09年國內(nèi)建模競賽全部試卷國賽

1、PAGE PAGE 14摘要對醫(yī)院而言，病床是一種非常重要的資源，但在實際工作中往往存在著病床安排不合理的現(xiàn)象，如有的病室床位超負(fù)荷運轉(zhuǎn)，而有的病室床位則大量閑置，造成了病床資源的極大浪費。本文通過建立合理的病床安排模型，為實現(xiàn)醫(yī)院床位的合理配置提供科學(xué)依據(jù)。針對問題一，我們建立了以病床使用率，病床周轉(zhuǎn)次數(shù)，平均病床工作日為指標(biāo)的評價體系，這三個指標(biāo)是醫(yī)院工作效率和管理狀況的晴雨表，為后面問題二所建立的模型提供了科學(xué)的指標(biāo)體系。針對問題二，我們在建議醫(yī)院提高自己服務(wù)質(zhì)量以及速度的同時建立了合理的病床安排模型，極大地縮短了病人從門診到住院所需花費的時間，急癥，非急癥，以及周一周三才能做手術(shù)的白內(nèi)

2、障病人區(qū)別對待，以列表的形式展示了如何根據(jù)第二天的擬出院病人確定第二天安排的各類病人數(shù)。并提供了三種方案的指標(biāo)值，以供院方權(quán)衡比較。針對問題三，我們建立了兩種模型，一種是Markov排隊模型，另一種是根據(jù)問題二的病床安排統(tǒng)計出了各類病人在已知自己之前等待人數(shù)的情況下所需等待的天數(shù)，同樣以列表的形式給出，方便門診工作者查看，一目了然。針對問題四，我們發(fā)現(xiàn)周六周日不安排手術(shù)對外傷類病人的影響很大，同時也會在一定程度上延長其他類病人的等待時間，于是根據(jù)各類病的特征，在周五周六不安排外傷住院，而青光眼和視網(wǎng)膜疾病則盡量少的安排在周三周四，而安排在周六周日，以避免住院卻不能手術(shù)的資源浪費。針對問題五，我

3、們首先根據(jù)自導(dǎo)的開放病床數(shù)合理區(qū)間計算公式對各類病病床數(shù)進(jìn)行了總體量化，再在此量化區(qū)間內(nèi)通過Markov排隊論模型計算出最小的所有病人在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時間的最小值，以此來確定各類病人占用病床數(shù)的比例應(yīng)為11:11:29:28(外傷:青光眼:白內(nèi)障:視網(wǎng)膜疾病)。關(guān)鍵詞：眼科疾??；病床安排；評價指標(biāo)體系；排隊論；開放病床合理區(qū)間一、 問題重述醫(yī)院排隊現(xiàn)象非常普遍，由于醫(yī)院眼科病床某段時間的住院人數(shù)較多，而對于住院時間不同的幾種病人，醫(yī)院按照FCFS（first come first serve）的規(guī)則安排住院，但等待住院的人隊列越來越長。為了提高對醫(yī)院資源的合理利用，我們需要對醫(yī)院所給出的數(shù)據(jù)進(jìn)

4、行處理，并以此為主要依據(jù)分析并建立可行的病床安排模型，以滿足不同題目的需要。同時，為了說明安排的合理程度，需要構(gòu)建一個評價指標(biāo)體系，以此來說明模型的優(yōu)劣。在本文中要解決的問題：一：確定合理的評價指標(biāo)體系，能用來評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。二：根據(jù)當(dāng)前該住院部的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院。并對模型進(jìn)行評價三：希望能根據(jù)當(dāng)時患者門診當(dāng)時的已住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。 四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，重新對問題二進(jìn)行建模，并確定醫(yī)院的手術(shù)時間安排是否需要作出相應(yīng)調(diào)整。五：在一般情形

5、下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。二、問題分析該院對白內(nèi)障疾病的手術(shù)只安排在周一周三，且其他手術(shù)一般不安排在周一周三，因此在此基礎(chǔ)上建立模型時必須考慮手術(shù)時間對病床安排的影響，即最好能根據(jù)第二天是周幾來確定是哪類病人住院。作為醫(yī)院，為了能在門診當(dāng)時即告知病人那天可以住院，需要根據(jù)現(xiàn)有的情況進(jìn)行預(yù)測，然后確定一個病人等待住院時間。等待住院時間跟此種病癥所占用的病床數(shù)有關(guān)，同時還與此種病癥的住院速率和出院速率有關(guān)，需要確立它們之間的具體計算公式。如果采納第五問中提出的建議，就

6、近似成為規(guī)劃問題，需要求解最優(yōu)值，這樣，以各個病癥所需病床數(shù)的限制條件，以所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）為目標(biāo)函數(shù)，可以得出各類病人占用病床的比例。由此，我們的目標(biāo)便很明確，只要得到目標(biāo)函數(shù)以及其約束條件即可利用相應(yīng)的軟件求得最優(yōu)解。三、符號說明:住院部提供的總床數(shù)。：醫(yī)院為不同癥狀的病人提供的病床數(shù)，表示外傷；表示青光眼；表示白內(nèi)障；表示視網(wǎng)膜疾病。：一天內(nèi)住院病人數(shù)的平均值，即病人住院速率。：四種不同癥狀病人的平均住院速率，表示外傷；表示青光眼； 表示白內(nèi)障；表示視網(wǎng)膜疾病。：一天內(nèi)出院病人數(shù)的平均值，即病人出院速率。：四種不同癥狀病人的平均出院速率，表示外傷；表示

7、青光眼； 表示白內(nèi)障；表示視網(wǎng)膜疾病。：每張床每天送出的病人數(shù)。：系統(tǒng)中病人數(shù)的平均數(shù)，包括排隊等待住院人數(shù)和已住院人數(shù)。：系統(tǒng)中排隊等待的病人平均數(shù)。：系統(tǒng)中病人的停留時間的期望，包括排隊等待時間和住院時間。：系統(tǒng)中病人等待住院時間的期望。病床工作效率：實際占用總床日數(shù)/實際開放總床日數(shù)) 100。病床周轉(zhuǎn)次數(shù)：出院人數(shù)總計/平均開放病床數(shù)。平均床位工作日:實際占用總床日數(shù)/平均開放病床數(shù)。平均開放床位數(shù): 實際開放總床數(shù)/本年日歷日數(shù)。病床周轉(zhuǎn)次數(shù)：出院人數(shù)/平均開放床日數(shù)。實際開放總床日數(shù)：各科每日夜晚12點鐘開放病床數(shù)之總和，不論該床是否被病人占用，都應(yīng)計算在內(nèi)。實際占用總床日數(shù)：指各

8、院各科每日夜晚12點鐘實際占用病床數(shù)（即每日夜晚12點鐘的住院人數(shù)）的總和。平均開放病床數(shù)（張）=實際開放總床數(shù)/周期數(shù)。四、模型假設(shè)：該醫(yī)院除手術(shù)醫(yī)生的安排需要考慮外，不存在其他醫(yī)療設(shè)備的限制，如病床的配置，所需藥物等。由于該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分為四大類，且無法得到其他類手術(shù)的比例，因此不考慮其他手術(shù)。在安排病人住院等待時間時，不考慮病人的不耐煩情緒及由此引發(fā)的病人丟失情況。假設(shè)各個病人之間相互獨立，不存在多人需被同時安排的情況。外傷患者情況較緊迫，因此一直遵循就診后立即安排住院的原則。模型是建立在題目所給數(shù)據(jù)上的，因此假設(shè)題目的統(tǒng)計不存在偶然因素的影響，可以代表此醫(yī)院眼科就診的一般情況。根據(jù)

9、題目要求，不考慮除外傷之外的其他急癥。五、對第一個問題的回答解決排隊問題的目的，是研究排隊系統(tǒng)工作過程的使用效率，估計服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是否合理，研究設(shè)計采取有效的措施等。在醫(yī)院排隊系統(tǒng)中，病床安排的目的是為了使病床利用盡可能達(dá)到最優(yōu)值，盡可能減小病人在系統(tǒng)中的逗留時間。因此參數(shù)可以有以下幾項：系統(tǒng)中病人數(shù)的平均數(shù)；系統(tǒng)中排隊等待的病人平均數(shù)； 一般來說，或越大，說明服務(wù)效率越低；3. 系統(tǒng)中病人的停留時間的期望，包括排隊等待時間和住院時間；4. 系統(tǒng)中病人等待住院時間的期望。 越大，說明服務(wù)進(jìn)程越緩慢，病床周轉(zhuǎn)效率不高。 另外，病床是醫(yī)院收治病人的基本裝備 ,是醫(yī)

10、院規(guī)模的計量單位 ,也是醫(yī)院經(jīng)濟(jì)效益的基本核算單位。醫(yī)院各類工作人員的配備、 醫(yī)療技術(shù)設(shè)備和經(jīng)濟(jì)的分配等 ,都是根據(jù)病床的數(shù)目來確定的。因此 ,分析和評價病床的使用情況對評價醫(yī)院的工作效率和管理水平都具有重要意義。此外，反映病床利用情況的主要參數(shù)還有：平均病床工作日：實際占用總床日數(shù)/平均開放病床數(shù)；病床使用率：（實際占用總床日數(shù)/實際開放總床日數(shù))）100；在85%93%之間時安排比較合理。病床周轉(zhuǎn)次數(shù)：出院人數(shù)/平均開放床位數(shù)。 單位時間內(nèi)的周轉(zhuǎn)次數(shù)越大越好。六、對問題二的回答將住院部近期統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可得出各類病癥的住院速率和出院速率（為了保證數(shù)據(jù)不受截取邊緣的影響，在計算住院速率和

11、出院速率的時候只依據(jù)八月份的數(shù)據(jù)），表格如下：表6-1 醫(yī)院八月份住院速率與出院速率統(tǒng)計病癥外傷青光眼白內(nèi)障視網(wǎng)膜疾病總計八月份住院人數(shù)323211684264病人住院速率（人/每天）1.0321.0323.7422.7108.52八月份出院人數(shù)293011369241病人出院速率（人/每天）0.9350.9683.6452.2267.77由表中數(shù)據(jù)可得：八月份平均每天有8.52人在此醫(yī)院住院，而平均每天只有7.77人出院,而且對于每種病癥，每天入院的人數(shù)一定均大于出院人數(shù)。由此可知必然會出現(xiàn)排隊隊伍無限延伸的情況，等待時間越來越長。因此要想是排隊隊伍不出現(xiàn)“無限長”的擁堵狀況，必須想辦法使每

12、天的出院人數(shù)大于或等于入院人數(shù)。因此不得不建議院方提高自己的服務(wù)速率，下面分別按=0.110，0.115和0.120列出了本模型的方案。分析：由于手術(shù)時間的限制，即使某些病人被安排住院，也不能進(jìn)行手術(shù)，由此病床的周轉(zhuǎn)率、利用效率等會下降。在需要住院的人數(shù)不變的情況下，如果重新對病床進(jìn)行安排，就可以縮短病人等待手術(shù)的時間，以此使住院時間縮短。每種病癥術(shù)后恢復(fù)時間的均值可由統(tǒng)計得出，因此出院速率便可預(yù)測?，F(xiàn)將模型建立如下：外傷患者平均一天到達(dá)一人，因此每天要至少留出一張空床給急診病人。另外，由于該住院部當(dāng)前只在周一周三進(jìn)行白內(nèi)障手術(shù)，且根據(jù)題目及所給數(shù)據(jù)可得白內(nèi)障患者住院一兩天后即可安排手術(shù)，因此

13、如果將其安排在非周六周日的時間，則會造成資源的浪費。同理，白內(nèi)障單眼病人可以主要安排在周二，其他時間則對青光眼患者和視網(wǎng)膜疾病患者開放，按入院人數(shù)比例（1.302:2.710）安排空床給他們。其中實際占用總床日數(shù)與值成反比例關(guān)系=0.11時，安排如下：表6-2 已知出院人數(shù)對住院人數(shù)的模型安排1外傷青光眼白內(nèi)障白內(nèi)障（雙眼）視網(wǎng)膜疾病每天出院人數(shù)星期一211059星期二108009星期三220059星期四220059星期五220048星期六100809星期日100809;病床工作日為6.37天/周。=0.115時，安排如下：6-3 已知出院人數(shù)對住院人數(shù)的模型安排2外傷青光眼白內(nèi)障白內(nèi)障（雙眼

14、）視網(wǎng)膜疾病每天出院人數(shù)星期一221049星期二108009星期三220059星期四220059星期五2210510星期六100809星期日100809；病床工作日為6.11天/周。=0.12時，安排如下：6-4 已知出院人數(shù)對住院人數(shù)的模型安排3外傷青光眼白內(nèi)障白內(nèi)障（雙眼）視網(wǎng)膜疾病每天出院人數(shù)星期一2210510星期二1090010星期三220059星期四220059星期五220059星期六100809星期日100809;病床工作日為5.86天/周。當(dāng)?shù)诙斓某鲈翰∪藬?shù)已知的情況下，可根據(jù)第二天是周幾，再查上表得出第二天應(yīng)安排哪些病人住院；若病床有空余，可以安排為外傷的急用病床或者安排給

15、前一天沒有按照預(yù)期安排掉的病人，若病床數(shù)沒有達(dá)到第二天所需要的，可以按照先就診先安排的規(guī)則。評價該模型：定性來看，此種安排既可以將不同病癥患者的手術(shù)時間分開，又可以盡量縮短術(shù)后住院時間；定量來看，根據(jù)由此種安排推算的出院速率及每床每天送出的病人數(shù)可得到評價體系中的各種參數(shù)。病床使用率適中，使用情況良好。但是由于提高值可能需要醫(yī)院花費更高的代價和費用來提高自己的服務(wù)速度，所以本模型列出三個典型代表僅供參考，院方可根據(jù)自己的實力重新制定相應(yīng)值的表格。七、對問題三的回答我們希望建立一個模型對所有床位進(jìn)行統(tǒng)籌安排，以使系統(tǒng)達(dá)到較合理的配置，并且能夠按計劃正常運作。當(dāng)有病人進(jìn)行就診時，即可預(yù)告其大致等待

16、時間?，F(xiàn)在，對問題進(jìn)行建模：假設(shè)某醫(yī)院有 s張病床,在 t時刻住院的患者數(shù)服從強度為的 Poisson分布 ,到達(dá)病床的患者當(dāng)有空閑的病床時 ,立即住院,否則排隊等待 ,直到有一個正在住院的患者結(jié)束住院離開 ,病床空出來后再為排隊等待的患者服務(wù)。每個患者住院的時間 T都服從負(fù)指數(shù)分布 ,即而每位患者的住院時間相互獨立，用 X ( t)表示 t時刻醫(yī)院內(nèi)的患者數(shù)目,那么 X ( t) , t0 是Markov過程。則被占用病床數(shù)與患者接受服務(wù)的時間間的關(guān)系為其中，當(dāng)時，存在平穩(wěn)分布，就是指在單位時間內(nèi)到達(dá)醫(yī)院的患者平均數(shù)少于 s個服務(wù)窗口中服務(wù)單位時間完成的患者平均數(shù)時存在平穩(wěn)分布。這樣,由與的

17、關(guān)系可以推導(dǎo)出, k = 1, 2, 由此可以對醫(yī)院服務(wù)的狀況進(jìn)行定量分析,計算出服務(wù)系統(tǒng)性能指標(biāo)：系統(tǒng)中等待住院的病人數(shù)， （1）其中，；系統(tǒng)中的病人平均數(shù)，同時可得出系統(tǒng)中病人的停留時間的期望，及系統(tǒng)中病人等待住院時間的期望，。在此醫(yī)院系統(tǒng)中，代入上述公式（1）可得出系統(tǒng)中等待人數(shù),利用mathmatica 為工具對其進(jìn)行計算，最終得出 人/天；天分析：在已知住院速率和出院速率時，將全部病床進(jìn)行安排，可以得到的最小等待人數(shù)為39.08人/天，平均需要等待天數(shù)為4.59天。當(dāng)有患者進(jìn)行門診時，可預(yù)測其可以在4、5天以后被安排住院。此模型可以預(yù)測出病人的等待時間，清楚簡單且易于操作，只需知道住

18、院速率與出院速率就能推算出所有病人的等待時間。但正是由于它只是籠統(tǒng)地對待全體門診患者，沒有對不同病癥進(jìn)行分類考慮，因此在實施時不一定對所有病癥都適用。估計誤差偏大。下面對模型進(jìn)行了改進(jìn)，此改進(jìn)是基于第二個問題的思想，并對其進(jìn)行了延伸。我們假設(shè)醫(yī)院對允許病人住院采取的是第二問中的縮短門診到住院的時間的方案，選取其中=0.12的表格，對一星期內(nèi)可能到達(dá)的病人以及可能性較大的排隊等待人數(shù)進(jìn)行了分析，并統(tǒng)計總結(jié)出了下表，根據(jù)下表，院方人員可以根據(jù)新到病人的病種類型、到門診的星期數(shù)以及此前等待的病人數(shù)方便的查出病人從門診到入住的大致時間。表7-1 病人從門診到住院的時間對應(yīng)表在此之前已排隊等待人數(shù)外傷病

19、人需等待天數(shù)青光眼病人需等待天數(shù)在此之前已排隊等待人數(shù)白內(nèi)障病人需等待的天數(shù)在此之前已排隊等待人數(shù)白內(nèi)障（雙眼）病人需等待的天數(shù)在此之前已排隊等待人數(shù)視網(wǎng)膜疾病病人需等待的天數(shù)星期一1011810750402125923229781561014342315194533星期二1000800740412115923119681551014342215196522星期三1000507304021159131119681541014242415195524星期四1000407204021359132319581531014443415196544星期五1120307104022359332319481

20、521014542415196534星期六1110207004221259432219381511014543315196533星期日1000107004121159332119281551014442215195532由上表可以看出，絕大部分情況下新來到門診的病人所需等待的時間在3、4天以內(nèi)，而在少數(shù)特殊情況下可能會出現(xiàn)等待時間大于5天的例子，但總體來講，本模型不僅能方便的告知病人其入住時間，也能在一定程度上減少病人的等待時間，值得采用。八、對第四個問題的回答當(dāng)周六周日不安排住院時，需要對問題二的模型重新進(jìn)行調(diào)整，由于該院眼科手術(shù)條件的制約，病人能夠手術(shù)的時間如下：表8-1 病人允許手術(shù)時間

21、表手術(shù)外傷青光眼白內(nèi)障白內(nèi)障（雙眼）視網(wǎng)膜疾病星期一可以不安排不安排可以不安排星期二可以可以不安排不安排可以星期三可以不安排可以可以不安排星期四可以可以不安排不安排可以星期五可以可以不安排不安排可以星期六不可以不可以不可以不可以不可以星期日不可以不可以不可以不可以不可以由以上手術(shù)時間條件的約束，可對原問題2，表6-1做一些微小的調(diào)整，仍根據(jù)已知的第二天出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排病人住院如下：表8-2 第二天出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排病人住院表外傷青光眼白內(nèi)障白內(nèi)障（雙眼）視網(wǎng)膜疾病每天出院人數(shù)星期一221049星期二2080010星期三220059星期四220059星期五020068星

22、期六001809星期日2008010由此表可得：;病床工作日為5.86天/周。由上述安排住院表，對于各類疾病手術(shù)時間分析如下：1、由表可知，外傷在周五，周六時并不安排住院病人，因其通常屬于急癥，住院后第二天便會安排手術(shù)，而該住院部周六、周日不安排手術(shù)。如有急診，則需要等待手術(shù)或是轉(zhuǎn)到其他醫(yī)院。2、白內(nèi)障患者（雙眼）為周六日住院，白內(nèi)障（單眼）患者安排在周一，周二住院。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時間只需1、2天。且此期間盡量不安排青光眼疾病和視網(wǎng)膜疾病手術(shù)。3、若該院手術(shù)條件充足，不考慮手術(shù)前仍需排隊的問題，則對于青光眼，視網(wǎng)膜疾病手術(shù)時間可根據(jù)需要安排。原本定于大致住

23、院以后2-3天內(nèi)就可以接受手術(shù)，現(xiàn)在周三，周四入住的患者則需等到下周手術(shù)，使得患者在醫(yī)院逗留時間加長。長此以往，可能導(dǎo)致病床周轉(zhuǎn)次數(shù)的下降，病床的超負(fù)荷使用。建議：白內(nèi)障手術(shù)較簡單，而且沒有急癥。此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時間只需1、2天。其他眼科疾病比較復(fù)雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時間較長。而如果周六周日不安排手術(shù)，那么相當(dāng)于每周的手術(shù)次數(shù)有所減少，為此，建議該院取消僅在周一周三做手術(shù)的限制，在周一到周五全天候為各種病癥的病人手術(shù)，以此來緩解手術(shù)次數(shù)少給病床帶來的壓力和不必要的浪費。九、對問題五的回答對題目分析可得這是一個規(guī)劃問題，需要求解在限定條件

24、下的最小值。我們必須根據(jù)一定的算法算出各類病癥住院所需床數(shù)的范圍，因此下面進(jìn)行模型建立：利用：可導(dǎo)出開放病床數(shù)的合理區(qū)間為對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計的結(jié)果為：表9-1 推算病床合理開放時間表病種床位數(shù)下限入院人數(shù)出院人數(shù)實際占用總床日數(shù)平均占用床位數(shù)按比例推算出平均開放病床數(shù)病床周轉(zhuǎn)數(shù)病床工作效率外傷32292347.55 7.65 3.79 116.10 青光眼323034311.06 11.21 2.68 81.94 白內(nèi)障11611381326.23 26.56 4.25 130.21 視網(wǎng)膜疾病8469102833.16 33.59 2.05 62.88 由此可算出病床工作效率的平均值為97.87

25、，標(biāo)準(zhǔn)誤為15.428，根據(jù)置信區(qū)間為95%的檢驗可求出病床工作效率的上下限分別為(48.68,146.88)，進(jìn)而求出平均開放床位數(shù)的上下限值為下表中所示：表9-2 病床合理開放區(qū)間表病種床位數(shù)下限床位數(shù)上限外傷6.8 11.8 青光眼8.4 14.5 白內(nèi)障25.0 43.4 視網(wǎng)膜疾病22.0 38.2 不同病癥所需床位的上下限已知，還需要將得到的區(qū)間與目標(biāo)函數(shù)之間進(jìn)行聯(lián)系。由前所述，我們可以得出第種病癥病人在系統(tǒng)中的總逗留時間與第種病癥系統(tǒng)中總?cè)藬?shù)的關(guān)系，而在與固定的情況下又只與有關(guān)，因此總逗留時間最短即為取得最小值又：由此便可以進(jìn)行分析計算：各個病癥的床位之間互相有制約，它們的總和必須小于等于79，而各個與之間卻