多元函數(shù)微分學(xué)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 多元函數(shù)微分學(xué)本章提要基本概念多元函數(shù)，二元函數(shù)的定義域與幾何圖形，多元函數(shù)的極限與連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)，二階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)，全微分，切平面，多元函數(shù)的極值，駐點(diǎn)，條件極值，方向?qū)?shù)，梯度基本方法二元函數(shù)微分法：利用定義求偏導(dǎo)數(shù)，利用一元函數(shù)微分法求偏導(dǎo)數(shù)，利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)微分法：拉格朗日乘數(shù)法定理混合偏導(dǎo)數(shù)與次序無(wú)關(guān)的條件，可微的充分條件，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，極值的必要條件，極值的充分條件二、要點(diǎn)解析問題 比較一元函數(shù)微分學(xué)與二元函數(shù)微分學(xué)基本概念

2、的異同，說(shuō)明二元函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在、連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系解析 多元函數(shù)微分學(xué)的內(nèi)容是與一元函數(shù)微分學(xué)相互對(duì)應(yīng)的由于從一元到二元會(huì)產(chǎn)生一些新的問題，而從二元到多元往往是形式上的類推，因此我們以二元函數(shù)為代表進(jìn)行討論如果我們把自變量看成一點(diǎn)，那么對(duì)于一元函數(shù)，點(diǎn)在區(qū)間上變化；對(duì)于二元函數(shù)，點(diǎn)將在一平面區(qū)域中變化這樣，無(wú)論對(duì)一元、二元或多元函數(shù)都可以統(tǒng)一寫成，它稱為點(diǎn)函數(shù)利用點(diǎn)函數(shù)，我們可以把一元和多元函數(shù)的極限和連續(xù)統(tǒng)一表示成（）二元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)相比，其根本區(qū)別在于自變量點(diǎn)的變化從一維區(qū)間發(fā)展成二維為區(qū)域在區(qū)間上的變化只能有左右兩個(gè)方向；對(duì)區(qū)域來(lái)說(shuō)，點(diǎn)的變化則可以有無(wú)限多個(gè)方

3、向這就是研究二元函數(shù)所產(chǎn)生的一切新問題的根源例如，考察二元函數(shù)的極限，容易看出，如果先讓再讓，那么，同樣，先讓再讓，也得到，但是如果讓沿直線而趨于，則有，它將隨的不同而具有不同的值，因此極限不存在，從這里我們可以體會(huì)到，從一維跨入二維后情況會(huì)變得多么復(fù)雜又如，在一元函數(shù)中，我們知道函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)處必定連續(xù)，但是對(duì)于二元函數(shù)來(lái)說(shuō)，這一結(jié)論并不一定成立考察函數(shù)，同樣 ，所以在點(diǎn)可導(dǎo)然而，我們已經(jīng)看到極限不存在，當(dāng)然在不連續(xù)多元可導(dǎo)函數(shù)與一元可導(dǎo)函數(shù)的這一重大差異可能使初學(xué)者感到詫異，其實(shí)仔細(xì)想一想是可以理解的因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是一元函數(shù)在處關(guān)于的導(dǎo)數(shù)它的存在只保證了一元函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)同理，偏導(dǎo)數(shù)的存在

4、保證了在點(diǎn)的連續(xù)，從幾何意義來(lái)看，是一張曲面，為它與平面的交線，為它與平面的交線函數(shù)在（）處的可導(dǎo)，僅僅保證了上述兩條交線在（）處連續(xù)，當(dāng)然不足以說(shuō)明二元函數(shù)即曲面本身一定在（）處連續(xù)（）在一元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)這兩個(gè)概念是等價(jià)的但是對(duì)于二元函數(shù)來(lái)說(shuō)，可微性要比可導(dǎo)性強(qiáng)，我們知道，二元函數(shù)的可導(dǎo)不能保證函數(shù)的連續(xù)，但若在可微，即全微分存在，那么有全增量的表達(dá)式其中當(dāng)時(shí)，從而，因此函數(shù)在可微，那么它在必連續(xù)函數(shù)是否可微從定義本身可以檢驗(yàn)，但不太方便然而我們有一個(gè)很簡(jiǎn)便的充分條件：若在不僅可導(dǎo)而且偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，那么必在可微函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是容易求得的，求出兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)后在它們連續(xù)的點(diǎn)處，全微分立即可以寫

5、出：（）二元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微關(guān)系圖：?jiǎn)栴}如何求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)？解析求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法，實(shí)質(zhì)上就是一元函數(shù)求導(dǎo)法例如，對(duì)求偏導(dǎo)，就是把其余自變量都暫時(shí)看成常量，從而函數(shù)就變成是的一元函數(shù)這時(shí)一元函數(shù)的所有求導(dǎo)公式和法則統(tǒng)統(tǒng)可以使用對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在一些簡(jiǎn)單的情況，當(dāng)然可以把它們先復(fù)合再求偏導(dǎo)數(shù)，但是當(dāng)復(fù)合關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，先復(fù)合再求導(dǎo)往往繁雜易錯(cuò)如果復(fù)合關(guān)系中含有抽象函數(shù)，先復(fù)合的方法有時(shí)就行不通這時(shí)，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式便顯示了其優(yōu)越性由于函數(shù)復(fù)合關(guān)系可以多種多樣，在使用求導(dǎo)公式時(shí)應(yīng)仔細(xì)分析，靈活運(yùn)用例1 設(shè)求解 直接求偏導(dǎo)數(shù) ，利用全微分求偏導(dǎo)數(shù)，所以例2 設(shè)求解 由復(fù)

6、合函數(shù)求導(dǎo)法則，得，其中分別表示對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)問題3 二元函數(shù)的極值是否一定在駐點(diǎn)取得？解析 不一定二元函數(shù)的極值還可能在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取得例3說(shuō)明函數(shù)在原點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在，但在原點(diǎn)取得極大值解 ，此極限不存在，所以在處不存在同理，此極限不存在，所以，在點(diǎn)處，不存在但函數(shù)，即在點(diǎn)取得極大值1問題4 在解決實(shí)際問題時(shí)，最值與極值的關(guān)系如何？無(wú)條件極值問題與有條件極值問題有何區(qū)別？如何用拉格朗日乘數(shù)法求極值？解析 在實(shí)際問題中，需要我們解決的往往是求給定函數(shù)在特定區(qū)域中的最大值或最小值最大、最小值是全局性概念，而極值卻是局部性概念，它們有區(qū)別也有聯(lián)系如果連續(xù)函數(shù)的最大、最小值在區(qū)域內(nèi)部取得，那么它一

7、定就是此函數(shù)的極大、極小值又若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)，那么它一定在駐點(diǎn)處取得由于從實(shí)際問題建立的函數(shù)往往都是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，而且最大（最?。┲档拇嬖谛允秋@然的因此，求最大、最小值的步驟通?？珊?jiǎn)化為三步：根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系，確定定義域；求駐點(diǎn)；結(jié)合實(shí)際意義判定最大、最小值從實(shí)際問題所歸納的極值問題通常是條件極值條件極值和無(wú)條件極值是兩個(gè)不同的概念例如，二元函數(shù)的極小值（無(wú)條件極值）顯然在點(diǎn)取得，其值為零但是顯然不是此函數(shù)的約束條件下的條件極小值點(diǎn)事實(shí)上根本不滿足約束條件容易算出，這個(gè)條件極小值在點(diǎn)處取得，其值為，從幾何上來(lái)看，它們的差異是十分明顯的無(wú)條件極小值是曲面所有豎坐標(biāo)中的最小者，如圖所示；

8、而條件極小值是曲面對(duì)應(yīng)于平面上，即空間曲面上各點(diǎn)的豎坐標(biāo)中最小者我們所說(shuō)的把條件極值化成無(wú)條件極值來(lái)處理，并不是化成原來(lái)函數(shù)的無(wú)條件極值，而是代入條件后化成減少了自變量的新函數(shù)的無(wú)條件極值例如把條件代入函數(shù)，便將原來(lái)的條件極值化成了一元函數(shù)的無(wú)條件極值用拉格朗日乘數(shù)法求出的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，到底是否為極值點(diǎn)還是要用極值存在的充分條件或其他方法判別但是，若討論的目標(biāo)函數(shù)是從實(shí)際問題中得來(lái)，且實(shí)際問題確有其值，通過拉格朗日乘數(shù)法求得的可能極值點(diǎn)只有一個(gè)，則此點(diǎn)就是極值點(diǎn)，無(wú)需再判斷例4 求在約束條件下的極值解 作輔助函數(shù)，則有，解方程組得現(xiàn)在判斷是否為條件極值點(diǎn)：由于問題的實(shí)質(zhì)是求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面的

9、交線，即開口向上的拋物線的極值，所以存在極小值，且在唯一駐點(diǎn)處取得極小值問題5 方向?qū)?shù)和梯度對(duì)于研究函數(shù)有何意義？解析 二元函數(shù)在點(diǎn)處的方向?qū)?shù)刻畫了函數(shù)在這點(diǎn)當(dāng)自變量沿著射線變化時(shí)的變化率，梯度的方向則是函數(shù)在點(diǎn)處方向?qū)?shù)最大的射線方向因此沿梯度方向也是函數(shù)值增加最快的方向，所以梯度對(duì)尋找函數(shù)的最大值很有幫助例5 求函數(shù)在點(diǎn)處函數(shù)值下降最快的方向解 負(fù)梯度方向是函數(shù)值下降最快的方向，因 ，故所求方向?yàn)槿⒗}精選例6 求函數(shù)的定義域，并作出定義域圖形解 要使函數(shù)有意義，需滿足條件即定義域如圖陰影部分所示例7 設(shè)求 解一 因?yàn)?所以 ，所解二 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得，所以例8 設(shè)，其中為可微函

10、數(shù)，且，驗(yàn)證證 這是帶有抽象符號(hào)的函數(shù)，其復(fù)合關(guān)系如圖所示，同理有，例設(shè)，其中由方程所確定，求解 對(duì)求偏導(dǎo)，并注意到是由方程所確定的的函數(shù)，得下面求，由得，代入得，于是例10求曲面平行于平面的切平面方程解析 此題的關(guān)鍵是找出切點(diǎn)如果平面上的切點(diǎn)為，則曲面過該點(diǎn)的法向量可由表示要使所求的切平面與已知平面平行，一定有切平面的法向量與已知平面的法向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例于是切點(diǎn)的坐標(biāo)可找出解 設(shè)曲面平行于已知平面的切平面與曲面相切于，故該切平面的法向量過的切平面方程為，該切平面與已知平面平行，所以，又由于在曲面上，所以，聯(lián)立與式，解得 將這兩組值分別代入，最后得到切平面方程為及例11求函數(shù)的極值解 第一步

11、：由極值的必要條件，求出所有的駐點(diǎn)解出 第二步：由二元函數(shù)極值的充分條件判斷這兩個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，為了簡(jiǎn)明列表如下：結(jié)論是極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)不是極大值點(diǎn)因此，函數(shù)的極大值為例12 求曲線與直線之間的最短距離解一 切線法若曲線上一點(diǎn)到已知直線的距離最短，則過該點(diǎn)平行與已知直線的直線必與曲線相切；反之曲線上在該點(diǎn)處的切線必平行與已知直線據(jù)此，我們先求的導(dǎo)數(shù)令（已知直線上的斜率為1），得，這時(shí)，故曲線上點(diǎn)到直線的距離最短，其值為解二 代入條件法（利用無(wú)條件極值求解）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到已知直線的距離為，將代入上式得，易知，故令，則，由，得，這是函數(shù)在內(nèi)唯一駐點(diǎn)，由問題本身可知，距離的最小值

12、一定存在于是由式得所求的最短距離為解三 拉格朗日乘數(shù)法設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線的距離為，令，則，顯然，在上式中，即引入輔導(dǎo)函數(shù) ，解方程組，得因?yàn)?，故，代入，得，于是是唯一可能的極值點(diǎn)，由問題本身可知，距離的最小值一定存在，故曲線上點(diǎn)到已知直線的距離最短，其值為四、 練習(xí)題1判斷正誤 表達(dá)式成立； （ ）解析 表示在對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)；表示對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)在處的值；表示先固定后，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)由偏導(dǎo)數(shù)定義及偏導(dǎo)數(shù)意義可知，三個(gè)表達(dá)式是相等的 若在處偏導(dǎo)數(shù)存在，則在處一定可微；（ ）解析 由可微的充分條件知，只有在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)一定可微例如在（0，0）處偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微

13、若為的極值點(diǎn)，則一定為駐點(diǎn)； （ ）解析 偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)例如 在（0，0）處取得極小值，但在（0，0）處偏導(dǎo)數(shù)不存在，不是駐點(diǎn)就是函數(shù)在處沿軸方向的方向?qū)?shù) （ ）解析 沿x軸方向的方向?qū)?shù) 2選擇題 設(shè)，則下列式中正確的是（ C ）； ； ； ； 解析 是關(guān)于，的對(duì)稱函數(shù)，故設(shè)，則（ D ）； ； ； ； 解析 ，已知，則（ C ）； ； ； 解析 設(shè) ，則 =變換為 ， ，所以 =函數(shù)的駐點(diǎn)為（ B ）；和； 和；和；和解析 求兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 與所以駐點(diǎn)為和函數(shù)的極值點(diǎn)為（ D ）； ； ；不存在解析 求兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 得駐點(diǎn)為（0，0），又因?yàn)?，則，所以，駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)不

14、存在3填空題 的定義域?yàn)?；解 要使函數(shù)有意義，應(yīng)滿足0，即 已知，則 ；解 設(shè) ，則，關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù) = 設(shè)，則；解 設(shè) ，則 ，所以 ， ，從而 = 曲面在點(diǎn)處的切平面方程為 ；解 令 ，則 ，曲面的切平面方程為 ，即 設(shè)，則 ；解一 令，則 ， ，所以 =解二 設(shè)，兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，有+=x ， 即 =4解答題設(shè)可微函數(shù)求；解 偏導(dǎo)數(shù)為 =+=+設(shè)，且可微，證明解 設(shè) ，則，從而 =， =，則 =0，所以，原結(jié)論成立 設(shè)，其中為可微函數(shù)，求解 令=，設(shè)，則 =，從而 =，=，所以 在曲線上求一點(diǎn)，使其在該點(diǎn)的切線平行與平面，并寫出切線方程；解 設(shè)所求點(diǎn)為（，），=1，=2，=3，故切線方程為 ，由于切線與平面平行，切線的方向向量=1，2，3與平面的法向量=1，2，1垂直，有=1，2，31，2，1=1+4+3=0，解方程，得 =或，當(dāng)=時(shí)，切點(diǎn)為（，