不等式的證明方法及其推廣

1、 幾個著著名不等等式的推推廣及應應用3.1關于于絕對值值不等式式1441163111三角形形不等式式三角不等式式定理：3122三角形形不等式式的變形形（1）設則則有，即即（2），特特別地，當當時容易易給出不不等式的的幾何解解釋。當時，不等等式表示示直角三三角形兩兩直角邊邊之和大大于它的的斜邊： 。當時，不等等式表示示以線段段為棱長長作成的的長方體體，它的的對角線線的長小小于這些些線段的的長的和和： （3）（4）（5）設AA，B，CC為平面面上任意意三點，坐坐標分別別為，則則由及距距離公式式得： 通常也稱之之為平面面三角不不等式。32平均均值不等等式1163211算術平平均數(shù)與與幾何平平均數(shù)（1

2、）我們們知道兩兩個正數(shù)數(shù)的算術術平均數(shù)數(shù)大于等等于它們們的幾何何平均數(shù)數(shù)，即，對對于三個個正數(shù)的的算術平平均數(shù)與與它們的的幾何平平均數(shù)的的關系，也也曾作為為探究性性問題提提出過。你你有沒有有認真考考慮過：對于三三個正數(shù)數(shù)、四個個正數(shù)、甚至n個正數(shù)，都有類似的結果出現(xiàn)呢？下面我們就來研究這個問題。例：設為正正數(shù)。證證明。（說明：該該問題我我們曾采采用比較較法解決決過，為為讓同學學們加深深對該不不等式的的認識和和理解，此此處換一一個角度度來考慮慮。）證明：同理，三式相加得得，。又 所以于是結論成成立。當當且僅當當時，等等號成立立。在上例中，將將換成得到到。即三三個正數(shù)數(shù)的算術術平均數(shù)數(shù)大于等等于它

3、們們的幾何何平均數(shù)數(shù)。更一般地，可可以證明明n個正數(shù)數(shù)的算術術平均數(shù)數(shù)大于等等于它們們的幾何何平均數(shù)數(shù)。即 設為個實數(shù)數(shù)，則有有，即幾幾何平均均值不超超過算術術平均值值。當且且僅當這這n個數(shù)相相等時，等等號成立立。這就就是關于于n個正數(shù)數(shù)的算術術平均數(shù)數(shù)與幾何何平均數(shù)數(shù)的著名名不等式式，通常常稱為平平均不等等式。它它有相當當廣泛的的應用。（2）命題題：若皆皆為正數(shù)數(shù)，且=1，則則，并且且式中的的等號當當且僅當當時成立立。3222幾個平平均數(shù)的的關系平均的概念念，在人人們的日日常生活活和生產(chǎn)產(chǎn)實踐中中是經(jīng)常常遇到的的。除了了上述談談到的算算術平均均數(shù)和幾幾何平均均數(shù)之外外，還常常會用到到另外兩兩

4、種平均均數(shù)，即即平方平平均數(shù)和和調和平平均數(shù)。設為正數(shù)，則則這個數(shù)數(shù)的平方方和的算算術平均均數(shù)的算算術平方方根為 .稱為這個數(shù)數(shù)的平方方平均數(shù)數(shù)。平方方平均數(shù)數(shù)在概率率統(tǒng)計及及誤差分分析中有有著重要要的作用用。而個正數(shù)的的倒數(shù)的的算術平平均數(shù)的的倒數(shù)為為.稱為這個數(shù)數(shù)的調和和平均數(shù)數(shù)。調和和平均數(shù)數(shù)在物理理學中的的光學及及電路分分析中有有著較多多的應用用。通常又記則,四個個平均數(shù)數(shù)的關系系為：。其中等號當當且僅當當時成立立。注：這是一一組十分分重要的的不等式式，應用用很廣。在在解決初初等極值值問題中中，也提提供了一一種重要要方法。在在應用不不等式求求極值時時，必須須考慮不不等式中中等號成成立的

5、條條件，因因為極值值一般正正是在等等號成立立的時候候達到。為為了便于于以后應應用，我我們把上上述不等等式改寫寫成便于于求極值值的形式式。3.2.33平均值值不等式式的應用用例44：已已知，求求證：。證明：由知知同理：相加得：33貝努努利（BBernnoullli）不不等式163.3.11貝努利利（Beernooullli）不不等式定定理：設，則不等等式成立立。3.3.22貝努利利（Beernooullli）不不等式的的應用：例：設。證證明不等等式：等號當且僅僅當時成成立。證明：=即34排序序不等式式7166先來看一個個問題：設有110個人人各拿一一只水桶桶去接水水，若水水龍頭注注滿第個個人的水

6、水桶需要要分鐘，且且這些各各不相同同。那么么，只有有一個水水龍頭時時，應如如何安排排10個個人接水水的順序序，才能能使它們們等待的的總時間間最少？這個最最少的總總時間等等于多少少？解決這一問問題，就就需要用用到排序序不等式式的有關關內容。在在沒有找找到合理理的解決決辦法之之前，同同學們可可以猜測測一下，怎怎樣安排排才是最最優(yōu)的接接水順序序？為了了解決這這一問題題，先來來了解排排序不等等式。一般地，設設有兩組組正數(shù)與與，且，。 若若將兩組組中的數(shù)數(shù)一對一一相乘后后再相加加，則其其和同序序時最大大，倒序序時最小小。即：其中是的任任一個排排列，等等號當且且僅當或或時成立立。以上上排序不不等式也也可簡

7、記記為：反反序和亂亂序和同同序和注：這個不不等式在在不等式式證明中中占有重重要地位位，它使使不少困困難問題題迎刃而而解。例：請思考考：怎樣樣用排序序不等式式解決上上述最優(yōu)優(yōu)接水問問題？解：設是不不同于的的一個排排列。若若第一個個接水的的人拿的的是需要要分鐘才才能注滿滿的水桶桶，則接接這桶水水10人人共需等等待100分鐘；第二個個接水的的人拿的的是需要要分鐘才才能注滿滿的水桶桶，則接接這桶水水9人共共需等待待9分鐘鐘；如此繼繼續(xù)下去去，到第第10人人接水時時，只有有它一人人在等，需需要分鐘鐘。按這這樣的順順序，110人都都接滿水水所需總總時間為為10+9+2+不訪設 ，而而，由排排序不等等式得這

8、就是說，按按水桶的的大小由由小到大大依次接接水，110人等等待的總總時間最最少，這這個最少少的時間間就是。例47 、求求證：。證明：因為為有序，所所以根據(jù)據(jù)排序不不等式同同序和最最大，即即。35柯西西不等式式5177柯西不等式式是一個個非常重重要不等等式，它它在數(shù)學學和物理理方面，尤尤其是在在解決不不等式證證明的有有關問題題中有著著十分廣廣泛的應應用。與與柯西不不等式有有關的競競賽題也也頻頻出出現(xiàn)，這這充分顯顯示了它它在不等等式中的的獨特地地位。3511柯西不不等式的的幾種不不同的表表達形式式（1） （向量量形式）（2）任給給；當且且僅當時時等號成成立。 （代數(shù)數(shù)形式） 一般地，對對于實數(shù)數(shù),

9、i=1,2,n,有；當且且僅當= = = 等號成成立。 （推推廣形式式）（3） （幾何何形式）下面我們一一起來進進一步感感受柯西西不等式式的和諧諧統(tǒng)一性性，從不不同角度度體驗它它的協(xié)調調一致性性。3522柯西不不等式的的推廣（下下面出現(xiàn)現(xiàn)的都表表示實數(shù)數(shù)）（1），則則（2）（3）3533由柯西西不等式式導出的的幾個著著名不等等式(1)設AA，B，CC為平面面上任意意三點，坐坐標分別別為，則則由及距距離公式式得 通常也稱之之為平面面三角不不等式。如果將推廣廣1推廣廣到一般般的形式式，則得得到：(2)（閔閔可夫斯斯基不等等式）設設是實數(shù)數(shù)，則(3)（赫赫爾德（HHoldder）不不等式）已已知是個

10、實數(shù)數(shù)，則則(4)（赫赫爾德不不等式一一個極好好的變式式）設或或，則有有，當且且僅當時時等號成成立。(5)設則則。 將推廣廣4不等等式中的的個正數(shù)數(shù)排成行列矩陣陣：則推廣4可可敘述為為一個矩矩陣各行行元素的的乘積之之和的次次冪不超超過其各各列元素素的次冪冪之和的的乘積。注：以上所所介紹的的柯西不不等式的的推廣都都有著極極為廣泛泛的應用用，特別別是后三三個推廣廣之間有有著密切切的聯(lián)系系。應用用推廣的的柯西不不等式，許許多不等等式的證證明問題題就能夠夠輕而易易舉的解解決，并并且某些些特殊結結論的不不等式，也也能夠很很自然地地推廣到到一般性性的結論論。3544柯西不不等式的的特殊化化1、二維形形式中

11、取取，得。2、維形式式中取；則有。3、維形式式中取，則則有。取，有。我們從中可可進一步步觀察體體驗柯西西不等式式所蘊含含的形式式上的對對稱美，簡簡潔美及及和諧性性。3555柯西不不等式的的應用1、柯西不不等式在在幾何上上的應用用例1：用柯柯西不等等式證明明點到平平面的距距離：已已知平面面為，求求證點到到平面的的距離為為。證明：設為為平面上上任意一一點，有有，且構造造兩數(shù)組組和；由柯柯西不等等式得：于是有當且僅當時時，等號號成立。由由垂線段段最短可可知。同理令再利利用柯西西不等式式可得點點到直線線的距離離為。2、柯西不不等式在在代數(shù)上上的應用用（求最最值）例2：已知知正數(shù)滿滿足，且且不等式式恒成

12、立立，求的的取值范范圍。證明：由二二元均值值不等式式和柯西西不等式式得： 故參數(shù)的取取值范圍圍是。3.6閔可可夫斯基基不等式式155116設是兩組正正數(shù)，則則或 當且僅當時時等號成成立。閔可夫斯基基不等式式是用某某種長度度度量下下的三角角形不等等式的推推廣，當當時得到到平面上上的三角角形不等等式：上圖給出了了對上式式的一個個直觀理理解。若記，則上上式為3.7赫爾爾德不等等式5511517赫爾德（HHoldder）不不等式是是數(shù)學分分析的一一條不等等式，取取名自奧奧圖.赫赫爾德（Ottto Hollderr）3.7.11赫爾德德（Hollderr）不等式式已知是個實實數(shù)，則則上式中若令令，則此赫

13、赫爾德不不等式即即為柯西西不等式式。3.7.22赫爾德德（Hooldeer）不不等式的的推廣設：，,則則有：。等號成立立當且僅僅當3.8契比比雪夫不不等式153.8.11契比雪雪夫不等等式的表表達形式式若，則；當且僅當當時等號號成立。下面給出一一個時的契比比雪夫不不等式的的直觀理理解。如圖，矩形形中，顯顯然陰影影部分的的矩形的的面積之之和不小小于空白白部分的的矩形的的面積之之和，（這這可沿圖圖中線段段MN向上上翻折比比較即知知）。于于是有也即。3.8.22契比雪雪夫不等等式的應應用例：設全是是正數(shù)，且且（，），且且，求證：（1）；（2）。證明：不妨妨設，于于是，。由切比比雪夫不不等式得得（*）

14、又由均值不不等式知知；又，所所以，而，代入入（*）后整整理可得得（1）成立立。另一方面，。由切比比雪夫不不等式得得。（*）由均值不等等式：，故。又，代入（*）整理后可得（2）成立。3.9琴生生不等式式1553.9.11琴生不不等式首先來了解解凸函數(shù)數(shù)的定義義:一般的，設設f(x)是定定義在(a,b)內的的函數(shù)如如果對于于定義域域內的任任意兩數(shù)數(shù)都有則稱稱f(x)是(a,b)內的的下凸函函數(shù)，一一般說的的凸函數(shù)數(shù)，也就就是下凸凸函數(shù)，例例如，從從圖像上上即可看看出是下下凸函數(shù)數(shù)，也不不難證明明其滿足足上述不不等式。如如果對于于某一函函數(shù)上述述不等式式的等號號總是不不能成立立，則稱稱此函數(shù)數(shù)為嚴格

15、格凸函數(shù)數(shù)。注：凸函數(shù)數(shù)的定義義為我們們提供了了極為方方便地證證明一個個函數(shù)為為凸函數(shù)數(shù)的方法法。這個個方法經(jīng)經(jīng)常使用用。此外外利用二二階求導導也可以以判斷一一個函數(shù)數(shù)為凸函函數(shù)，凸凸函數(shù)的的二階導導數(shù)是非非負數(shù)。琴生不等式式的定義義：設是是內的凸函函數(shù)，則則對于內內任意的的幾個實實數(shù)有當且僅僅當時等號成成立。琴生不等式式是丹麥麥數(shù)學家家琴生于于19005年到到19006年間間建立的的。利用用琴生不不等式我我們可以以得到一一系列不不等式，比比如“冪平均均不等式式”，“加權的的琴生不不等式”等等。3.9.11.1冪冪平均不不等式設為正有理理數(shù)，則則有，當當且僅當當時等號號成立。3.9.11.2加

16、加權的琴琴生不等等式對于(a,b)內的的凸函數(shù)數(shù)，若，則則注：加權琴琴生不等等式很重重要，當當時，即即為原始始的琴生生不等式式。另外外，對于于上面有有關凸函函數(shù)和琴琴生不等等式的部部分，如如果將不不等號全全部反向向，則得得到的便便是凹函函數(shù)，以以及凹函函數(shù)的琴琴生不等等式。3.9.22琴生不不等式的的應用例：若（，）為正正實數(shù)，求求證：。證明：考查查函數(shù)，由于于，故其其為凸函函數(shù)。由由琴生不不等式得得：。整理后即得得：參考文獻1許小小華，不不等式證證明的常常用方法法J，數(shù)學學通訊，220055年第222期2陳初初良，不不等式證證明的兩兩種巧法法J，高中中語數(shù)外外，20005.103周再再禹，不

17、不等式證證題中調調整法的的應用J，蘭蘭州教育育學院報報，20005年年第4期期4董琳琳，幾種種證明不不等式的的妙法J，創(chuàng)創(chuàng)新篇發(fā)發(fā)散思維維訓練，220055年第99期5劉興興祥，羅羅云庵，王王海娟，柯柯西施瓦茲茲不等式式的應用用J，延安安大學學學報（自自然科學學版），220055年第44期6劉海海燕，利利用微分分學證明明不等式式J，牡丹丹江教育育學院學學報，220055 年第第3 期7于鴻鴻麗，排排序定理理的推廣廣及應用用J，西安安文理學學院學報報(自然科科學版)，20005年年第3期期8魏全全順，微微分在不不等式證證明中的的應用J，湖湖南第一一師范學學報20006年年第1 期9孟利利忠，以以數(shù)列為為載體的的不等式式證明的的放縮技技巧JJ10葉葉殷，何何志樹，用用高等數(shù)數(shù)學證明明不等式式的若干干種方法法J，西昌昌師范高高等?？瓶茖W校學學報，220044年第44期11翁翁耀明，運運用概率率方法證證明某些些數(shù)學不不等式J，數(shù)數(shù)學的實實踐與認認識，220055年第111