2021-2022學(xué)年湖南省永州市赤塘中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

1、2021-2022學(xué)年湖南省永州市赤塘中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 已知，若，則的值是 （ ）A B或 C，或 D參考答案：D略2. 在ABC中，AD，BE，CF分別是BC，CA，AB邊上的中線，G是它們的交點(diǎn)，則下列等式中不正確的是（）A =B =C =2D +=參考答案：B【考點(diǎn)】96：平行向量與共線向量【分析】由三角形的重心定理和向量共線定理可得：， =，即可判斷出【解答】解：由三角形的重心定理可得：， =，可知：A，C，D都正確，B不正確故選：B3. 如圖圓C內(nèi)切于扇形AOB，A

2、OB=，若在扇形AOB內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在圓C內(nèi)的概率為（）ABCD參考答案：C【考點(diǎn)】CF：幾何概型；G8：扇形面積公式【分析】本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的包含的事件對應(yīng)的是扇形AOB，滿足條件的事件是圓，根據(jù)題意，構(gòu)造直角三角形求得扇形的半徑與圓的半徑的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)面積的求法求得扇形OAB的面積與P的面積比【解答】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，設(shè)圓C的半徑為r，試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的是扇形AOB，滿足條件的事件是圓，其面積為C的面積=?r2，連接OC，延長交扇形于P由于CE=r，BOP=，OC=2r，OP=3r，則S扇形AOB=；C的面積與扇形OAB的

3、面積比是概率P=，故選C【點(diǎn)評】本題是一個等可能事件的概率，對于這樣的問題，一般要通過把試驗發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來，根據(jù)集合對應(yīng)的圖形做出面積，用面積的比值得到結(jié)果連接圓心和切點(diǎn)是常用的輔助線做法，本題的關(guān)鍵是求得扇形半徑與圓半徑之間的關(guān)系4. 三個數(shù)20.3，0.32，log0.32的大小順序是（）A0.32log0.3220.3B0.3220.3log0.32Clog0.3220.30.32Dlog0.320.3220.3參考答案：D【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【解答】解：20.31，00.321，log0.320，log0.320.3220

4、.3，故選：D5. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則為A. B. C. D.參考答案：B略6. 函數(shù)的定義域是（ ） A B C D參考答案：C略7. 九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中方田章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為弧田面積，弧田（如圖所示）由圓弧和其所對的弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積大約是（）（ ）A. 16平方米B. 18平方米C. 20平方米D. 24平方米參考答案：C分析：根據(jù)已知數(shù)據(jù)分別計算弦和矢的長度，再按照弧田面積經(jīng)驗公式計算，即可得到答案.詳解：由題可知，半徑，圓心

5、角，弦長：，弦心距：，所以矢長為.按照弧田面積經(jīng)驗公式得，面積故選C.點(diǎn)睛：本題考查弓形面積以及古典數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題，考查學(xué)生對題意的理解和計算能力.8. 直線a、b、c及平面、，下列命題正確的是：（ ）A 若，則 B 若，則C 若，則 D 若，則參考答案：D9. 在空間中，給出下列四個命題：平行于同一個平面的兩條直線互相平行；垂直于同一個平面的兩個平面互相平行；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；垂直于同一個平面的兩條直線互相平行其中正確命題的序號是（ ）A. B. C. D. 參考答案：D【分析】通過線面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，平行公理可以對四個命題進(jìn)行判斷，最后選出正確的答案.【詳解】

6、命題: 平行于同一個平面的兩條直線可以平行、相交、異面，顯然命題是假命題；命題：垂直于同一個平面的兩個平面可以平行，也可以垂直，顯然命題是假命題；命題：這是平行公理顯然命題是真命題；命題：根據(jù)平行線的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可以知道這個真命題，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和對有關(guān)定理的理解.10. sin2010=（ ）A B C D參考答案：B由題意，可根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，將大角化為銳角，再由三角函數(shù)的定義進(jìn)行求值，故正確答案為B.二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知，則=參考答案：【考點(diǎn)】GO：運(yùn)

7、用誘導(dǎo)公式化簡求值【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可知=sin（），進(jìn)而整理后，把sin（+）的值代入即可求得答案【解答】解： =sin（）=sin（+）=故答案為：12. 已知集合,，則 參考答案：13. 把化為的形式即為_ 參考答案：14. 直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長度等于_參考答案： 15. 若，則ab的最大值為_參考答案：【分析】由，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】因，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號；故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由基本不等式求積的最大值，熟記基本不等式即可，屬于基礎(chǔ)題型.16. 函數(shù)f（x）=的最小正周期為參考答案：2【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思

8、想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的求值【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡函數(shù)解析式可得f（x）=，又y=|sinx|的周期為，cosx的周期為2，結(jié)合函數(shù)的圖象化簡求得其周期【解答】解：f（x）=，又y=|sinx|的周期為，cosx的周期為2，作出其圖象如下：可得函數(shù)f（x）=的最小正周期為2故答案為：2【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性及其求法，利用了y=Asin（x+ ）、y=Asin（x+ ）的周期等于，y=|Asin（x+ ）|、y=|Asin（x+ ）|的周期等于，屬于基礎(chǔ)題17. 函數(shù)y=tan（2x）的定義域為 參考答案：【考點(diǎn)】正切函數(shù)的定義域【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義域，我們

9、構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式，求出自變量x的取值范圍，即可得到函數(shù)的定義域【解答】解：要使函數(shù)的解析式有意義自變量x須滿足：k+，kZ解得：故函數(shù)的定義域為故答案為三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. （本小題滿分12分）定義在（-1,1）上的函數(shù)滿足：對任意都有；在上是單調(diào)遞增函數(shù)，.（1）求的值；（2）證明為奇函數(shù)；（3）解不等式.參考答案：略19. 如圖，在四棱錐PABCD中，已知PA平面ABCD，BAD=90，ADBC，PA=AB=BC=1，AD=2，E為PD的中點(diǎn)（1）求證：CD平面PAC；（2）求直線EC與平面PAC所成角的正切值參考

10、答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定【分析】（1）連接AC，推導(dǎo)出DCPA，DCAC，由此能證明CD平面PAC（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線EC與平面PAC所成角的正切值【解答】證明：（1）連接AC，PA平面ABCD，PADC，即DCPA，過C作CCAD，交AD于C，則CC=1，CD=1，CD=2，又AC=2，AC2+CD2=2+2=AD2，DCAC，ACPA=A；CD平面PAC解：（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，C（1，1，0），E（0，1，），P（0，0，1），A（0

11、，0，0），D（0，2，0），=（1，1，0），=（1，0，），CD平面PAC，平面PAC的一個法向量=（1，1，0），設(shè)直線EC與平面PAC所成角為，則sin=，cos=，tan=，直線EC與平面PAC所成角的正切值為20. 已知函數(shù)f（x）=+x，x3，5（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義證明；（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的增減性來求特定區(qū)間上的最值問題；【解答】解：（1）證明：設(shè)任意變量x1，x2且3x1x25f（x1）f（x2

12、）=；3x1x25 x1x20，x2x10，1x1x20；f（x1）f（x2）；函數(shù)f（x）為x3，5增函數(shù)（2）由（1）知函數(shù)f（x）為x3，5增函數(shù)；21. （10分） 點(diǎn)（2，1）與（1，2）在函數(shù)的圖象上，求的解析式參考答案：22. 某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實踐，對25，55歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組25，30）1200.6第二組30，35）195p第三組35，40）1000.5第四組40，45）a0.4第

13、五組45，50）300.3第六組50，55）150.3（）補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；（）從年齡段在40，50）的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動，其中選取2人作為領(lǐng)隊，求選取的2名領(lǐng)隊中恰有1人年齡在40，45）歲的概率參考答案：【考點(diǎn)】BF：隨機(jī)抽樣和樣本估計總體的實際應(yīng)用；B8：頻率分布直方圖【分析】（I）根據(jù)頻率分步直方圖的面積是這組數(shù)據(jù)的頻率，做出頻率，除以組距得到高，畫出頻率分步直方圖的剩余部分，根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系，做出n、a、p的值（II）根據(jù)分層抽樣方法做出兩個部分的人數(shù)，列舉出所有試驗發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，根據(jù)等可能事

14、件的概率公式，得到結(jié)果【解答】解：（）第二組的頻率為1（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3，高為頻率直方圖如下：第一組的人數(shù)為，頻率為0.045=0.2，由題可知，第二組的頻率為0.3，第二組的人數(shù)為10000.3=300，第四組的頻率為0.035=0.15，第四組的人數(shù)為10000.15=150，a=1500.4=60（）40，45）歲年齡段的“低碳族”與45，50）歲年齡段的“低碳族”的比值為60：30=2：1，所以采用分層抽樣法抽取6人，40，45）歲中有4人，45，50）歲中有2人設(shè)40，45）歲中的4人為a、b、c、d，45，50）歲中的2人為m、n，則選取2人作為領(lǐng)隊的有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，m）、（a，n）、（b，c）、（b，d）、（b，m