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文檔簡介
1、立體幾何線面關(guān)系的常見規(guī)律規(guī)律一:線線平行與線線垂直的判定1、直線與直線平行的判定方法:公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線 平行直線與平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平 面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么所得 的兩交線平行2、直線與直線垂直的判定方法: 利用直線與平面垂直的定義來判定:如果一條直線垂直于一個(gè)平面,那么它就與平面內(nèi)的任意一條直線垂直例題1: (2012-南通調(diào)研)如圖,在六面體ABCD-A1B1C1D1
2、中,AA1 /CC1, A1B=A1D, AB=AD.求證:AA1BD;BB1/DD1.例題2: (13泰州期末)在三棱錐S-ABC中,SA平面ABC, SA=AB=AC=亨BC ,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AD上一 點(diǎn),且AE=4DE,點(diǎn)M是線段SD上一點(diǎn),求證:BC AM方法小結(jié):(1)要證明線線垂直有兩條思路:第一條:把其中一條直線平移,使得兩條直 線在同一個(gè)平面,然后用平面幾何的知識證明垂直即可;第二條:通過證明線面 垂直證明。即證明其中一條直線垂直另一個(gè)直線所在的平面。第二條思路用的較 多,要熟練,第一條用的較少,但也不能忘(2)證明線線平行也主要有兩條思路,第一條:證明其中一條
3、直線平行另一條 直線所的平面,在用線面平行的性質(zhì);第二條:先證明兩條直線所在的平面平行,再證明這兩條直線為第三個(gè)平面與兩平行平面所交的交線,即運(yùn)用面面平行的性 質(zhì)定理。面面平行與線面平行的性質(zhì)定理在證明過程中容易被學(xué)生忽視,所以教 學(xué)過程中應(yīng)引起重視同步練習(xí) 1 :在如圖所示的多面體中,AA /BB , CC AC, CC BC .1111求證:CC1 AB ;求證:CCJ/AA1 .(第16題圖)同步練習(xí)2:如圖,在四棱柱ABCD - A1 B1 C 1 D1(第16題圖)AA1 C 1 C 平面 ABCD,且 AB = BC = CA = J3 , AD = CD = 1 .求 證:BDA
4、Ai;同步練習(xí)3: (13南京期初)如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中, 中點(diǎn),若平面人8。上平面BCC1B1,求證:ADDC1;規(guī)律二:線面平行的判定:(第16題)規(guī)律二:線面平行的判定:方法一:直線與平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行;方法二:平面與平面平行的定義:如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任 一條直線平行于另一個(gè)平面例題 2:三棱柱 ABC - ABC 中,面 BBCC 1 面 ABC,AB = AC,D 是 BC 的中點(diǎn),M為aa 1上一動點(diǎn)1 1;疽,I若AM =MA,求證:AD 平面 MBC ;/ AHA.
5、例題3:如圖,已知ABCD,直線BC平面ABE, F為CE的中點(diǎn).求證:直線AE平面BDF;b例題 4:在直角梯形 ABCD 中,ABCD, AB=2BC=4, CD=3, E 為 AB 中點(diǎn),過E作EFCD,垂足為F,如(圖1),將此梯形沿EF折成一 個(gè)直二面角AEFC,如(圖2).求證:BF平面ACD;J) F C FC方法小結(jié):在證明線面平行有兩條思路:第一:通過線面平行的判定,即在平面上找一 條直線與已知直線平行,在平面上找直線與已知直線平行有三種方法:1、構(gòu)造 平行四邊形;2、通過中位線尋找平行;3、通過比例關(guān)系找平行相似。第二,當(dāng) 在已知平面找不出或很難找出直線與已知直線平行時(shí)可以
6、考慮用面面平行的性 質(zhì)來證明,即過已知直線構(gòu)造平面與已知平面平行。同步練習(xí)1:在正三棱柱ABC - ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),BC = BB .求證:AC 平面ABD ;求證:AC 平面ABD同步練習(xí)2 :如圖,直三棱柱方法小結(jié):在證明線面平行有兩條思路:第一:通過線面平行的判定,即在平面上找一 條直線與已知直線平行,在平面上找直線與已知直線平行有三種方法:1、構(gòu)造 平行四邊形;2、通過中位線尋找平行;3、通過比例關(guān)系找平行相似。第二,當(dāng) 在已知平面找不出或很難找出直線與已知直線平行時(shí)可以考慮用面面平行的性 質(zhì)來證明,即過已知直線構(gòu)造平面與已知平面平行。同步練習(xí)1:在正三棱柱ABC - AB
7、C中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),BC = BB .求證:AC 平面ABD ;求證:AC 平面ABD同步練習(xí)2 :如圖,直三棱柱DCCABCA B C,/BAC=90,點(diǎn) MN分別為A B和B C的中點(diǎn).證明:心平面A ACC規(guī)律三:線面平行中的探索問題如圖所示,四邊形ABCD為矩形,人上平面ABE, AE=EB=BC, F為CE上的 點(diǎn),且8尸上平面ACE.(1)求證:AE1BE;設(shè)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點(diǎn)N,*使得奶平面DAE.方法小結(jié):L解決探究性問題一般要采用執(zhí)果索因的方法,假設(shè)求解的結(jié)果存在,從這個(gè)結(jié)果 出發(fā),尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件,如果找到了符合題目結(jié)
8、果要求的條件, 則存在;如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件(出現(xiàn)矛盾),則不存在.同步練習(xí):如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是平行四邊形,以上平面ABCD,D點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn).在線段PD上是否存在一點(diǎn)E,使 心平面入。歸?若存在,請確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請說明理 由.D規(guī)律三:平面與平面平行的判定:平面與平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平 面,那么這兩個(gè)平面平行.例題 5:在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P 分別是 C1C,B1C1,C1D1 的 中點(diǎn),求證:平面尸心平面A1BD.規(guī)律四:直線與平面垂直的判定:直線與平面垂直的判
9、定定理:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直, 那么這條直線垂直于這個(gè)平面平面與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們 交線的直線垂直于另一個(gè)平面例題6:如圖,在四棱錐P-ABCD中,PAL底面ABCD, ABAD, ACLCD,ZABC=60o, PA=AB=BC, E 是 PC 的中點(diǎn).證明:(1)CDLAE;(2)PD 平面 ABE.例題 6:如圖 1 所示,在 RtAABC 中,AC = 6,BC = 3,ZABC = 90。,CD 為ZACB的平分線,點(diǎn)E在線段AC上,CE = 4 .如圖2所示,將ABCD沿 CD折起,使得平面BCD 1平面ACD,連
10、結(jié)AB,設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn). 求證:DE1平面BCD ;r第16既圖r第16既圖I)(第is甑圖叫方法小結(jié):在證明線面垂直時(shí)通常用到的證明線線垂直的方法有:1、等腰三角形的三 線合一;2、菱形與正方形的對角線垂直;3、根據(jù)線段的長度運(yùn)用勾股定理的逆 定理;4、線面垂直的定義;5、面面垂直的性質(zhì)定理在證明過程中可以引導(dǎo)學(xué)生去掌握證明推理中的分析法,即逆向推理同步練習(xí):(2013-江西卷改編)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD, AD LAB, AB=2, AD=、J2, AA1 = 3, E 為 CD 上一點(diǎn),DE=1, EC=3. 證明:8歸上平面BB1C1C.A fi規(guī)律四
11、:平面與平面垂直的性質(zhì)與判定:平面與平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另外一個(gè)平面的一條垂線,那么 這兩個(gè)平面互相垂直例題6:如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC, AB=BC=AAAC=:2BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).證明:平面ABC 1平面B1CD.方法小結(jié):其實(shí)證明面面垂直就是證明線面垂直,不同的是需要我們找哪條直線垂直哪 個(gè)平面,一般方法是如果是要證明ap,那么就在a內(nèi)找一條直線Z證明l ip,或者在p內(nèi)找一條直線a證明a la同步練習(xí):如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1, AA1 = 2, M是棱CC1的中點(diǎn).證明:平面ABM1平面A1B1M.立體
12、幾何線面關(guān)系的常見規(guī)律教師版規(guī)律一:線線平行與線線垂直的判定1、直線與直線平行的判定方法:公理4:平行與同一條直線的兩條直線互相平行直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直與同一個(gè)平面,那么這兩條直線 平行直線與平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平 面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么所得 的兩交線平行2、直線與直線垂直的判定方法: 利用直線與平面垂直的定義來判定:如果一條直線垂直于一個(gè)平面,那么它就與 平面內(nèi)的任意一條直線垂直例題1: (2012-南通調(diào)研)如圖,在六面體ABCD-A1B1C1
13、D1中,AA1 /CC1, A1B=A1D, AB=AD.求證: TOC o 1-5 h z (1)AA1BD;P .BBiDDJ”證明(1)取BD的中點(diǎn) 泌 連結(jié)AM, A1M.因?yàn)锳1D=:、- A1B, AD=AB,所以 BDLAM, BDA1M.又 AMAA1MAB=M, AM, AMU 平面 A1AM,所以8。上平面A1AM.因?yàn)锳A1C平面A1AM,所以AA1BD.(2)因?yàn)?AA/ CC1, AA 平面 DDCC,CC】平面 D1DCC1,所以 AA】/平面 D1DCC1.又 AA Q 平面 A ADD 平面 A ADD o平面 d DC =DD 所以 AA dd 111,111
14、11,11.同理可得AA1/BB1,所以BBJ/DD.3一 例題2: (13泰州期末)在三棱錐S-ABC中,SA平面ABC,SA=AB=AC=y BC,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AD上一點(diǎn),且AE=4DE,點(diǎn)M是線段SD上一點(diǎn),求證:BC AM方法小結(jié):(1)要證明線線垂直有兩條思路:第一條:把其中一條直線平移,使得兩條直 線在同一個(gè)平面,然后用平面幾何的知識證明垂直即可;第二條:通過證明線面 垂直證明。即證明其中一條直線垂直另一個(gè)直線所在的平面。第二條思路用的較 多,要熟練,第一條用的較少,但也不能忘(2)證明線線垂直也主要有兩條思路,第一條:證明其中一條直線平行另一條 直線所的平面,在
15、用線面平行的性質(zhì);第二條:先證明兩條直線所在的平面平行, 再證明這兩條直線為第三個(gè)平面與兩平行平面所交的交線,即運(yùn)用面面平行的性 質(zhì)定理。面面平行與線面平行的性質(zhì)定理在證明過程中容易被學(xué)生忽視,所以教 學(xué)過程中應(yīng)引起重視同步練習(xí)1:在如圖所示的多面體中,同步練習(xí)1:在如圖所示的多面體中,AA1/籍,CC AC, CC BC .求證:CC AB ;求證:CC AB ;求證:CC1/AA1 .(第16題圖)同步練習(xí)2:如圖,在四棱柱ABCD - A1 B1 C 1 D1中,已知平面AA1 C 1 C 平面ABCD,且AB = BC = CA = *3, AD = CD = 1.求證:BD1AA1;
16、規(guī)律二:線面平行的判定:同步練習(xí)3: (13南京期初)如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中, 中點(diǎn),若平面ABCL平面BCC1B1,求證:ADDC1;規(guī)律二:線面平行的判定:(第16題)方法一:直線與平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行;方法二:平面與平面平行的定義:如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任 一條直線平行于另一個(gè)平面,AB = AC,D 是 BC例題2:三棱柱ABC - ABC中,面BBCC 1面ABC 的中點(diǎn),M為,AB = AC,D 是 BC若 AM = MA1,求證:AD 平面 MBC 1 ;例題3:如圖,已知A
17、BCD,直線BC平面ABE,F(xiàn)為CE的中點(diǎn).求證:直線AE平面BDF;例題 4:在直角梯形 ABCD 中,ABCD, AB=2BC=4, CD=3, E 為 AB 中點(diǎn),過E作EFCD,垂足為F,如(圖1),將此梯形沿EF折成一 個(gè)直二面角AEFC,如(圖2).求證:BF平面ACD;方法小結(jié):在證明線面平行有兩條思路:第一:通過線面平行的判定,即在平面上找一 條直線與已知直線平行,在平面上找直線與已知直線平行有三種方法:1、構(gòu)造 平行四邊形;2、通過中位線尋找平行;3、通過比例關(guān)系找平行相似。第二,當(dāng) 在已知平面找不出或很難找出直線與已知直線平行時(shí)可以考慮用面面平行的性 質(zhì)來證明,即過已知直線
18、構(gòu)造平面與已知平面平行。同步練習(xí)1:在正三棱柱ABC 方法小結(jié):在證明線面平行有兩條思路:第一:通過線面平行的判定,即在平面上找一 條直線與已知直線平行,在平面上找直線與已知直線平行有三種方法:1、構(gòu)造 平行四邊形;2、通過中位線尋找平行;3、通過比例關(guān)系找平行相似。第二,當(dāng) 在已知平面找不出或很難找出直線與已知直線平行時(shí)可以考慮用面面平行的性 質(zhì)來證明,即過已知直線構(gòu)造平面與已知平面平行。同步練習(xí)1:在正三棱柱ABC - ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),BC = BB .求證:AC 平面ABD ;同步練習(xí)2 :如圖,直三棱柱ABCA B C,/BAC=90,點(diǎn) MN分別為A B和B C的中點(diǎn).證
19、明:心平面A ACC證明法一連接AB, AC,如圖CC由已知/ BAC=90, AB=AC,三棱柱 BABCA B C 為直三棱柱,所以M為AB中點(diǎn).又因?yàn)镹為B C的中點(diǎn),所以MN/AC .又心陰平面A ACC, AC。平面A ACC, 因此心平面A ACC.法二取A B的中點(diǎn)尸,連接MP, NP, AB,如圖,而M,N分別為AB與B C的中點(diǎn),所以 MPAA,PNA C,所以 心尸平面A ACC,尸平面A ACC 又 MPENP=P,因此平面心尸平面A ACC而心。平面心尸凱因此肋2平面A ACC同步練習(xí)3:如圖,在四面體ABCD中,F(xiàn),E,H分別是棱AB, BD,AC的中點(diǎn),G為DE的中
20、點(diǎn).證明:直線丑弓平面CEF. 證明 法一 如圖1,連接BH,BH與CF交于K,連接EK.,:F,H分別是AB,AC的中點(diǎn),.K 是AABC的重心,.BK 2BE 2,BH=3.又據(jù)題設(shè)條件知,bg=3,.BK BE bh=bg,, EK GH./ EK c平面CEF,弓如平面CEF,.直線丑弓平面CEF.法二如圖2,取CD的中點(diǎn)N,連接GN、HN./ G為DE的中點(diǎn),.GN CE. / CEc平面CEF,弓麗平面CEF, .6平面CEF.連接FH,EN:F,E,H分別是棱AB,BD,AC的中點(diǎn), FH瓣BC,EN葛B(yǎng)C,.FH名秀EN,.四邊形FHNE為平行四邊形,:.HNEF. :EFC平
21、面CEF,冊砰面CEF,:.於平面CEF.HN n GN=N,.平面 弓於平面CEF.;GHU平面GHN,:直線 丑弓平面CEF.規(guī)律三:線面平行中的探索問題如圖所示,四邊形ABCD為矩形,人上平面ABE, AE=EB=BC, F為CE上的 點(diǎn),且8尸上平面ACE.求證:AE1BE;設(shè)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點(diǎn)N,使得奶平面DAE. TOC o 1-5 h z 證明,VAD平面 ABE,ADBC,ABC平面 ABE,又 AEC平面 ABE, i .則AE1BC.又.8尸上平面ACE,AAEBF,又 BFn BC=B ?.AE 平面 BCE,又 8歸。平面 BCE
22、,AAEBE.解 在ABE中過M點(diǎn)作MGAE交BE于G點(diǎn),在BEC中過G點(diǎn)作GNBC交EC于N點(diǎn),連接MN,則由比例關(guān)系易得CN=CE.,:MG您,心弓平面ADE,AEC平面ADE,:.MG平面 ADE.同理,弓平面 ADE.又:GNn MG=G,.平面 心6平面ADE.又 MNU平面MGN,:.MN平面ADE.N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).方法小結(jié):解決探究性問題一般要采用執(zhí)果索因的方法,假設(shè)求解的結(jié)果存在,從這個(gè)結(jié)果 出發(fā),尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件,如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件, 則存在;如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件(出現(xiàn)矛盾),則不存在.同步練習(xí):如圖,在四棱錐P-
23、ABCD中,底面是平行四邊形,以上平面ABCD, 點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn).在線段PD上是否存在一點(diǎn)E,使NM平面入。歸?若存在,請確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請說明理由.解 在PD上存在一點(diǎn)E,使得心平面ACE.證明如下:取PD的中點(diǎn)E,連接NE,EC,AE,因?yàn)镹,E分別為PA,PD的中點(diǎn),所以NE 2aD.又在平行四邊形ABCD中,CM名葛AD.所以NE名秀MC,即四邊形MCEN是平行 四邊形.所以NM秀EC.又歸。平面ACE, NMG平面ACE,所以心平面入。歸,即在PD上存在一點(diǎn) E,使得NM平面 ACE.規(guī)律三:平面與平面平行的判定:平面與平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩
24、條相交直線都平行于另一個(gè)平 面,那么這兩個(gè)平面平行.例題 5:在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中,M, N, P 分別是 C1C, B1C1, C1D1 的中點(diǎn),求證:平面尸心平面A1BD.證明 法一 如圖,連接B1D1, B1C.,:P, N 分別是 D1C1, B1C1 的中點(diǎn),:.PN/B1D1.又B1DBD,:.PNBD.又尸閘平面A1BD,.尸平面A1BD.同理 心平面A1BD.又PN E MN=N,.平面尸心平面A1BD.法二如圖,連接AC1, AC,且 ACEBD = O,VABCD-A1B1C1D1 為正方體,AACXBD,。上平面 ABCD, ACC11BD,又 ACE
25、CC1.BD上平面ACC,.AC1 BD.同理可證AC1XA1B,4AAC1上平面A1BD.同理可證AC1平面PMN,.平面尸心平面A1BD.規(guī)律四:直線與平面垂直的判定:直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直, 那么這條直線垂直于這個(gè)平面平面與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們 交線的直線垂直于另一個(gè)平面例題6:如圖,在四棱錐P-ABCD中,PAL底面ABCD, AB AD, ACLCD, ZABC=60, PA=AB=BC, E 是 PC 的中點(diǎn).證明:(1)CQAE;(2)PD 平面 ABE.證明(1)在四棱錐P-ABCD中,y
26、PA底面ABCD,。平面ABCD,PACD. AC LCD, PAQAC=A,CD 平面 PAC.而 AEC 平面 PAC,CDAE.(2)由 PA=AB=BC,ZABC=60,可得 AC=PA.,:E是PC的中點(diǎn),.AELPC.由(1),知 AELCD,且 PCECD = C,?.AE 平面 PCD.而尸口。平面 PCD,AAEPD.VP4 底面 ABCD,AP4AB.又:AB LAD 且 PAQAD=A,:,AB平面 PAD,而 PDU 平面 PAD,:.ABLPD .又 VABAAE=A,PDL平面ABE.例題 6:如圖 1 所示,在RtAABC 中,AC = 6,BC = 3,ZABC
27、 = 90。,CD 為ZACB的平分線,點(diǎn)E在線段AC上,CE = 4.如圖2所示,將ABCD沿 CD折起,使得平面BCD 1平面ACD,連結(jié)AB,設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).求證:DE 1平面BCD ;C第16既圖C第16既圖I)(第幅甑圖U方法小結(jié):在證明線面垂直時(shí)通常用到的證明線線垂直的方法有:1、等腰三角形的三 線合一;2、菱形與正方形的對角線垂直;3、根據(jù)線段的長度運(yùn)用勾股定理的逆 定理;4、線面垂直的定義;5、面面垂直的性質(zhì)定理在證明過程中可以引導(dǎo)學(xué)生去掌握證明推理中的分析法,即逆向推理同步練習(xí):(2013-江西卷改編)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD,AD LAB, AB=2, AD=弟,AA1 = 3, E 為 CD 上一點(diǎn),DE=1, EC=3.證明:8歸上平面BB1C1C.證明 過B作CD的垂線交CD于尸,則BF
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