創(chuàng)意平板折疊桌數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模B題92620850

1、創(chuàng)意平板折疊桌的數(shù)學(xué)模型綱領(lǐng)本文主要研究的是創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)加工問題，對(duì)設(shè)計(jì)加工參數(shù)進(jìn)行分析和優(yōu)化并為企業(yè)開發(fā)設(shè)計(jì)折疊桌軟件供給數(shù)學(xué)模型，為解決這些問題成立不一樣樣的數(shù)學(xué)模型并用MATLAB進(jìn)行模型求解。針對(duì)問題一，本文成立了模型動(dòng)向變化及數(shù)學(xué)描繪模型。利用分析幾何求出每根桌腿由平鋪狀態(tài)到完滿張開過程中轉(zhuǎn)過的角度來描繪折疊桌動(dòng)向變化過程，并在此基礎(chǔ)上用MATLAB解出設(shè)計(jì)加工參數(shù):桌腿木條開槽長(zhǎng)度Ki，三維空間桌腳邊沿線。針對(duì)問題二，本文成立模型設(shè)計(jì)加工參數(shù)模型。采納多目標(biāo)決議分析方法使產(chǎn)品達(dá)到牢固性好、加工方便、用材最少，因此開槽長(zhǎng)度K和長(zhǎng)方形平板面積S必然達(dá)到最小，關(guān)于隨意給定的高度H

2、和圓形桌面直徑R確立：決議變量：a1（桌面最外側(cè)木條的半長(zhǎng)），1（最外側(cè)桌腿的豎直偏角），p（最外側(cè)折疊處到鋼筋地點(diǎn)距離與最外側(cè)桌腿的比值）目標(biāo)函數(shù):K(開槽總長(zhǎng)度)，S長(zhǎng)方形木板面積MATLAB求解出多組方案并確立目標(biāo)函數(shù)最小的最優(yōu)方案，列出設(shè)計(jì)加工參數(shù)。針對(duì)問題三，本文成立了模型軟件設(shè)計(jì)模型。依據(jù)客戶設(shè)定的高度、桌面邊緣線形狀大小為客戶供給三種桌面形狀：圓形桌面，圓弧和矩形組合桌面，“8”字形桌面。關(guān)于圓形桌面可參照模型；關(guān)于組合桌面，可在模型的基礎(chǔ)上經(jīng)過增大最外側(cè)桌面木條的長(zhǎng)度a1來實(shí)現(xiàn)；關(guān)于“8”字形桌面則可將兩個(gè)組合桌面的直線邊進(jìn)行對(duì)接，因此模型三的成立和求解即可在模型的基礎(chǔ)上變動(dòng)來

3、實(shí)現(xiàn)。重點(diǎn)詞：分析幾何MATLAB多目標(biāo)決議分析EXLINK1問題重述某企業(yè)生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿跟著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條構(gòu)成，分紅兩組，每組各用一根鋼筋將木條連結(jié)，鋼筋兩頭分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，而且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型雅觀。試成立數(shù)學(xué)模型討論以下問題：1.給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120cm50cm3cm，每根木條寬2.5cm，連結(jié)桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心地點(diǎn)，折疊后桌子的高度為53cm。試成立模型描繪此折疊桌的動(dòng)向變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（比方，桌腿木條開槽的長(zhǎng)

4、度等）和桌腳邊沿線的數(shù)學(xué)描繪。折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品牢固性好、加工方便、用材最少。關(guān)于隨意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板資料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，比方，平板尺寸、鋼筋地點(diǎn)、開槽長(zhǎng)度等。關(guān)于桌高70cm，桌面直徑80cm的情形，確立最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。企業(yè)計(jì)劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，依據(jù)客戶隨意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊沿線的形狀大小和桌腳邊沿線的大概形狀，給出所需平板資料的形狀尺寸和確實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能湊近客戶所希望的形狀。團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并依據(jù)所成立的模型給出幾個(gè)自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工

5、參數(shù)，畫出最少8張動(dòng)向變化過程的表示圖。問題分析2.1問題一的分析問題一要求我們成立模型描繪折疊桌的動(dòng)向變化過程并給出設(shè)計(jì)加工參數(shù)，因?yàn)殚L(zhǎng)方形平板尺寸和每根木條的寬度及鋼筋的地點(diǎn)都為已知，因此只要假定最外側(cè)桌面木條的半長(zhǎng)，依據(jù)桌子的對(duì)稱性研究桌子左側(cè)最外側(cè)到中間的桌腿，利用空間幾何成立數(shù)學(xué)模型，再用MATLAB對(duì)模型求解得出設(shè)計(jì)加工參數(shù)，用EXLINK導(dǎo)出每根桌腿轉(zhuǎn)過的角度。2.2問題二的分析問題二要求我們做到產(chǎn)品牢固性好、加工方便、用材最少，關(guān)于已定的桌高和桌面直徑確立最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。由問題一中折疊桌桌腿的幾何關(guān)系成立多目標(biāo)決議分析模型確立決議變量和目標(biāo)函數(shù)，用MATLAB確立最優(yōu)設(shè)計(jì)加工

6、參數(shù)。22.3問題三的分析問題三要求我們?yōu)檎郫B桌的設(shè)計(jì)軟件供給數(shù)學(xué)模型，可依據(jù)客戶隨意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊沿線形狀大小和桌腳邊沿線的大概形狀來給出所需平板的尺寸及加工參數(shù)，對(duì)此我們充分的利用問題二的模型來設(shè)計(jì)桌面邊沿線的形狀，使所成立的軟件設(shè)計(jì)模型易于求解。模型的假定假定一：不考慮加工對(duì)長(zhǎng)方形平板寬度帶來的影響假定二：桌腿鋼筋不會(huì)發(fā)生形變假定三：描繪桌腳邊沿線時(shí)桌腳為質(zhì)點(diǎn)假定四：外側(cè)桌腿和鋼筋固定優(yōu)秀假定五：鉸鏈不會(huì)發(fā)生形變且對(duì)設(shè)計(jì)加工參數(shù)無影響問題一模型的成立與求解4.1符號(hào)說明：符號(hào)LiaiiiHiRhmibKi符號(hào)說明i根桌腿腿長(zhǎng)i根桌面木條的半長(zhǎng)i根桌腿與豎直方向的夾角i根桌腿動(dòng)向

7、變化轉(zhuǎn)過的角度i根桌腿底部距地面的高度桌面外接圓半徑鋼筋地點(diǎn)距桌面高度第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌腿折疊處豎直面距離第一根桌腿底部距桌子豎直對(duì)稱面的距離第i根木條開槽長(zhǎng)度4.2模型的成立（數(shù)據(jù)單位均為cm）依據(jù)桌子的對(duì)稱性只要研究桌子左側(cè)最外側(cè)到中間的10根桌腿，設(shè)最外側(cè)桌腿為第一根桌腿L1，其桌面木條的半長(zhǎng)為a1，以第一根桌腳為原點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系（見1）3圖1依據(jù)問題一所給尺寸計(jì)算出：第一根桌腿：腿長(zhǎng)L160a1第一根桌腿底部距桌子豎直對(duì)稱面的距離bHtan1a1100桌腿與豎直方向的夾角1arccos120a1鋼筋地點(diǎn)到桌子豎直對(duì)稱面距離m1160a12502a12鋼筋地點(diǎn)距桌面高度h25圖

8、24圖3依據(jù)圖2和圖3計(jì)算可以得出：第i根桌面木條的半長(zhǎng)ai252a12252.5i12桌面外接圓半徑R252a12第i根桌腿腿長(zhǎng)Li60ai第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌腿折疊處豎直面距離mim1ai第i根桌腿的豎直夾角iarctanmih第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)以上長(zhǎng)度lihcosi第i根桌腿底部距地面的高度HiHLicosi第i根桌腿底部到桌子豎直對(duì)稱面的距離SiaiLisiniXibSi桌腿底部坐標(biāo)Yi2.5iZiHi為了得出每根木條的開槽長(zhǎng)度Ki，利用第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)以上長(zhǎng)度li減去桌子平鋪時(shí)候鋼筋地點(diǎn)與折疊點(diǎn)的距離即：Kili30ai4.3模型的求解依據(jù)題中所給的圖和木板的厚度，大概可以假定桌

9、面最外側(cè)木條半長(zhǎng)a1為3，用5MATLAB編程進(jìn)行求解，程序見附錄一經(jīng)過EXLINK導(dǎo)出桌面與豎直方向夾角，制出表格描繪折疊桌動(dòng)向變化的過程（見表1）桌腿第1根第2根第3根第4根桌腿與豎直方向夾桌腿動(dòng)向變化轉(zhuǎn)過的角度86.8247742993.25075828第5根第6根第7根第8根第9根第10根-17.73218288-18.512622198.05908868101.69189104.4120373106.3886066107.7321829108.51262211MATLAB畫出桌腳邊沿線（見圖3），程序見附錄二4桌腳邊沿線各點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)以下表：X0.00003.78337.56039.6

10、05310.6861Y2.50005.00007.500010.000012.5000Z0.00002.39315.36578.171310.616662用EXLINK導(dǎo)出設(shè)計(jì)加工參數(shù)：桌面外接圓半徑R252a1225.1794桌腿開槽長(zhǎng)度見下表：桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根開槽長(zhǎng)度K18.92第8根第9根第10根21.423開槽地點(diǎn)見下表：桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根第10根li26.364問題二模型的成立與求解5.1符號(hào)說明：符號(hào)SKiLdHphmiailidfi1R符號(hào)說明長(zhǎng)方形平板面積第i根桌腿的槽長(zhǎng)長(zhǎng)方形木板長(zhǎng)度長(zhǎng)方木形板寬度桌子高度最外側(cè)桌

11、腿鋼筋的地點(diǎn)到折疊處的長(zhǎng)度與桌腿的長(zhǎng)度比值第一根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌面的距離i根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌腿折疊處豎直面距離i根桌面木條的半長(zhǎng)i根桌腿長(zhǎng)度桌子寬度i根桌腿鋼筋地點(diǎn)以上長(zhǎng)度最外側(cè)桌腿的豎直偏角桌面直徑5.2模型的成立（數(shù)據(jù)單位均為cm）7采納多目標(biāo)決議分析方法使產(chǎn)品達(dá)到牢固性好、加工方便、用材最少，因此開槽長(zhǎng)K和長(zhǎng)方形平板面積S必然達(dá)到最小，關(guān)于隨意給定的高度H和圓形桌面直徑R確立最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，即輸入桌高H及桌面直徑R得出最優(yōu)加工參數(shù)開槽長(zhǎng)度K以及所需長(zhǎng)方木板長(zhǎng)L和寬d由問題一中圖1解得第一根桌腿長(zhǎng)度l1L2a1,設(shè)最外側(cè)桌腿鋼筋的地點(diǎn)到折疊2處的長(zhǎng)度與桌腿的長(zhǎng)度比值為p依據(jù)圖1和圖2得出

12、第一根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌面的距離hpH，桌寬dR22，4a1第i根桌面木條的半長(zhǎng)為aiR22.5i2d14第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌腿折疊處豎直面距離mipl12h2ai第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)以上長(zhǎng)度fih2mi2因此可求出第i根桌腿的槽長(zhǎng)KiLp16ai，即得出桌腿的總槽長(zhǎng)K4Ki，從fi2i1而有：決議變量：a1（桌面最外側(cè)木條的半長(zhǎng)），1（最外側(cè)桌腿的豎直偏角），p（最外側(cè)折疊處到鋼筋地點(diǎn)距離與最外側(cè)桌腿的比值）16開槽長(zhǎng)度KKi目標(biāo)函數(shù)i12LR22長(zhǎng)方形平板的面積Sa145.3模型的求解依據(jù)題中所給的圖和問題一中木板的厚度，大概可以假定桌面最外側(cè)木條半長(zhǎng)a1等于3，用MATLAB求解出多組方案

13、。對(duì)折疊桌進(jìn)行力學(xué)分析可得，當(dāng)折疊桌的外側(cè)桌腿垂直于地面時(shí)，折疊桌能承受的正壓力是最大的，此時(shí)能承受的側(cè)向壓力是最小的。當(dāng)桌腿未完滿張開時(shí)，其抗側(cè)壓力性能強(qiáng)于抗正壓力，若使折疊桌既能有較好的抗正壓力和抗側(cè)壓力，則桌腿要與地面保8持適合的夾角。經(jīng)過對(duì)問題一中折疊桌支撐腿與豎直方向的夾角1約等于28，并聯(lián)合現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)質(zhì)狀況為使折疊桌的牢固性好，1不可以過小或過大，假定130由已知桌高H70,桌面直徑R80,輸入p,a1的值，輸出L,d,S,K,方案以下表:方案pa1LdSK10.41163.6679.9713088.55847.7520.42165.6679.9013236.07865.3230

14、.43167.6579.7713374.87882.1740.44169.6679.6013504.61898.1650.51163.6679.9713088.55979.5460.52165.6679.9013236.07999.2870.53167.6679.7713374.871018.1980.54169.6679.6013504.611036.1490.61163.6679.9713088.551078.37100.62165.6679.9013236.071099.64110.63167.6679.7713374.871120.12120.64169.6679.6013504.61

15、1139.65130.71163.6679.9713088.551149.04140.72165.6679.9013236.071171.46150.73167.6679.7713374.871193.22160.74169.6679.6013504.611214.15170.81163.6679.9713088.551197.77180.82165.6679.9013236.071221.13190.83167.6679.7713374.871244.09200.84169.6679.6013504.611266.45495實(shí)質(zhì)狀況中，桌面直徑和每根木條的寬度是定量，因此a1不可以能很小，知

16、足a1R2d2，由上表數(shù)據(jù)計(jì)算適合a或時(shí)，方案無效。44112當(dāng)桌面平鋪時(shí)，鋼筋必然在圓形桌面之外，即pLR,可以得出pR,依據(jù)上表22L數(shù)據(jù)計(jì)算，當(dāng)p0.5時(shí)，方案無效。綜上所述，上表中灰色部分全為無效方案，節(jié)余全為有效方案，即方案7、8、11、12、15、16、19、20,經(jīng)比較得出，方案7為最優(yōu)方案。用EXLINK導(dǎo)出設(shè)計(jì)加工參數(shù):桌腿第一根第二根第三根第四根第五根第六根第七根第八根開槽長(zhǎng)度第九根第十根第十一根第十二根第十三根第十四根第十五根第十六根20.58表5問題三模型的成立與求解6.1符號(hào)說明：符號(hào)SKiLdHphmiailidfi1R符號(hào)說明長(zhǎng)方形平板面積第i根桌腿的槽長(zhǎng)長(zhǎng)方形木

17、板長(zhǎng)度長(zhǎng)方木形板寬度桌子高度最外側(cè)桌腿鋼筋的地點(diǎn)到折疊處的長(zhǎng)度與桌腿的長(zhǎng)度比值第一根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌面的距離i根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌腿折疊處豎直面距離i根桌面木條的半長(zhǎng)i根桌腿長(zhǎng)度桌子寬度第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)以上長(zhǎng)度最外側(cè)桌腿的豎直偏角桌面直徑106.2模型的成立（數(shù)據(jù)單位均為cm）依據(jù)客戶設(shè)定的高度、桌面邊沿線形狀大小為折疊桌設(shè)計(jì)軟件供給數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)為客戶供給三種桌面形狀：圓形桌面圓弧和矩形組合桌面“8”字形桌面(1).圓形桌面直接參照模型中最優(yōu)方案的p0.5為最優(yōu)鋼筋地點(diǎn)，130第一根桌腿長(zhǎng)度l1L2a1，2R桌面木條根數(shù)n2.5第一根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌面的距離hpH，桌寬dR2a12，4第i根桌

18、面木條的半長(zhǎng)為aiR2d2.5i124第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌腿折疊處豎直面距離mipl12h2ai第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)以上長(zhǎng)度fih2mi2因此可求出第i根桌腿的槽長(zhǎng)KifiLpai2(2).圓弧和矩形組合桌面為使桌面表現(xiàn)圓弧和矩形的組合，最外側(cè)桌面木條的長(zhǎng)度a1要較大，現(xiàn)規(guī)定當(dāng)a15時(shí)為組合桌面。p0.5，130a15，仍舊參照模型桌面木條根數(shù)nd2.5第一根桌腿長(zhǎng)度l1L2a1，第一根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌面的距離hpH，桌寬2dR2a12，4第i根桌面木條的半長(zhǎng)為aiR2d2.5i12411第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)距桌腿折疊處豎直面距離mipl12h2ai第i根桌腿鋼筋地點(diǎn)以上長(zhǎng)度fih2mi2因此可求出第i根桌腿的槽長(zhǎng)KifiLpai2(3).“8”字形桌面p0.5，130a15，桌面木條的根數(shù)n2d只要研究桌子一側(cè)前1的桌腿2.54因?yàn)椤?”字形桌面的桌子是由兩個(gè)組合桌子鏈接起來的，因此設(shè)計(jì)加工研究參數(shù)即為組合桌面桌子參數(shù)。6.2模型的求解針對(duì)圓弧和矩形組合桌面圖6現(xiàn)要加工高H60，a110R90，用MATLAB和EXLINK解出設(shè)計(jì)加工參數(shù)以下：L188.56，d74.83第i根桌腿開槽長(zhǎng)度：桌腿第1根第2根