數(shù)列通項的求法，屬于基礎(chǔ)題.求解本題時，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列，求出通項公式即可.3【答案】B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，

43、得 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故選B4【答案】B【解析】由數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列，公差為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故選B【名師點睛】該題考查的是有關(guān)對數(shù)值的求解問題，涉及到的知識點有指數(shù)式的運算性質(zhì)，等差數(shù)列的性質(zhì)，對數(shù)值的求解，屬于簡單題目.利用已知條件判斷出數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列，求出公差，利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡求解即可.5

44、【答案】B【解析】當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ;當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，滿足通項公式，所以此數(shù)列為等差數(shù)列.故選B.【名師點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列前n項和求數(shù)列通項，注意檢驗 SKIPIF 1 0 時的公式對 SKIPIF 1 0 是否適用.6【答案】B【解析】因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列，因為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 ，故選B【名師

45、點睛】先根據(jù)等差數(shù)列的定義及其通項公式得出 SKIPIF 1 0 ，再根據(jù)正項數(shù)列條件得an，即得a6.證明或判斷 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列的方法：(1)用定義證明： SKIPIF 1 0 為常數(shù)）；(2)用等差中項證明： SKIPIF 1 0 ；(3)通項法： SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的一次函數(shù)；(4)前 SKIPIF 1 0 項和法： SKIPIF 1 0 .7【答案】C【解析】設(shè)首項為 SKIPIF 1 0 ，公差為 SKIPIF 1 0 ，則根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 則兩個人所得金相差數(shù)額絕對值的最小值是 SKIP

46、IF 1 0 斤.本題選擇C選項.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列及其應用，屬于基礎(chǔ)題.求解時，由題意將原問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題，列方程組可得 SKIPIF 1 0 ，結(jié)合題意可確定兩個人所得金相差數(shù)額絕對值的最小值.8【答案】A【解析】由題意得： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又因為函數(shù) SKIPIF 1 0 單調(diào)且為奇函數(shù)，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故答案為A【名師點睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)，本題能得出 SKIP

47、IF 1 0 是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9【答案】C【解析】在等差數(shù)列an中，由S100，得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 ，可知數(shù)列an為遞增數(shù)列，則 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 ，當n10時， SKIPIF 1 0 0，當n11時， SKIPIF 1 0 ，使不等式 SKIPIF 1 0 成立的正整數(shù)n的最小值是11故選C【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前 SKIPIF 1 0 項和公式、等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化能力及數(shù)列的單調(diào)性應用，屬于中檔題.10【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】等差數(shù)列 SKIPI

48、F 1 0 中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 【名師點睛】根據(jù)等差數(shù)列中下標和的性質(zhì)與前n項和公式求解，即若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，這個性質(zhì)經(jīng)常和前n項和公式 SKIPIF 1 0 結(jié)合在一起應用，利用整體代換的方法可使得運算簡單11【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】由 SKIPIF 1 0 ，可知 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 (當且僅當n=4時取等號)故填 SKIPIF 1 0 12【解析】（1）因

49、為 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 .則 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 . （2） SKIPIF 1 0 構(gòu)成首項為 SKIPIF 1 0 ,公差為 SKIPIF 1 0 的等差數(shù)列.則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.（1）將已知條件轉(zhuǎn)為關(guān)于首項和公差的方程組，解方程組求出 SKIPIF 1 0 ，進而可求通項公式；（2）由已知可得 SKIPIF 1 0 構(gòu)成首項為 SKIPIF 1 0 ,公差為 SKIP

50、IF 1 0 的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項和公式計算即可.13【解析】（1）由題意，等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式為 SKIPIF 1 0 .（2）法一：由（1）知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 取得最大值法二：由（1）知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是遞減數(shù)列令 SKIPIF 1 0 ，則

51、 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 .當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 取得最大值【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式求解，以及等差數(shù)列的前n項和的最值問題，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式，以及等差數(shù)列的前n項和的最值問題的求解方法，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題14【解析】（1）當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1

52、 0 ，兩式對應相減得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又n=2時， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列.（2）當 SKIPIF 1 0 為偶數(shù)時， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ；當 SKIPIF 1 0 為奇數(shù)時， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .綜上： SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的證明，考查等差數(shù)列求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.（1）先化簡已知得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，再求出 SKIPIF 1 0 ，再證明數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列；（2）對n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論得解.15【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】（1）當 SKIPIF 1 0 時，有 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .當 SKIPIF 1 0 時，有 SKIPIF 1