數(shù)學(xué)分析2014-2015-期中考試卷及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)上海師范大學(xué)標(biāo)準(zhǔn)試卷2014 2015 學(xué)年 第一學(xué)期 考試日期 2014年 11月19 日（考試時(shí)間：120分鐘） 科目：數(shù)學(xué)分析I （期中卷） 專業(yè) 本、?？?年級(jí) 班 姓名 學(xué)號(hào) 題號(hào)一二三四五六七總分 得分我承諾，遵守上海師范大學(xué)考場規(guī)則，誠信考試。 簽名：_得得分 一. 判斷題(對(duì)的打, 錯(cuò)的打, )1. ( ) 設(shè)為有理數(shù)，為無理數(shù)，則一定是無理數(shù). 2. ( ) 設(shè)數(shù)列滿足：對(duì)任何自然數(shù), 有, 且和都存在，則. 3. ( ) 單調(diào)數(shù)列如果含有一個(gè)收斂的子

2、列, 則本身一定也收斂. 4. ( ) 設(shè)是無窮小數(shù)列, 是無窮大數(shù)列, 則是無窮大數(shù)列. 5. ( ) 任何數(shù)列都存在收斂的子列. 6. ( ) 設(shè)均為無界數(shù)列, 則一定為無界數(shù)列. 7. ( ) 設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義, 且在點(diǎn)的左右極限都存在且相等, 則在極限存在. 8. ( ) 設(shè), 則. 9. ( ) 如果對(duì)任何以為極限的遞減數(shù)列, 都有, 則有. ( ) 若 總可找到使得, 則不存在. 得得分 二敘述題（）1. 敘述極限存在的柯西準(zhǔn)則.答: 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義. 存在的充要條件是：,(2分) 使得對(duì)有.(2分)2. 敘述集合上確界的分析定義.設(shè)是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿足以下兩條：（1）

3、對(duì)一切有，即是數(shù)集S 的上界；(2分)（2） 對(duì)任何存在使得（即是S的最小上界）(2分)則稱數(shù)為數(shù)集的上確界.得得分 三計(jì)算題（本大題滿分24, 每小題）1. 求 2. 求解: 解: = =13. 求 4. 解: 解：5. 設(shè), 求數(shù)的值. 解: 6. 求, 使得.解: ,（2分）(2分)得得分 四用分析定義證明（本大題滿分, 每小題）1. 證明：其中.證明: 設(shè),(2分)對(duì), 當(dāng)時(shí), .(3分)所以2. 證明：證明：（2分）故對(duì)，當(dāng)時(shí)，（3分）3. 證明：. 證明: 對(duì),當(dāng)時(shí),(2分), 所以.(3分)得得分 五. 證明題（本大題滿分18, 每小題）1. 證明極限不存在.證明: 對(duì)(2分),

4、 , 設(shè)正數(shù), 令,(2分)則有,(2分)所以極限不存在.2. 設(shè) 求的上下確界,并用定義驗(yàn)證.解:.(2分)下面驗(yàn)證對(duì)有,對(duì)若.當(dāng)時(shí), 根據(jù)實(shí)數(shù)的稠密性,存在有理數(shù)使得. 所以(2分)下面驗(yàn)證對(duì)有,對(duì)若.當(dāng)時(shí), 根據(jù)實(shí)數(shù)的稠密性,存在有理數(shù)使得. 所以(2分)3. 設(shè), ，。判斷數(shù)列的收斂性，若收斂, 并求其極限.解:因?yàn)?(2分)(2分)所以數(shù)列是單調(diào)遞減且有下界, 則數(shù)列的收斂,(1分)設(shè)(舍去). 所以數(shù)列收斂, .(1分)得得分 六. 證明題（本大題滿分10）用分析定義證明歸結(jié)原則：設(shè)在上有定義，的充要條件是：對(duì)于任何含于且以為極限的數(shù)列，都有.證明：必要性設(shè)，則對(duì)，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，（2分）另一方面，設(shè)數(shù)列含于且，則對(duì)上述的，當(dāng)時(shí)有，從而，即（3分）充分性設(shè)對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列，都有.用反證法，若當(dāng)時(shí)不以為極限，則，使得時(shí)取，則得到數(shù)列使得，而（3分）數(shù)列且，但當(dāng)時(shí)不趨于，與假設(shè)矛盾所以必有（2分）得得分 七. 證明題（本