二次函數(shù)的綜合問題

1、二次函數(shù)的綜合問題例1。如圖1，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為_，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由圖1例2。2014年蘇州市中考第29題如圖1，二次函數(shù)ya(x

2、22mx3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a0，m0）的圖像與x軸分別交于A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖像上，CD/AB，聯(lián)結(jié)AD過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，AB平分（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為F探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由圖1練習(xí)1、如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，以BC

3、為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1 練習(xí)2、如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)ACD的面積等于AC

4、B的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過點(diǎn)E(4, 0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式圖1 練習(xí)3（2015蘇州）如圖，已知二次函數(shù)（其中0m1）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線l設(shè)P為對(duì)稱軸l上的點(diǎn)，連接PA、PC，PA=PC （1）ABC的度數(shù)為 ；（2）求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q（與原點(diǎn)O不重合），使得以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與PAC相似，且線段PQ的長(zhǎng)度最?。咳绻嬖?，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由練習(xí)4（2016蘇州）如

5、圖，直線與軸、軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B (1)求該地物線的函數(shù)表達(dá)式； (2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，ABM的面積為S求S與的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值； (3)在(2)的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn). 寫出點(diǎn)的坐標(biāo)； 將直線繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線，當(dāng)直線與直線重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與線段交于點(diǎn)C設(shè)點(diǎn)B、到直線的距離分別為、，當(dāng)最大時(shí)，求直線旋轉(zhuǎn)的角度（即BAC的度數(shù)）練習(xí)5（2017蘇州）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于 A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=OC點(diǎn)D

6、在函數(shù)圖象上，CDx軸，且CD=2，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，E是拋物線的頂點(diǎn)（1）求b、c的值；（2）如圖，連接BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N試問：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得PQN與APM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最??？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由參考答案：例1。思路點(diǎn)撥1第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩

7、相似，第一直覺這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)Q最大的可能在經(jīng)過點(diǎn)A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過點(diǎn)P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么OQCQOA當(dāng)，即時(shí)，BQAQOA所以解得所以符合題意的點(diǎn)Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點(diǎn)Q，那么OQC90。因此OCQQOA當(dāng)時(shí)，BQAQOA此時(shí)OQB9

8、0所以C、Q、B三點(diǎn)共線因此，即解得此時(shí)Q(1,4)圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點(diǎn)是確定的，B是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點(diǎn)Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例確定點(diǎn)B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)Q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)B的位置距離點(diǎn)A很近，這與OB4OC矛盾例2。思路點(diǎn)撥1不算不知道，一算真奇妙通過二次函數(shù)解析式的變形，寫出點(diǎn)A、B、F的坐標(biāo)后，點(diǎn)D的坐標(biāo)也可以寫出來點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為定值是算出來的2在計(jì)算的過程中，第（1）題的結(jié)論及

9、其變形反復(fù)用到3注意到點(diǎn)E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)（5，3，4），因此過點(diǎn)F作AD的平行線與x軸的交點(diǎn)，就是要求的點(diǎn)G滿分解答（1）將C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(xiàn)(m, 4)，對(duì)稱軸為直線xm所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m,3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x, a(xm)(x3如圖2，過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E由于EAEDAD，所以因此所以am(x3m)1結(jié)合，于是得到x4m當(dāng)x4m時(shí)，ya(xm)(x3m)5am25所以點(diǎn)E的坐

10、標(biāo)為(所以圖2 圖3（3）如圖3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(可知點(diǎn)E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3那么過點(diǎn)F作AD的平行線與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，就是符合條件的點(diǎn)G證明如下：作FFx軸于F，那么因此所以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)圍成一個(gè)直角三角形此時(shí)GF4m所以GO3m，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(考點(diǎn)伸展第（3）題中的點(diǎn)G的另一種情況，就是GF為直角三角形的斜邊此時(shí)因此所以此時(shí) 練習(xí)1、思路點(diǎn)撥1第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長(zhǎng)，再根據(jù)MQDC列方程2第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫一個(gè)準(zhǔn)確的示意圖，先得到結(jié)論3第（3）題BDQ為直角三角形要

11、分兩種情況求解，一般過直角頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形滿分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直線DB的解析式為由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0)，可得，所以MQ當(dāng)MQDC8時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形解方程，得m4，或m0（舍去）此時(shí)點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形圖2 圖3（3）存在兩個(gè)符合題意的點(diǎn)Q，分別是(2,0)，(6,4)考點(diǎn)伸展：第（3）題可以這樣解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為如圖3，當(dāng)DBQ90時(shí)， 所以解得x6此時(shí)Q(6,4)如圖4，當(dāng)BDQ90時(shí)， 所以解得x2此時(shí)

12、Q(2,0)圖3 圖4練習(xí)2、思路點(diǎn)撥1根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)2當(dāng)直線l與以AB為直徑的圓相交時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M有2個(gè)；當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M只有1個(gè)3靈活應(yīng)用相似比解題比較簡(jiǎn)便滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(4, 0)、B(2, 0)對(duì)稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等過點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，與AC交于點(diǎn)H由BD/AC，得DBGCAO所

13、以所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為因?yàn)锳C/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐標(biāo)為圖2 圖3（3）過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M了聯(lián)結(jié)GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(4, 6)，過M1、E的直線l為根據(jù)對(duì)稱性，直線l還可以是考點(diǎn)伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)C，因此可以過點(diǎn)C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所

14、以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過點(diǎn)C3解：（1）45 理由如下：令x=0，則y=-m，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-m）令y=0，則，解得，0m1，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0）OB=OC=mBOC90，BOC是等腰直角三角形，OBC45（2）解法一：如圖 = 1 * GB3 ，作PDy軸，垂足為D，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)E，由題意得，拋物線的對(duì)稱軸為 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，n）PA= PC， PA2= PC2，即AE2+ PE2=CD2+ PD2 解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為 解法二：連接PB由題意得，拋物線的對(duì)稱軸為 P在對(duì)稱軸l上，PA=PBPA=PC，PB=PCBOC是等腰直角三角形，且

15、OB=OC，P在BC的垂直平分線上 P點(diǎn)即為對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3）解法一：存在點(diǎn)Q滿足題意P點(diǎn)的坐標(biāo)為，PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2=AC2=，PA2+ PC2=AC2APC90 PAC是等腰直角三角形以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與PAC相似，QBC是等腰直角三角形 由題意知滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-m，0）或（0，m） = 1 * GB3 如圖 = 1 * GB3 ，當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-m，0）時(shí)，若PQ與x軸垂直，則，解得，PQ=若PQ與x軸不垂直，則0m1，當(dāng)時(shí)，取得最小值，PQ取得最小值，當(dāng)，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）時(shí)， PQ的長(zhǎng)度最小 = 2 * G

16、B3 如圖 = 2 * GB3 ，當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m）時(shí)，若PQ與y軸垂直，則，解得，PQ=若PQ與y軸不垂直，則0m1，當(dāng)時(shí)，取得最小值，PQ取得最小值，當(dāng)，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）時(shí)， PQ的長(zhǎng)度最小 綜上：當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（0，）時(shí)，PQ的長(zhǎng)度最小解法二： 如圖 = 1 * GB3 ，由（2）知P為ABC的外接圓的圓心APC 與ABC對(duì)應(yīng)同一條弧，且ABC45，APC2ABC90 下面解題步驟同解法一4解：（1）令x=0代入y=3x+3，y=3，B（0，3），把B（0，3）代入y=ax22ax+a+4，3=a+4，a=1，二次函數(shù)解析式為：y=x2+2x+3；（2）令y=0代入y

17、=x2+2x+3，0=x2+2x+3，x=1或3，拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1和3，M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，0m3，過點(diǎn)M作MEy軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，由題意知：M的坐標(biāo)為（m，m2+2m+3），D的縱坐標(biāo)為：m2+2m+3，把y=m2+2m+3代入y=3x+3，x=，D的坐標(biāo)為（，m2+2m+3），DM=m=，S=DMBE+DMOE=DM（BE+OE）=DMOB=3=（m）2+0m3，當(dāng)m=時(shí)，S有最大值，最大值為；（3）由（2）可知：M的坐標(biāo)為（，）；過點(diǎn)M作直線l1l，過點(diǎn)B作BFl1于點(diǎn)F，根據(jù)題意知：d1+d2=BF，此時(shí)只要求出BF的最大值即可，BFM=90，點(diǎn)F在以BM為

18、直徑的圓上，設(shè)直線AM與該圓相交于點(diǎn)H，點(diǎn)C在線段BM上，F(xiàn)在優(yōu)弧上，當(dāng)F與M重合時(shí)，BF可取得最大值，此時(shí)BMl1，A（1，0），B（0，3），M（，），由勾股定理可求得：AB=，MB=，MA=，過點(diǎn)M作MGAB于點(diǎn)G，設(shè)BG=x，由勾股定理可得：MB2BG2=MA2AG2，（x）2=x2，x=，cosMBG=，l1l，BCA=90，BAC=455解：（1）CDx軸，CD=2，拋物線對(duì)稱軸為x=1OB=OC，C（0，c），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），0=c2+2c+c，解得c=3或c=0（舍去），c=3；（2）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，m）由（1）可知拋物線解析式為y=x22x3=（x1）24，E（1，4），直線BE經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），E（1，4），利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為y=2x6點(diǎn)F在BE上，m=226=2，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2）；（3）存在點(diǎn)Q滿足題意設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3n，PN=n2+2n+3作QRPN，垂足為R，SPQN=SAPM，QR=1點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n1，n24n），R點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n24n），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（