向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 教案-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

1、 5/5向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】1掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，能進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。（重點(diǎn)）2能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角。計算向量的長度，會判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。（難點(diǎn)）通過向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式的學(xué)習(xí)及應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)?！窘虒W(xué)過程】一、問題導(dǎo)入我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量數(shù)量積的概念以及平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算方法，那么向量的數(shù)量積能不能進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算呢？如果可以又遵循怎樣的運(yùn)算法則呢？這節(jié)課就讓我們來學(xué)習(xí)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。二、新知探究1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】（1）已知向量a（1，2），b（2，x），且ab1，則x的值等于（

2、 ）。Aeq f(1,2) Beq f(1,2)Ceq f(3,2)Deq f(3,2)（2）已知向量a（1，2），b（3，2），則ab_，a(ab)_。（3）已知a（2，1），b（3，2），若存在向量c，滿足ac2，bc5，則向量c_。思路探究：根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程（組）來進(jìn)行求解。答案：（1）D；（2）1；4；（3）eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,7)，f(4,7)。（1）因為a（1，2），b（2，x），所以ab（1，2）（2，x）122x1，解得xeq f(3,2)。（2）ab（1，2）（3，2）（1）3221，a

3、（ab）（1，2）（1，2）（3，2）（1，2）（4，0）4（3）設(shè)c（x，y），因為ac2，bc5，所以eq blcrc (avs4alco1(2xy2，,3x2y5，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(9,7)，,yf(4,7)，)所以ceq blc(rc)(avs4alco1(f(9,7)，f(4,7)。教師小結(jié)（1）進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時，要正確使用公式abx1x2y1y2，并能靈活運(yùn)用以下幾個關(guān)系：|a|2aa；（ab）（ab）|a|2|b|2；（ab）2|a|22ab|b|2（2）通過向量的坐標(biāo)表示可實現(xiàn)向量問題的代數(shù)化，應(yīng)注意與函數(shù)、方程等知識的聯(lián)系。（3）向量數(shù)量積的

4、運(yùn)算有兩種思路：一種是向量式，另一種是坐標(biāo)式，兩者相互補(bǔ)充。2向量的模的問題【例2】（1）設(shè)平面向量a（1，2），b（2，y），若a b，則|2ab|等于（ ）。A4B5C3eq r(5)D4eq r(5)（2）已知向量a（1，2），b（3，2），則|ab|_，|ab|_。思路探究（1）兩向量a（x1，y1），b（x2，y2）共線的坐標(biāo)表示：x1y2x2y10。（2）已知a（x，y），則|a|eq r(x2y2)。【答案】（1）D；（2）2eq r(5)；4?！窘馕觥浚?）由a b，得y40，y4，b（2，4），2ab（4，8），|2ab|4eq r(5)。故選D（2）由題意知，ab（2，4）

5、，ab（4，0），因此|ab|2eq r(5)，|ab|4教師小結(jié)向量模的問題的解題策略：（1）字母表示下的運(yùn)算，利用|a|2a2將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算。（2）坐標(biāo)表示下的運(yùn)算，若a（x，y），則|a|eq r(x2y2)。3向量的夾角與垂直問題探究問題（1）設(shè)a，b都是非零向量，a（x1，y1），b（x2，y2），是a與b的夾角，那么cos 如何用坐標(biāo)表示？【提示】cos eq f(ab,|a|b|)eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2)。（2）已知a（1，1），b（，1），當(dāng)a與b的夾角為鈍角時，的取值范

6、圍是什么？【提示】a（1，1），b（，1），|a|eq r(2)，|b|eq r(12)，ab1a，b的夾角為鈍角，eq blcrc (avs4alco1(10，,r(2)r(12)1，)即eq blcrc (avs4alco1(1，,2210，)0,ab)求解。（2）可利用兩非零向量a bab0來求m?！敬鸢浮浚?）B。【解析】當(dāng)a與b共線時，2k10，keq f(1,2)，此時a，b方向相同，夾角為0，所以要使a與b的夾角為銳角，則有ab0且a，b不同向。由ab2k0得k2，且keq f(1,2)，即實數(shù)k的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,2)eq blc(

7、rc)(avs4alco1(f(1,2)，)，選B。（2）解：amb（32m，4m），ab（1，5），因為（amb）（ab），所以（amb）（ab）0，即（32m）1（4m）50，所以meq f(23,3)。教師小結(jié)（一）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟：（1）求向量的數(shù)量積。利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個向量的數(shù)量積。（2）求模。利用|a|eq r(x2y2)計算兩向量的模。（3）求夾角余弦值。由公式cos eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2)求夾角余弦值。（4）求角。由向量夾角的范圍及cos 求的值。（二）涉

8、及非零向量a，b垂直問題時，一般借助a babx1x2y1y20來解決。三、課堂總結(jié)1兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示（1）向量內(nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知a（a1，a2），b（b1，b2），則aba1b1a2b2（2）用向量的坐標(biāo)表示兩個向量垂直的條件：設(shè)a（a1，a2），b（b1，b2），則a ba1b1a2b20。2向量的長度、距離和夾角公式（1）向量的長度：已知a（a1，a2），則|a|。（2）兩點(diǎn)間的距離：如果A（x1，y1），B（x2，y2），則|eq o(AB,sup8()|eq r(x2x12y2y12)。（3）兩向量的夾角：設(shè)a（a1，a2），b（b1，b2），則cosa，b。四

9、、課堂檢測1（2019全國卷）已知向量a（2，3），b（3，2），則|ab|（ ）Aeq r(2)B2C5eq r(2)D50【答案】A?！窘馕觥縜b（2，3）（3，2）（1，1），|ab|eq r(1212)eq r(2)，故選A。2若a（3，1），b（x，2），且a，beq f(,4)，則x等于（ ）。A1B1C4D4【答案】A【解析】ab|a|b|cos eq f(,4)，3x2eq r(10)eq r(x24)eq f(r(2),2)，解得x1或x4又3x20，xeq f(2,3)，故x13設(shè)a（x，x1），b（1，2）且a b，則x_?！敬鸢浮縠q f(2,3)【解析】a b，ab0。即x2（x1）0，解，得xeq f(2,3)4已知向量a（3，1），b（1，2），求：（1）ab；（2）（ab）2；（3）（ab