空間向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié)85454

1、空間向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié)一.知識要點(diǎn)。1?？臻g向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量.注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性空間向量的運(yùn)算。定義:與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）.OB = OA + AB = a + b ； BA = OA - OB = a - b ; OP = Xa （人 e R） TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 運(yùn)算律：（1）加法交換律:a+b = b + a A HYPERLINK l

2、 bookmark10 o Current Document -加法結(jié)合律r（a七b） + C =a + 婦 c） 一一-數(shù)乘分配律：M0 + b） = M + b運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3。共線向量.（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共A線向量或平行向量，a平行于b，記作ab .（2）共線向量定理:空間任意兩個(gè)向量a、b（b豐O）, a/b存在實(shí)數(shù)刀使a =廟。（3）三點(diǎn)共線:A、B、C三點(diǎn)共線 AB = AC=OC = xOA + yOB（其中x + y = 1）（4）與a共線的單位向量為土 -4。共面向量（1）定義:一般地

3、，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明:空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù) x, y 使 p = xa + yb（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面 AP = xAB + yAC一-定比分點(diǎn)公式：若A(氣，y1, z1)，B(x2, y2, z2)，ap=x pb，則點(diǎn)p坐標(biāo)為 /x +Xx y +Xy z +Xz、(旦 2i 2, 1 )2).推導(dǎo):設(shè)p(x，y，z)則(x氣yy,zz)=X(氣x,y y,z)，1 + X1 + X1 + X1,11222口 ak 、/ 、r . t,x + x y + y

4、z + z 、業(yè)然，當(dāng) P 為 AB 中點(diǎn)時(shí)寸，P( 2,12,1 )22 AABC中, A(x ,y ,z),B(x ,y ,z ),C(x ,y ,z )，三角形重心 P 坐標(biāo)為 111222333x + x + x y + y + y z + z + z、 P( 123123123 )P( 3 2 2 )2 ABC的五心一 AB AC 內(nèi)心P:一 AB AC 內(nèi)心P:內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。AP =眼 +lAB lACl=IPCI垂心P:高的交點(diǎn)：PA - PB = PA - PC = PB - PC (移項(xiàng)，內(nèi)積為0,則垂直) 1重心P:中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比)AP =

5、3(AB+AC)外心？:外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。PA = PB)(單位向量)中心:正三角形的所有心的合一。 TOC o 1-5 h z (4)模長公式：若 a = (a , a , a ),b = (b , b , b ), 123123貝JI a 1= Ja -a = Ja2 + a 2 + a 2 , | b =Jbb = Jb2 + b 2 + b 2J 123 ，123(5)夾角公式：cosja -b =a(5)夾角公式：cosja -b =112233.1 a 1 1 b 1 J a 2 + a 2 + a 2 :b 2 + b 2 + b 2 13-3,12 32ABC中ab

6、AC 0 二A為銳角ab AC 0二A為鈍角，鈍角(6)兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x ,y ,z )，B(x ,y ,z )， . 一 丁 1 1222:-x )2 + (y :-x )2 + (y - y )2 + (z - z )2 , 212121或 d = (x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )2 A, B 、2121217?？臻g向量的數(shù)量積.空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a, b ,在空間任取一點(diǎn)。,作 OA = a,OB = b，則ZAOB叫做向量a與b的夾角，記作 ；且規(guī)定 0 a,b K兀，顯然有= ；若=土,則稱小與b互相垂直,記作：a 1 b

7、 . 一 (2)向量的模設(shè)OA = a，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模記作：Ia I。e)向量的數(shù)量積:已知向量a,b，則a I b 1 cos 叫做a,b的數(shù)量積，記作 a b，即 a b = I a I I b I ；cos._空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：_ 二- _ -一 a e =I a Lcos 。 a 1 b o a b = 0。I a I2 = & a。(5)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：(Xa) b =X(a b) = a (Xb)。a b = b a (交換律)._ 一a (b + c) = a b + a c (分配律). fc- F- t fr 不滿足乘法結(jié)合率：(a b)c

8、豐a(b c) 一一-二.空間向量體幾何- -1 .線線平行o兩線的方向向量平行1線面平行。線的方向向量與面的法向量垂直2面面平行。兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）。兩線的方向向量垂直1線面垂直。線與面的法向量平行2面面垂直。兩面的法向量垂直3線線夾角e （共面與異面）00,90。 o兩線的方向向量,n2的夾角或夾角的補(bǔ)角，F(xiàn)cose = cos v n1, n2 1線面夾角e 0。,90。:求線面夾角的步驟:先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾 角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角。sin e2面面夾角（二面角）e 0。,180。:若兩面的法向量一進(jìn)

9、一出，則二面角等于兩法向 量n1, n 2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角。cose = 土 cos v n , n 4 .點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)pG, *）到平面a的距離：在平面a上去一點(diǎn)qG, y），得向量pq ； 計(jì)算平面a的法向量n ；h _/.廠_h = n_1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1 .基本運(yùn)算與基本知識（）例1。已知平行六面體ABCD- a，b，cd，化簡下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向 量。 AB + BC ； AB + AD + AAf ； AB + AD + 2CC；冷+ AD + AA）。例

10、2.對空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C，問滿足向量式：OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z = 1）的四點(diǎn) P, A,B,C 是否共面？例 3 已知空間三點(diǎn) A（0，2,3），B （2,1, 6）,C （1,1, 5）。求以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量a分別與向量AB, AC垂直，且I a 1= 13，求向量a的坐標(biāo)。2 .基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）.坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）.幾何法例 4。如圖，在空間四邊形 OABC 中,OA = 8，AB = 6, AC = 4，BC = 5, ZOAC = 45 , /OA

11、B = 60， 求OA與BC的夾角的余弦值。AAAA說明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如 = 135 易錯(cuò)寫成 = 45， 切記！ 例5.長方體ABCD - ABCD中，AB = BC = 4， E為AC 與 BD的交點(diǎn)，F(xiàn)為BC與BC的 交點(diǎn)，又AF 1 BE，求長方體的高BB。EE【模擬試題】巳知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC,BD，設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá) 式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：(1) AB + BC + CD ；AB +、(BD + BC) ；(3)AG-(AB + AC)。222。巳知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量。OE = kOA, OF=kOB,

12、 OG = kOC, OH=kOD。求證：四點(diǎn)E, F, G, H共面；平面AC /平面EG .3。如圖正方體ABCD - ABCD中，BE = DF = 1 AB，求BE與DF所成角的余弦.iiiii i ii 4iiii5.巳知平行六面體ABCD-ABCD呻,AB = 4, AD = 3, AA = 5, ZBAD = 90，ZBAA = ZDAA = 60 ,求 ACf 的長。參考答案 AC = AB + AD， AC = AB + AD，AB + BC + CD = AC + CD = AD ；AB + i(BD + BC) = AB +1BC +1BD 222二 AB + BM MG

13、 AG ；,AG-2(AB + AC) = AG-AM= MG2。項(xiàng)：(1盤明二.四邊形abcd是平行四邊形，EG = OG - OE，=k OC - k OA = k(OC - OA) = kAC = k(AB + AD)=k(OB - OA + OD - OA) = OF - OE + OH - OE-一=EFTE廠EF, G, H共面；一 一一一(2)解：WfWF -OE =k(OB-OAy= k AB，又 L EG = k AC , EFMB, EG / AC。所以，平面AC/平面EG。3。一 一 TOC o 1-5 h z 解:不妨設(shè)正方體棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系O - xyz,， 31則 B(1,1,0)，E (1,1)，D(0,0,0)，F(xiàn) (0,-,1)，14141,八1八-BE1 = (0, - 4，1), DF = (0,4，1)，.應(yīng)- BE = DF=、,. 15BEDF = 0 x 0 + (-彳 x 彳)+ 1x 1 =沽.一15cos; BE , DF L =呈6 = 15.1一1，1)解得 x = y = z=1 或 x=y=Z=