基本不等式 教案 高中數(shù)學(xué)新湘教版必修第一冊(cè)（2022-2023學(xué)年）

1、2.1.2基本不等式最新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)掌握基本不等式aba+b2(a0，b1.理解基本不等式的幾何意義及其推導(dǎo)過(guò)程.(直觀想象、邏輯推理)2.會(huì)用基本不等式解決最值問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)新知初探教材要點(diǎn)要點(diǎn)基本不等式定理：對(duì)任意a，bR，必有a2b2_，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立.推論：對(duì)任意a，b0，必有_，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立.其中a+b2稱為正數(shù)a，b的_，ab稱為正數(shù)a，b的_狀元隨筆不等式a+b2ab與不等式a2b2a2b22aba+b適用范圍a，bRa0，b0文字?jǐn)⑹鰞蓴?shù)的平方和不小于它們積的2倍兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值大于等于它們的幾何平均值“”成立的條件abab基礎(chǔ)檢

2、測(cè)1.思考辨析(正確的畫“”，錯(cuò)誤的畫“”)(1)當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，ba+ab(2)函數(shù)yx1x的最小值為2.(3)6和8的幾何平均數(shù)為23.()(4)不等式a2b22ab與aba+b2有相同的適用范圍.2.已知a，bR，且ab0，則下列結(jié)論恒成立的是()A.a2b22abB.ab2abC.1a+1b2ab3.若a1，則a1a-1的最小值是A.2B.aC.2aa-14.已知x，y都是正數(shù).(1)如果xy15，則xy的最小值是_.(2)如果xy15，則xy的最大值是_.題型探究題型1利用基本不等式比較大小例1若ab0，試比較a, a2+b2方法歸納一般地，若給出的數(shù)(式)涉及兩個(gè)正數(shù)的和、積或兩個(gè)

3、實(shí)數(shù)的平方和，則可考慮利用重要不等式a2b22ab(a，bR，a0，b0)和基本不等式a+b2ab(a0，b跟蹤訓(xùn)練1(1)若0a1，0b1，且ab，則ab，2ab，2ab，a2b2中最大的一個(gè)是()A.a2b2B.2abC.2abD.ab(2)已知abc，則a-bb-題型2利用基本不等式證明不等式例2已知a，b，c0，求證：a2b+b2c+方法歸納(1)在利用ab2ab時(shí)，一定要注意是否滿足條件a0，b0.(2)在利用基本不等式ab2ab或a+b2ab(a0，b(3)另外，在解題時(shí)還要注意不等式性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練2已知實(shí)數(shù)x，y均為正數(shù)，求證：(xy)(4x+9題型3利用基本不等

4、式求最值例3(1)對(duì)于代數(shù)式12x4x當(dāng)x0時(shí)，求其最小值；當(dāng)x0時(shí)，求其最大值.(2)設(shè)0 x2，求x4x-方法歸納應(yīng)用基本不等式解題的關(guān)鍵在于“拼”、“湊”、“拆”、“合”等變形，構(gòu)造出符合基本不等式的條件結(jié)構(gòu).跟蹤訓(xùn)練3(1)若0 x1，求y4x2課堂練習(xí)1.關(guān)于命題p：a，bR，aba+b22，下列說(shuō)法正確的是(A.p：a，bR，aba+bB.不能判斷p的真假C.p是假命題D.p是真命題2.下列命題中正確的是()A.當(dāng)a，bR時(shí)，ab+baB.當(dāng)a0，b0時(shí)，(ab)1a+C.當(dāng)a4時(shí)，a9a2aD.當(dāng)a0，b0時(shí)，2ab3.不等式9x-2(x2)6(其中x2)中等號(hào)成立的條件是A.x

5、3B.x3C.x5D.x54.已知t0，則yt2-4t+15.設(shè)a0，b0，證明：b2a+a2參考答案新知初探要點(diǎn)2aba+b2基礎(chǔ)檢測(cè)1.答案：(1)(2)(3)(4)2.解析：對(duì)于A，當(dāng)ab時(shí)，a2b22ab，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，雖然ab0，只能說(shuō)明a，b同號(hào)，當(dāng)a，b都小于0時(shí)，B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閍b0，所以ba0，ab0，所以ba+ab2baab(當(dāng)且僅當(dāng)ab答案：D3.解析：a1，所以a10，所以a1a-1a11a-11當(dāng)且僅當(dāng)a11a-1即a2時(shí)取等號(hào)答案：D4.解析：(1)xy2xy215，即xy的最小值是215；當(dāng)且僅當(dāng)xy15時(shí)取最小值.(2)xyx+y22152即

6、xy的最大值是2254當(dāng)且僅當(dāng)xy152時(shí)xy取最大值答案：(1)215(2)225題型探究例1解析：ab0，a2+b22a2+a22a2(a2b2)(ab)2，a2又a0，b0，則a2+b22由a0，b0，得a+b21a+1b221a+1bbba-aa2+b跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)方法一0a1，0b2ab，ab2ab，aa2，bb2，aba2b2，故選D.方法二取a12，b13，則a2b22ab63，2ab13，ab顯然56最大，故選(2)abc，ab0，bc0，a-c2a-b+b-c2a-bb-c答案：(1)D(2)a例2證明：a，b，c，a2b，a2bb 2a2b當(dāng)且僅當(dāng)a2bbb2cc2

7、b2c當(dāng)且僅當(dāng)b2ccc2aa2c2a當(dāng)且僅當(dāng)c2aa相加得a2bbb2ccc2aa2aa2b+b2c+跟蹤訓(xùn)練2證明：(xy)4x+9y494yx又因?yàn)閤0，y0，所以4yx0，9xy由基本不等式得，4yx+9xy24yx9x即2y3x時(shí)取等號(hào)，所以(xy)4x+例3解析：(1)x0，12x0，4x12x4x212x4x當(dāng)且僅當(dāng)12x4x，即x3時(shí)取最小值83當(dāng)x0時(shí)，原式的最小值為83.x0.則12x+4x12-x(4x)212-x-4x83，當(dāng)且僅當(dāng)12-x12x4x83當(dāng)x0時(shí)，原式的最大值為83.解析：(2)0 x0，4x(32x)22x(32x)22x+3-當(dāng)且僅當(dāng)2x32x，即x

8、34時(shí)取等號(hào)y的最大值為92(3)x2，x20，x4x-2(x2)4x-22當(dāng)且僅當(dāng)x24x即x4時(shí)，x4x-跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)0 x0yx(12x)122x(12x)122x+1-當(dāng)且僅當(dāng)2x12x，即x14時(shí)取等號(hào).(也可用二次函數(shù)配方法求解.(2)x02x12x-12x112x-1112x11-2x21-2x11-2x12x-121(3)x1，令tx1(t0)，則xt1，所以y4x2-8x+5x-14t+12-8t+1當(dāng)且僅當(dāng)4t1t，即t12，x3所以y4x2答案：(1)B(2)1(3)見解析課堂練習(xí)1.解析：命題p：a，bR，aba+b2p：a，bR，aba+b22，故當(dāng)a，b一正一負(fù)時(shí)，ab0，a+b220，ab當(dāng)a，b中至少一個(gè)為0時(shí)，ab0，a+b220，ab當(dāng)a，b均為負(fù)數(shù)時(shí)，ab(ab)2ab，整理得aba+b22，當(dāng)且僅當(dāng)a當(dāng)a，b均為正數(shù)時(shí)，ab2ab，整理得aba+b22，當(dāng)且僅當(dāng)ab命題p：a，bR，aba+b22是假命題，故B，D均錯(cuò)誤，C正確.答案：C2.解析：A項(xiàng)中，可能ba0，1a+1b21ab0，相乘得(ab)1a+1b4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，所以正確；C項(xiàng)