空間頻率與空間濾波

1、空間頻譜與空間濾波實(shí)驗(yàn)背景：阿貝成像原理認(rèn)為：透鏡成像過程可分為兩步，第一步是通過物體衍射的光在系統(tǒng)的頻 譜面上形成空間頻譜，這是衍射引起的“分頻”作用；第二步是代表不同空間頻率的各 光束在像平面上相互疊加而形成物體的像，這是干涉引起的“合成”作用。這兩步從本 質(zhì)上對應(yīng)著兩次傅里葉變換。如果這兩次傅里葉變換完全理想，則像和物應(yīng)完全一樣。 如果在頻譜面上設(shè)置各種空間濾波器，當(dāng)去頻譜中某一頻率的成分，則將明顯地影響圖 像，此即為空間濾波。二， 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?，掌握光具座上光學(xué)調(diào)整技術(shù)；2，掌握空間濾波的基本原理，理解成像過程中“分頻”與“合成”作用。3，掌握方向?yàn)V波，高通濾波，低通濾波等濾波技術(shù)，觀

2、察各種濾波器產(chǎn)生的濾波效果， 加深對光學(xué)信息處理實(shí)質(zhì)的認(rèn)識。三， 實(shí)驗(yàn)原理：1，傅立葉變換近代光學(xué)中，對光的傳播和成像過程用傅立葉變換來表達(dá)，形成了傅立葉光學(xué)，可以處 理一些無法用經(jīng)典光學(xué)理論解決的問題。傅立葉變換時處理振蕩和波這類問題的有力工具。 對振動和波的傅立葉分析一般在時域和頻域中進(jìn)行，而對光的傳播與成像分析是在空間和倒 數(shù)空間中進(jìn)行的。不考慮時域，單色平面光波的表達(dá)式如下： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document f （r） = Aexpi（k - r +中。）（1）直角坐標(biāo)系中，k的方向余弦為（cos以,cos

3、P,cos y），為（x，y，z）r2兀/八、（2）k - r = - （x cos a + y cos P, z cos y）（2）X波矢量的物理意義可以理解為平面波的空間頻率，在X，y，z方向上三個分量分別為二2兀2兀2兀，（3）f = X cosa, f = x cosp, fz = * cos y（3）g (x, yg (x, y)=jjG(f , f )expi2兀(xf + yf )df dfx yx y x y其中G（ ff 被稱為物函數(shù)的空間頻譜函數(shù)。它可以 由物函數(shù)g（x,y）求得，其關(guān)系式為G(f , f ) = jj s g(x, y)exp-i2k( f x + f y

4、)dxdy x yxyJ-sy(5)（4） （5）式為傅立葉正變換與逆變換公式。在實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)上，一個完善的薄透鏡是一個二維 付立葉變換運(yùn)算器，對于放置在物方焦面上物，在象方焦面上所成象就是物的付立葉變換， 即在象方焦面上得到是物函數(shù)的頻譜（如圖1）。2，光柵（空間周期性）物函數(shù)的傅立葉變換 光柵的物函數(shù)表達(dá) TOC o 1-5 h z qbnd + V x nd + 22nd + X| (n + 1)d -2 2頻譜表達(dá)A = AG + A 切G cos(2兀nf x)o o o nnn HYPERLINK l bookmark42 o Current Document =A G +少 G ex

5、p(/2nf x) + exp(-i2nf x)oo 2nnn其中fn=n/d,即光柵的第n級空間頻譜，A為垂直照射在光柵上的平面波振幅。AoGo是零級 衍射光，方括號內(nèi)第一項(xiàng)為正衍射級，第二項(xiàng)為負(fù)衍射級，在空間頻譜中它們分別為零頻， 正頻和負(fù)頻。3，阿貝成像原理阿貝認(rèn)為在相干平行光照射下，顯微鏡的成像可分為兩個步驟。第一個步驟是通過物的 衍射在物鏡后焦面上形成一個初級干涉圖;第二個步驟則為物鏡后焦面上的初級干涉圖復(fù)合 為像（圖1）。成像的這兩個步驟本質(zhì)上就是兩次傅里葉變換。物的復(fù)振幅分布是g（x,y）， 可以證明在物鏡的頻譜面（后焦面）上的復(fù)振幅分布是g（x,y）的傅里葉變換Gff。所 以第

6、一個步驟起的作用就是把光場分布變?yōu)榭臻g頻率分布。而第二個步驟則是又一次傅里葉 變換將G（ff 又還原到空間分布g（x，y）。物是空間不同頻率的信息的集合，第一 次付立葉變換是分頻的過程,第二次付立葉逆變換是合頻過程,形成新的不同頻率的信息的 集合一象.（付立葉變換在物理上代表原函數(shù)一空間周期函數(shù)的頻譜）。如果這兩次傅氏變換完全是理想的，信息在變換過程中沒有損失，則像和物完全相似。 但由于透鏡的孔徑是有限的，總有一部分衍射角度較大的高次成分（高頻信息）不能進(jìn)入物 鏡而被丟棄了。所以物所包含的超過一定空間頻率的成分就不能包含在像上。如果高頻信息 沒有到達(dá)像平面，則無論顯微鏡有多大的放大倍數(shù)，也不能

7、在像平面上分辨這些細(xì)節(jié)。這是 顯微鏡分辨率受到限制的根本原因。x y4,光學(xué)濾波與 調(diào)制在光學(xué)信息處理中，依據(jù)傅立葉逆變換公式，通過改變頻譜函數(shù)，就可改變象函數(shù)。在 頻譜面上人為地放置一些濾波器，以該變頻譜面所需位置上的光振幅或位相，便可得到所需 要的象函數(shù)。這個改變頻譜函數(shù)的過程就是空間濾波。最簡單的濾波器就是一些特殊形狀的 光闌（如圖三）。低通 高通 選通 方向?yàn)V波器圖3常見的振幅型空間濾波器四，實(shí)驗(yàn)儀器：He-Ne激光器，擴(kuò)束鏡C，準(zhǔn)直鏡Lo，網(wǎng)格輸入物，傅里葉變換透鏡L1和L2,孔屏，白 屏，干板架，網(wǎng)格，低頻光柵（25線/mm），各種常見的濾波器等。五， 實(shí)驗(yàn)步驟：1，按4f系統(tǒng)傅里

8、葉變換光路依次加入光學(xué)元件，排好光路，在L1的前焦面放金屬絲 網(wǎng)格，在白屏上就呈現(xiàn)網(wǎng)格的傅里葉頻譜。取下面的白屏，在面上就看到網(wǎng)格的像。2，將4f系統(tǒng)光路改變成單透鏡系統(tǒng)光路，觀察頻譜及所成的像。3，單透鏡系統(tǒng)光路中，將給出的幾種形式的簡單的濾波器，分別在頻譜面上進(jìn)行濾波， 并詳細(xì)記下實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。六，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及分析：1，4f系統(tǒng)傅里葉變換光路中：Lo準(zhǔn)直透鏡的焦距是300mm，兩個傅里葉變換透鏡的焦 距都是300mm。在準(zhǔn)直鏡和第一個傅里葉透鏡之間放上金屬絲網(wǎng)格，構(gòu)成矩形光柵。再 在兩個傅里葉變換透鏡中間的地方放上白屏，可以看到清晰地十字衍射圖樣。該圖像時 矩形衍射光柵的空間頻譜。其中最中心的亮

9、斑是零級衍射，所有光斑中空間頻率低的靠 中心，空間頻率高的靠邊緣。若力為光波波長，f為透鏡焦距，Xf，Yf為后焦面（即頻譜面）上任一點(diǎn)的位置坐標(biāo)，則（Xf，Yf）點(diǎn)對應(yīng)的空間頻率分別為Xf/ f, Yf/ f.有很多空間頻譜是因?yàn)樵瓉淼奈锖瘮?shù)是一個矩形波，而矩形波通過傅里葉展開，會得到 無窮多頻率的正選函數(shù)的疊加。高頻光相當(dāng)于高頻近似，所以越到高頻，光越弱。將白屏在兩透鏡之間來回移動，發(fā)現(xiàn)圖像依舊為十字方格，但是很模糊，只有在透鏡焦 距處很清楚。這是因?yàn)閷τ诘谝粋€傅里葉變換透鏡，經(jīng)過金屬網(wǎng)格絲后的衍射光，相當(dāng)于一 束束不同角度的平行入射光，射到透鏡上時，聚焦在透鏡后300mm處的頻譜面上，所以

10、在焦 距上像是最清楚的。將白屏移到第二個透鏡后的像面上，得到的是金屬網(wǎng)格的像。2,在頻譜面上設(shè)置各種濾波器：（a）加上低通濾波器后，通低頻，得到的像是一個處在圓心的亮斑。（b）加上高通濾波器后，通高頻，得到的像是一個中心為暗斑的亮環(huán)，光強(qiáng)被分布在了 高頻部分。（c）加上十字方向?yàn)V波器后，通十字方向的空間頻率，得到的圖像是一個模糊的十字。轉(zhuǎn)換十字的方向，會在與傅里葉分析得到的空間頻率垂直的方向上，得不到圖像。3, 4f系統(tǒng)傅里葉變換光路的缺點(diǎn)是頻譜位置不可調(diào)，缺乏靈活性。在單透鏡系統(tǒng)傅里葉變 換光路上，不安排準(zhǔn)直鏡，所以照明光束是一束發(fā)散光束。由書中所給公式，設(shè)計(jì)使物面與 L的距離為s=590mm，擴(kuò)束鏡與透鏡的距離為p=700mm，頻譜面與透鏡的距離為570mm。在頻譜