非線性期望理論及金融場不確定性

1、非線性期望理論及金融市場不確定性本文主要研究了非線性期望理論及金融市場中的不確定性問題。文章共有四章,前兩章主要是理論性研究,第一章深入研究了非線性期望乘積空間理論,研究 了非線性期望下乘積空間的正則性問題以及非線性期望下獨立增量過程的乘積 空間問題，是對非線性期望理論的完善和補充。第二章研究了倒向隨機微分方程最優(yōu)控制問題及資產(chǎn)定價問題。后兩章主要是應用性研究，深入研究了金融市場中的不確定性及非線性期望在金融市場中的 應用。第三章介紹了非線性期望資產(chǎn)定價理論，并利用非線性期望理論改進了目前 國際上最通用的SPAN呆證金系統(tǒng),改進SPAN算原理,得到了均值-方差不確定 性下的SPAN呆證金系統(tǒng)，

2、可以更為快捷、準確、穩(wěn)健的度量風險。并用 S&P500 指數(shù)期權數(shù)據(jù)進行了實證檢驗。第四章深入探討了金融市場中的不確定性，說明了金融數(shù)據(jù)的分布不確定性 和描述參數(shù)不確定性在金融市場中客觀存在。 深入研究了均值不確定性和方差不 確定性在金融市場中的具體表現(xiàn)、估計方法，并利用均值不確定性構建了投資策 略。本章主各章節(jié)主要內(nèi)容如下:（一）非線性期望下的乘積空間本章研究非線性期望下 的乘積空間理論，主要針對非線性（resp.次線性）期望下乘積空間的正則性及獨 立增量過程的乘積空間問題進行深入探討，完善了非線性期望乘積空間理論并彌 補了之前理論中的不足。本章的結果主要出自:Gao Q,Hu M,Ji X

3、,Liu G.Product space for two processes with indepen-dent increments under nonlinear expectations.Electronic Communications in Probability 22(2017). 要有以下兩部分內(nèi)容：1.非線性(resp.次線性)期望下乘積空間的正則性：正則性 是概率論中很重要的概念，一般情況下，次線性期望空間并不滿足正則性，而G期 望空間滿足正則性(2),彭實戈院士在10中給出了乘積空間的定義，但是在定 義中并未提及正則性，因此一個自然而然的問題就是，對于給定的正則次線性期 望

4、空間，其乘積空間是否依然滿足正則性。本章主為解決這個問題，首先研究兩個正則次線性期望乘積空間的正則性，通過將經(jīng)典的有限乘積概率空間構造推廣到次線性期望情形，可以得知兩個正則次線性 期望空間的乘積空間仍保持正則性，并進一步推廣到有限維的情形，得到如下結 論：給定有限個正則次線性期望空間(Q i,Hi,(?)_i),i = 1,2,.n,則其乘積空問()也是正則次線性期望空間。再通過反證法，可將結論推廣到可列次線性期望 空間。進一步研究次線性期望下完備乘積空間是否保持正則性，這種情況下問題較 為復雜，本文在完備可分的距離空間下，證明了概率表示族是弱緊的及隨機變量 的逼近性質(zhì)，最終得到了次線性期望下

5、的完備乘積空間仍保持正則性，整體思路如下：給定正則次線性期望空間(Qi,Hi,(?)_i),i=1,2,.,n 其乘積空間記為 (),記()為()的完備化空間。則可以證明()也是正則次線性期望空間,)且存在() 上的一族弱緊概率族Pi使得由此可給出有限個正則次線性期望空間的完備乘積 空間問題的證明?；谟邢迋€情形的結論和隨機變量的逼近性質(zhì)，進一步可得如下結論：給定 一列正則次線性期望空間(Q i,Hi,(?)_i),i1,其中(Q i, pi為完備可分距離空間,Hi=Cb.Lip( Qi)。記0 =，則(Q ,L ( Q ),E為正則次線性期望空間，且滿足 Cb(Q)(?)L (Q),其中(Q

6、,L /( Q),1)為(Q ,H,E)的完備化空間。2,非線性(resp.次線性)期望下獨立增量過程的乘積空間接下來研究非線性 (resp.次線性)期望空間中獨立增量過程的乘積空間問題，即對于給定的兩個d- 維獨立增量過程，是否存在一個非線性期望空間，及一個定義在空間上的2d-維 的獨立增量過程，使得其前d-維與后d-維過程分別同分布于先前給定的兩個獨 立增量過程。這是彭院士 10中的乘積空間方法無法解決的。本文通過離散化的方法，利用胎緊的性質(zhì)，提出一種全新的構建思路，研究有 限維、可列維和不可列維獨立增量過程的乘積空間問題。有限維獨立增量過程的 乘積空間的主要定理如下：定理0.1.令(Mt

7、)t 0和(Nt)t 0是兩個分別定義在 非線性(resp,次線性)空間(Q1,H1,E1)和(Q2,H2,E2)上的d-維獨立增量過程， 滿足假設(A)。則存在定義在非線性(resp,次線性)空間(Q,H,E)上的2d-維獨立增量過程 (Mt,Nt)t 0滿足:(?)進一步，如果(Mt)t 0和(Nt)t 0是兩個平穩(wěn)獨立增量過 程，則(Mt,Nt)t 0也是一個平穩(wěn)獨立增量過程。非線性情形與次線性情形相似， 因此本文只討論次線性情形，非線性情形同理可證。進一步可知，只需要證明t 0,1的情形即可。在稠密的有限點集 Dn=i2-n:0 i 0 2n上構造符合要求的次線性期望空間(Q,Hn,E

8、n):如下定義 Hn:記 6 n = 2-n,(?) 如下定義 En:Hn- R:Step 1.對于給定的小 C Cb.Lip(R2d), 滿足對 i 02n,小(Xi 6 n-X(i-1) 6 n)=小(Mi 6 n-M(i-1) 6 n,Ni 6 n-N(i-1) 6 n) Hn定義 En小(Xi 6 n-X(i-1) 6 n)=E1巾(Mi 6 n-M(i-1) 6 n),其中也 (x)=E2(|)(x,Ni 6n-N(i-1) 6 n),(?)x Rd Step 2,對給定的小(X 6 n,X2 6 n-X6 n,.,X2n6 n-X(2n-1) 6 n) C Hn,小 C Cb.Li

9、p(R2n 乂 2d),定義 En小(X 6 n,X26 n-X 6 n,.,X2n6 n-X(2n-1) 6 n)=6 0，其中小 0=En6 1(X 6 n),引理 0.1.按上述方法定義(Q,Hn,En),那么(1)( Q Hn,En)構成一次線性期望空間;(2)對 每個 10i &2n,Xi 6 n-X(i-1) 6 n 獨立于(X 6 n,.,X(i-1)6 n-X(i-2) 6n);(3)(?)(?) 由此可知在稠密的有限點集 Dn= i2-n:0 i 1,有Hn(?)Hn+1.令(?)，易見(?) 為H的一個子空間，使得對每一個小C Cb.Lip(Rm)滿足：若Y1,.,ym (

10、?),則有小(Y1,.,Ym) (?) 0下面，我們希望定義一個次線性期望E:(?) -R。然而，在Hn上En+1 豐En ,這是因為在次線性期望下獨立性的順序是不可交換的。不過，通過下面的胎緊性引理，仍可以構造E:引理0.2.對每一個固定的n 1,令Fkn, k n,為在Ek下的分布.從而Fkn:k n是胎緊的.用這一引 理來構造次線性期望 E:(?) - R.可得如下引理：引理0.3.設P = i2-n:n1,0 i R 滿足如下條件:(1)對每一 列(?);(2)對每一列(?)且(?).通過以上引理，最終完成了定理0.1的證明。進一 步研究無窮個獨立增量過程的乘積空間問題。首先，利用相容

11、性構造非線性(resp.次線性)期望，結合對角線法則，將結論 推廣到可列個獨立增量過程的乘積空間中，主要定理如下：定理0.2.令(Mti)t 0,i 1是定義在非線性(resp.次線性)期望空間(Q i,Hi,(?)J),i1上滿足假設的至多可列維獨立增量過程，則存在非線性(resp.次線性)期望空間 (Q,H,E)及定義在其上的可列維獨立增量過程 (Mt1,Mt2,.,Mti,)t 0滿足:(?)進一步，如果(Mti)t 0,i 1是至多可列維平穩(wěn)獨立增量過程，則同理 可得(Mt1,Mt2,Mii,)t 0也是可列維平穩(wěn)獨立增量過程。進一步推廣到不可列個獨立增量過程的乘積空間問題，注意到對角

12、線法則方法在不可列個獨立增 量過程的乘積空間問題上并不適用，因此無法利用之前的方法得到想用的結論。因此我們定義上獨立增量過程，并進一步給出不可列維上獨立增量過程的定 義:給定非線性（resp.次線性）期望空間（Q,H,E）,X,y分別是其上的m濰和n-維 隨機向量，稱Y上獨立于X,若對任給的（?）小 Cb.Lip（RmXn）,都有給定非線性 （resp.次線性）期望空間（Q ,H,E）,（Xt）t0為此空間上的d-維隨機過程，若對（?）,都有Xt+s-Xt上獨立于（Xt1,.,Xtm）, 則稱（X不）t 0為上獨立增量過程。 進一步的，若對（?）t 0還有（?），則稱（Xt）t 0為平穩(wěn)上獨立

13、增量過程。設（Mt入）t 0,入 I是非線性（resp.次線性）期望空間（Q ,H,E）上的一族 隨機過程，其中,I為不可列集。如果對 都有（Mt入1,Mt入2,Mt入n）t 0., 是n-維上獨立增量過程，則稱（Mt入）t , X 為不可列上獨立增量過程。進一步的，若對,n,者B有（Mt入1,Mt入2,.,Mt入n.,）t0是n-維平穩(wěn)上獨立增量過程，則稱（Mt入）t 0 J為不可列平穩(wěn)上獨立增量過程。給出不 可列個獨立增量過程的乘積空間的主要定理：定理0.3.令（Mt入）t 0,入C I（其 中I為不可列集）是一族定義在非線性（resp.次線性）空間（Q入，H入，E入）上的 不可列個1-維

14、獨立增量過程，滿足:（C1）存在次線性期望E入：H入-R分別控制E 入，入 I;（C2）對每個t 0,Mt入的分布在E入下是胎緊的；對每個t0,入 I,有（?）則存在一個非線性（resp.次線性）期望空間（Q,H,E）,及定義在其上的 不可列維上獨立增量過程（Mt入，入e I）t 0滿足：進一步，如果（At入）t 0,入 I是1-維平穩(wěn)獨立增量過程，則（Mt入）t 0,入 I是不可列維平穩(wěn)上獨立增 量過程。（二）BSDEM機控制及不完備市場資產(chǎn)定價本章主要研究帶有廣義效用泛函的FBSDEI機控制最大值原理問題及不完備市場定價問題。本章的結果主要出 自：1)Gao Q,Yang S.Maximu

15、m principle for forward-backward SDEs with a general cost functional.International journal ofcontrol(2016):1-7.2)Gao Q,Yang S.Pricing of contingent claims in an incomplete market with finite state stochastic processes in discrete time,Completed Manuscript,1-10.本章主要有以下兩部分內(nèi)容：1.帶有廣義效用泛函的FBSDffi!機控制最大值原

16、理彭實戈院士(53,29)第一次介紹了由倒向隨機微分方程或正倒向隨機微分方程驅(qū)動的最優(yōu)控制問題，并得到了很多研究者的進一步推廣，如 Xu57,Lim and Zhou24,Shi and Wu54 等。在29中，彭院士首次研究了如下正倒向隨機微分方程系統(tǒng)的隨機最優(yōu)控制 問題:其效用泛函為：事實上，上述效用泛函中的h( )和丫 (.)可能不僅僅依賴于 終端條件(t=T)和起始條件(t = 0),通常情況下，還會依賴于全局時間條件(t 0,T).也就是說，效用泛函中h( )和丫 (.)不僅由起始和終端這兩個特殊時間 點決定，還依賴于更一般的全局時間條件。在本文中，我們會研究帶有如下依賴于 全局時間

17、條件的廣義效用泛函的正倒向隨機系統(tǒng)的隨機最大值原理，其中，注意到效用泛函(0.2)是上述廣義效用泛函(0.3)的一個特殊形式，也就是說，廣義效 用泛函(0.3)考慮到了更一般的情況，是對經(jīng)典隨機控制問題的十分有意義的推 廣，而在本文之前，帶有(0.3)形式廣義效用泛函的控制系統(tǒng)的最大值原理問題還 未被認真研究。利用Frechet導數(shù)的框架，可以構建一系列需要逐步求解的伴隨方程，從而 推導出相應的最大值原理。最大的難點在于如何得到對應的伴隨方程。本文利用Riesz表示定理與Frechet導數(shù)的框架相結合，使Frechet導數(shù)Dxh(x0,弓I)和Dxy (y0,T)可以被相對應的有限測度2和B描

18、述。 將測度世和 B分解為連續(xù)部分和跳躍部分，可以構建一系列的伴隨方程，并通過逐步解這些 伴隨方程得到相對應的最大值原理。并且為了更直觀的展示本文研究的帶有廣義效用泛函的隨機控制系統(tǒng)與經(jīng) 典情況的不同，本章最后通過簡單的例子進行直觀的展示。本章簡要過程如下：令 U為 R上的非空凸子集.記 u = u( ) C M2(R)|u(t) C U,a.e.,a.s.。令u( )是一個最優(yōu)控制,(x( ),y( ),z( )為對應的軌道，記=u( )+ p u( ),0 p 1,u( )+ w( ) C u,.因為 u 是凸的，因此 upC u。引入變 分方程，易知變分方程存在唯一解(),“()，工R:

19、H(x,y,z,u,p,k,q,t)= pb(x,u,t)+ k(T (x,u,t)+ qg(x,y,z,u,t)+ f(x,y,z,u,t)相應的可以利用漢密爾頓方程改寫伴隨方程：因此可以得到主要定理，定理0.4.假設條件(i)-(iii) 成立，今u( )是一個最優(yōu)控制并令(x( ),y( ),z( )是相對應的軌道,則有2.不完備市場資產(chǎn) 組合定價當市場完備時，每一個衍生品收益都可以被市場中的一個投資組合復制 其價格可以由完備市場無套利理論得出。而在不完備的市場中的定價問題較為復雜，本文運用隨機控制的方式來研究最高價與最低價，利用有限時間有限狀態(tài)過 程下的廣義Girsanov變換對未定權

20、益或期權定價。本文的研究是對35中研究的進一步擴展。任一概率測度被稱為一個P-鞅測度，如果在FT上等價于P并且其折現(xiàn)價格過程為鞅。我們將所有的P-鞅測度記作P。需要注意的是，在完備市場中,P = Q,其折 現(xiàn)過程唯一，存在唯一的自融資策略，定價可以通過無套利原則得出，衍生產(chǎn)品價 格可以被基礎產(chǎn)品的投資組合復制。而在不完備市場中，存在多個P-鞅測度，因此并不存在唯一的自融資策略， 定價也難以通過無套利推導得出，市場存在多種報價(賣方報價，買方報價),需要 關注的是市場的最大價格和最小價格。在完備市場中，對于給定的未定權益U,存在y 0和投資組合策略滿足如下方程其中y是t = 0的無套利價格。記M

21、(t)=8(t)+ M(t),則在不完備市場中U存在多種價格，t = 0,U的最小價 格(下價格)為infP PEP(Ud),U的最大價格(上價格)為suP PEP(Ud).利用最 優(yōu)控制方法我們可以對最小最大價格進行動態(tài)研究。U在時刻t的最大可能價格為J(t尸esssup入 (?)EP入Ud|Ft,其中P人表示所有滿足如下形式的關于P的Girsanov變換的概率測度：其中，其具有以下性質(zhì)：定義過程 f(t):f(t)=A(t)-j(t), 則f(t)是一個增過程，可得特別的,t=T時，有U在時刻的 最小可能價格為K(t)= essin fv(?)Epv)Ud|Ft,類似最大價格的推導可知，存

22、在一個投資組合過程小(t)和一個右連續(xù)減過程g(t,g(0)=0滿足(三)非線性期 望下的SPAN呆證金本章研究非線性期望理論在保證金計算中的應用。本部分結果出自：高強，楊淑振等.基于市場復雜性的新型保證金計算工具， 第四屆全國金融期貨與期權研究大賽獲獎論文 (全國一等獎),1-46,2014.首先介 紹了保證金制度和國際主流的保證金計算系統(tǒng) ，并對國際上最成熟通用的保證金 管理系統(tǒng)SPANS行了深入分析，介紹了 SPAN呆證金的計算原理：其最核心的價 格偵測風險模塊基于情景模擬法，預估未來標的價格和波動率的變化，將未來市 場劃分為16種可能情形，分別計算16種情形中的可能損失，取其中的最大值

23、作為 最大預期損失，以此制定相應的保證金標準。此外，SPAN保證金還包括跨月價差 風險、交割月風險值、商品間價差折抵、空頭期權最低風險值等。分析SPAN呆證金的優(yōu)缺點，指出其只計算了 16種情形，無法涵蓋未來市場 的多種可能性，并且理論基礎是Black-Scholes公式，其假設波動率是一個常數(shù)， 因此不能估計波動率不確定下的風險。進一步分析了國際上其他SPANC進系統(tǒng)的改進原理并利用S&P500殳指期權數(shù)據(jù)對標準SPANS統(tǒng)(SPAN16和改進SPAN 系統(tǒng)(SPAN-44和SPAN-93進行了實證分析比較，發(fā)現(xiàn)改進的SPAN呆證金系統(tǒng)劃 分了更多種可能情形，在一定程度上更為準確的度量了風險

24、，但是同時也加大了 計算量，并且無法解決真實市場中波動率不確定性帶來的風險。接下來介紹非線性期望理論中的三個重要分布：最大分布,G-正態(tài)分布和G- 分布，以及對應的三個重要的隨機過程：G-布朗運動，有界變差G-布朗運動和廣 義G-布朗運動，具增量過程分別服從之前的三種分布，例如G-布朗運動的增量過 程服從G-正態(tài)分布。其與金融市場不確定性有著直接的對應關系，G-正態(tài)分布、G-布朗運動與方差不確定性(波動率不確定性)直接相關,G-正態(tài)分布隨機變量可表示為(?)，A描述了 X的方差不確定性，在一維情形下,(?),其中,(?)，則方差(波動率)不確定性區(qū)間為2, 2最大分布、有界變差G-布朗運動與均

25、值(收益率)不確定性直接相關，最大分 布隨機變量可記為(?)0描述了 Y的均值不確定性程度，在一維情形下,(?),其中, =EX, = =-E-X,均值不確定性區(qū)間為小，以。上面的兩個分布可以非平凡 地組合為一個新的分布，即G-分布，其對應廣義G-布朗運動，與均值-方差不確定 性(收益率-波動率不確定性)直接相關。由止匕，可以給出如下形式的幾何 G-布朗運動:dXs =uXsd s s + o-XsdBs,Xt = x,其中“ t, 0服從最大分布,Bt,t 0服從G-正態(tài)分布，且其終端支付函數(shù) 為(Xr)。定義風險為u(t,Xt):=E-(XT),其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解探討其

26、計算原理，考慮有界邊值問題，通過標準的離散格式離散化上述方程給 出上述方程的數(shù)值解法，并可以證明牛頓迭代的收斂性及全隱格式的收斂性。利用非線性期望理論改進SPAN呆證金系統(tǒng),給出波動率不確定性下的SPAN 保證金計算方法：假設標的物(股票或者期貨)Xt滿足G-期望下的幾何布朗運動： 其中Bt,t 0服從G-正態(tài)分布，且E(t21=(t2,E- (t21=-(t2.其終端支付函 數(shù)為(Xr)。定義風險u(t,Xt):=E-(XT),其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解其中6 2=(b+A(T )2,(t2=(t2=A(t)2 o則針對SPAN寸于標的價格的可能變化情形：給出9種可能的變化，其中

27、,波動 率的可能變動范圍在區(qū)間(Tt- A (T , (T t+ A6內(nèi)連續(xù)取值。取9種情況的最大 值作為最大預期風險，將加入波動率不確定性的SPAN呆證金稱為G-SPAN-9G-SPAN-9r收取保證金為：其中Pt是t時期的期權價格。同理，可以給出均 值不確定性下的SPANS證金計算方法和均值-波動率不確定性下的SPANS證金。由于篇幅原因，這里只給出均值-波動率不確定性下的SPAN呆證金計算方法：假設股票價格滿足下面的隨機微分方程 dXs = uXsd刀s + o- XsdBs,X= x,其中“ t滿足最大分布，Bt滿足G-正態(tài)分布，且(?)(?)其終端支付函數(shù)為(Xr)。定義 風險:u(

28、t,Xt):=E-(XT),其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解 其中(?)(?)因此，同時引入均值不確定性和波動率不確定性，只需計算一種情形，即可 得到全面涵蓋標的價格和波動率連續(xù)變化的風險值：價格變動波動率變動計算 比例(?)其中 Ax = PSR, A(T = VSR。此時G-期望下收取保證金為：pt,T(XT)尸Pt+E-(XT)其中Pt是t時 期的期權價格。只需進行一次運算，即可得到涵蓋更全面風險的運算結果。利用S&P50Q1權數(shù)據(jù)進彳T實證分析，可知,利用非線性期望理論改進的 G-SPA認證金不僅運算次數(shù)更少，還更全面的考慮了價格和波動率不確定導致 的風險，是一種準確快捷穩(wěn)健的保

29、證金計算方式。(四)金融市場的不確定性金融 市場中的不確定性主要體現(xiàn)有：金融數(shù)據(jù)分布的不確定性；金融數(shù)據(jù)特征描述參 數(shù)的不確定性；金融數(shù)據(jù)的模型不確定性。首先驗證金融數(shù)據(jù)分布的不確定性，正態(tài)分布是金融市場中最重要的分布之 一,很多金融研究都以正態(tài)分布假設為基石。 金融數(shù)據(jù)分析中，常假設某個時間段 內(nèi)的金融數(shù)據(jù)服從同一分布，比如最常見的，假設資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，現(xiàn)在 我們選取最能代表金融市場數(shù)據(jù)特征的滬深 300股指和相對應的滬深300股指期 貨數(shù)據(jù)進行實證檢驗。經(jīng)過實際分析，按一天作為窗口長度進行正態(tài)檢驗，服從正態(tài)性假設的天數(shù) 較少，股指只有不到20%股指期貨只有不到10%若按一周為窗口長

30、度進行驗證， 則服從正態(tài)分布的周數(shù)少于1%,由此可知，正態(tài)分布假設在金融市場中存在較大 問題。實際上，不僅是正態(tài)分布假設難以成立，在實際的金融市場中，很難找出一種 或者幾種不同的分布，來準確描述經(jīng)濟、金融數(shù)據(jù)的分布。不同金融數(shù)據(jù)展現(xiàn)出 不同的數(shù)據(jù)特征，即便是同一金融數(shù)據(jù)的背后，也可能來源于不同的經(jīng)濟、金融、 社會原理的共同作用。因此，分布不確定性在金融中客觀存在。除了分布的不確定性，描述數(shù)據(jù)特征 的重要參數(shù)，比如均值（一階矩）和方差（波動率、二階矩）,也存在不確定性，收益 率和波動率亦存在相應的不確定性。分析滬深300股指和滬深300股指期貨日收益率的均值和方差，可知其均值 方差均存在不確定性，股指期貨的變動幅度相較股指的變化更為劇烈，具有更大 的不確定性。均值、方差的不確定性亦客觀存在，一段時間內(nèi)，均值和方差在一個 范圍內(nèi)變化，當數(shù)據(jù)量足夠大時，可以認為均值、方差在一個區(qū)間內(nèi)連續(xù)變動。由此可知，金融數(shù)據(jù)存在分布不確定性和特征參數(shù)的不確定性 ，同一時間段 內(nèi)