力學(xué)三個(gè)守恒定律及其成立的條件

1、有關(guān)機(jī)械能守恒定律的一些看法古春紅摘要：機(jī)械能守恒定律是自然界中普遍存在的規(guī)律，也是中學(xué)物理知識(shí)考查中的重點(diǎn)。在對(duì)能量守恒定律的理解和應(yīng)用中，存在一些容易混淆的問(wèn)題。本文就這些疑問(wèn)，從機(jī)械能守恒定律的成立條件、適用范圍加以分析，希望能澄清這些問(wèn)題。關(guān)鍵字：機(jī)械能守恒保守系保守力非保守力能量的相對(duì)性一問(wèn)題的提出能量守恒定律是自然界中普遍存在的規(guī)律，從宏觀低速物體到微觀高速的微粒，都符合能量守恒定律。能量的形式多種多樣，有動(dòng)能、勢(shì)能、核能、熱能等等，因此能量守恒定律可以具體到某種形式的能量的守恒律，比如在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能守恒定律。機(jī)械能與我們的生活最接近， 最容易感受到， 同時(shí)它也是中學(xué)物理教學(xué)

2、中的一個(gè)重點(diǎn)，是中學(xué)物理知識(shí)考查的重頭戲。 由于中學(xué)生對(duì)機(jī)械能守恒律理解得不深入，常常不顧機(jī)械能守恒定律的成立條件而妄加應(yīng)用， 又或把機(jī)械能守恒的條件和動(dòng)量守恒的條件混為一談。學(xué)生中還會(huì)提出這樣的問(wèn)題： 既然一個(gè)物體的速度大小與選擇的參考系有關(guān)，那么物體的動(dòng)能大小也跟參考系的選擇有關(guān)、機(jī)械能守恒定律成立的條件也跟參考系有關(guān)嗎？一個(gè)物體在外力作用下在粗糙的水平面上勻速運(yùn)動(dòng)， 那么它的機(jī)械能守恒嗎？對(duì)此，我們有必要對(duì)機(jī)械能守恒定律的成立條件、適用范圍以及一些有爭(zhēng)議的問(wèn)題做一做辨析。二有關(guān)機(jī)械能守恒定律趙凱華、羅蔚茵主編的新概念物理教程力學(xué)中提到機(jī)械能守恒定律的內(nèi)容為：一個(gè)保守系總機(jī)械能的增加等于

3、（未計(jì)入外場(chǎng)部分的） 外力對(duì)它所作的功； 如果從某個(gè)參考系看來(lái)，這部分外力做功為零，則該系統(tǒng)的機(jī)械能不變。這里需要理解的關(guān)鍵字有：保守系、 外力做功、 從某個(gè)參考系看來(lái)。 搞清楚了這幾個(gè)關(guān)鍵字，那么前面提出的問(wèn)題自然就解決了。下面下先從理論上推導(dǎo)關(guān)于保守系的機(jī)械能守恒的條件。對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其動(dòng)能的增量和力對(duì)它做功的關(guān)系式可以表示為：dEk d（ mv 2/2） f ?dr dA，式中 dA 代表力 f 對(duì)它做的元功， dEk 代表其動(dòng)能的增加。把此式運(yùn)用到一個(gè)物體系，該物體系由若干個(gè)相互作用著的物體（質(zhì)點(diǎn)）組成，并用腳標(biāo)i 標(biāo)記第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，對(duì) i 求和：dEkdEkid( 1m i v i

4、 2 )f idridA i dAi2iii式中， E kEki1m i vi2為系統(tǒng)的總動(dòng)能， dA 是對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)所做的元i2i功。下面討論 dA。系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)i 所受的力 fi 可以分解為內(nèi)力和外力：f i =f i 外 f i內(nèi)而f i 內(nèi)f ijj i從而元功可以分解為內(nèi)力的功和外力的功：dA=dA 外 dA 內(nèi)對(duì)于內(nèi)力的功，把它寫成對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)i 、 j 對(duì)稱的形式，再利用牛頓第三定律：dA 內(nèi)f ij1(f ij drif ji drj )1d(rirj )1drif ijf ijij i2 i , j2 i j2 i j( ij)ri式中 r ij r i r j為質(zhì)點(diǎn) i

5、 相對(duì)質(zhì)點(diǎn) j 的位矢（見(jiàn)圖1）or j我們進(jìn)一步把內(nèi)力fij 分解為保守部分f ij c 和非保守部分 fij D.圖 1保守力和非保守力的概念。沿任意閉合回路作功（或者說(shuō)，抵抗它作功）為零的力，叫做保守力， 其所做的功僅跟質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)， 且與某種勢(shì)能的增減相對(duì)應(yīng)；否則，非保守力，非保守力做功沒(méi)有與勢(shì)能相對(duì)應(yīng)。重力和彈力都是保守力，摩擦力為非保守力。保守內(nèi)力的功等于相互作用勢(shì)能U （rij）的減少：dA 內(nèi)c 1f ijc drij1dU( rij )dE p內(nèi)2 ij2ijdrijrij就是1U (rij ) 為系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用勢(shì)能總和，即系統(tǒng)的總內(nèi)勢(shì)能。式中 EP內(nèi)2i j對(duì)

6、于外力做功：在很多場(chǎng)合下，人們一般不再把外力做功dA 外作進(jìn)一步的分解。不過(guò)在有保守外場(chǎng)的情況下，還是經(jīng)常把它分解成dA 外C 和 dA 外D 兩部分。所謂“外場(chǎng)” ，是指產(chǎn)生這種力場(chǎng)的外部物體非常龐大，內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的反作用力對(duì)它運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響可以忽略（比如對(duì)于地面上的物體，地球的引力場(chǎng)可以看作矢外場(chǎng)） 。如果外場(chǎng)是保守的，則它對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部質(zhì)點(diǎn) i 所做的功可以寫成勢(shì)能減少的形式： fiC?dr i dU 外 （ ri），dA C外f iCdridU 外 (ri )dEp 外ii式中 E P外U 外 (ri ) 為系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的外勢(shì)能總和，即總外勢(shì)能。i至于 dA 外D 就是 dA 外中除了 dA

7、 C外 外的其余部分，它不可用勢(shì)能的減少來(lái)表達(dá)，或者由于某種考慮本可以用而不用勢(shì)能的減少來(lái)表達(dá)。綜上所述，dA dA內(nèi)CdA外CdA內(nèi)DdA外DdEp內(nèi)dEp外dA內(nèi)DdA外DdEp dA內(nèi)DdA外D式中 Ep Ep 內(nèi) Ep 外 為系統(tǒng)的總勢(shì)能，又因?yàn)閐Ek dA ，上式可以變?yōu)椋篸（ Ek Ep） dA 內(nèi)DdA 外D對(duì)于保守系（即使所有非保守內(nèi)力都不做功的系統(tǒng)）有：dA 內(nèi)D0于是對(duì)于保守系有：d（ Ek Ep ） dA D外如果在某個(gè)參考系內(nèi)有dA D外0 ，則d（ Ek Ep ）=0，或Ek Ep=常量 E其做功會(huì)使得其他形式的能量向機(jī)械能轉(zhuǎn)化。間轉(zhuǎn)化，而沒(méi)有與其他形式的能量轉(zhuǎn)化。這

8、便是機(jī)械能守恒定律。 我們也得到了機(jī)械能守恒的條件： 對(duì)于保守系的每一個(gè)元過(guò)程，外力做的總功為零，保守內(nèi)力做功為零，則每一個(gè)瞬間，機(jī)械能為一個(gè)恒量。對(duì)此，還需要作以下的補(bǔ)充說(shuō)明：1對(duì)于保守系，即是所有非保守內(nèi)力都不做功的系統(tǒng)。注意這里的“所有的非保守內(nèi)力都不做功” 不包括非保守內(nèi)力做的總功為零的情況。 比如， 一個(gè)球在靜摩擦力的作用下從斜面上滾下來(lái)， 摩擦力不做功， 則球和斜面是保守系； 若一部機(jī)器在發(fā)動(dòng)機(jī)的推動(dòng)下克服阻力勻速轉(zhuǎn)動(dòng)， 雖然非保守力做功的總和為零， 但是該系統(tǒng)不能看作是保守系。 因?yàn)樵撓到y(tǒng)的非保守力一個(gè)做了正功，一個(gè)做了負(fù)功。2非保守力包括摩擦力、阻力等，其做功會(huì)使得機(jī)械能轉(zhuǎn)化為

9、熱能；還包括爆炸力等，換句話說(shuō)， 機(jī)械能守恒就是能量在動(dòng)能和勢(shì)能3機(jī)械能守恒的條件要求保守系的外力做功為零，不是要求每一個(gè)外力做功為零，而只要每個(gè)外力做功的代數(shù)和為零即可。4機(jī)械能守恒的條件要求外力做功和非保守內(nèi)力做功分別為零，而不是兩者的代數(shù)和為零。 否則，這時(shí)候該系統(tǒng)已經(jīng)不是保守系了，因?yàn)榉潜Ｊ貎?nèi)力做功不為零，討論機(jī)械能是否守恒已經(jīng)沒(méi)有意義了。5機(jī)械能是否守恒跟參考系的選擇有關(guān)。內(nèi)力做功只是與系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移有關(guān)，從而與參考系的選擇無(wú)關(guān)。然而對(duì)于外力，選擇不同的參考系做伽利略變換時(shí)， dr i dr i vdt， f i fi，于是dA i 外 f i外 dri f i外 （dri

10、vdt) dA 外f 外vdtii上式表明， dA 外是否為零與參考系的選擇有關(guān)。6機(jī)械能是否守恒，跟選擇的保守系中的物體的范圍有關(guān)。如圖2 所示，一條不可伸長(zhǎng)的的輕繩將m1 和 m2 繞過(guò)定滑輪系于兩邊，不計(jì)繩子和滑輪間的摩擦力，m1m 2。如果但對(duì)于 m1 和地球這個(gè)系統(tǒng)， 機(jī)械能不守恒， 因?yàn)橛欣K子對(duì)m1 的力做了負(fù)功。但若選擇m1、 m2 和地球這個(gè)系統(tǒng)，因?yàn)槔K子對(duì)m1、 m2 的力所做的功等大，符號(hào)相反，即外力做的總功為零，則機(jī)械能守恒。三機(jī)械能守恒定律在中學(xué)教學(xué)中的解讀m2在中學(xué)階段， 機(jī)械能守恒定律是非常重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生對(duì)一m1些稍微復(fù)雜些的系統(tǒng)要判斷其機(jī)械能是否守恒便出現(xiàn)

11、困難。圖 21中學(xué)教材對(duì)機(jī)械能守恒定律的表述1 對(duì)在中學(xué)教材中，編者總是把原理、規(guī)律用最簡(jiǎn)潔最通俗的語(yǔ)言表述出來(lái)。高中教材機(jī)械能守恒定律的表述為：在只有重力做功的情形下，物體動(dòng)能和重力勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變。教材后面還補(bǔ)充了動(dòng)能和彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化的情況。這種表述， 暗含了將物體和地球作為一個(gè)系統(tǒng)，而且選擇的參考系就是地球。“動(dòng)能和勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化” ，即是說(shuō)，沒(méi)有機(jī)械能和其他形式的能量的轉(zhuǎn)化。2易錯(cuò)問(wèn)題的釋疑本文開(kāi)頭提到的幾個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在可以很容易地作出解析了。（ 1）一個(gè)物體在推力作用下在粗糙的水平面上勻速運(yùn)動(dòng)，那么它的機(jī)械能守恒嗎?這個(gè)問(wèn)題可以從兩個(gè)角度分析：首先，對(duì)于該物體和

12、地球構(gòu)成的系統(tǒng)本身就不是保守系，因?yàn)橛蟹潜Ｊ貎?nèi)力（摩擦力）做了功，故機(jī)械能不守恒；或者認(rèn)為，這個(gè)系統(tǒng)有機(jī)械能的的輸出和輸入：由于摩擦力做了負(fù)功，有一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；同時(shí)又由于其他的非保守力（此處是推力） 做功使得系統(tǒng)的機(jī)械能增加， 雖然機(jī)械能的輸入和輸出平衡，但不能認(rèn)為機(jī)械能守恒，只能叫做機(jī)械能的總量不變。實(shí)際上，對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，討論非保守內(nèi)力做功是否為零時(shí)，只需要討論耗散力（滑動(dòng)摩擦力、空氣阻力等）以及發(fā)動(dòng)機(jī)等產(chǎn)生的非耗散力、爆炸等產(chǎn)生的爆炸力。對(duì)于其它的內(nèi)力如靜摩擦力、一切略去宏觀形變的彈力等不必考慮，因?yàn)檫@些內(nèi)力分別做的功的代數(shù)和為零，并且不會(huì)導(dǎo)致機(jī)械能和其它形式的能量轉(zhuǎn)化，只會(huì)使得

13、機(jī)械能在系統(tǒng)內(nèi)部轉(zhuǎn)移。比如圖2中提到的例子，若是把m1、 m2、地球以及輕繩作為一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)非保守力（繩子分別對(duì) m1、m2 的拉力）各自做功不為零，但是我們不必討論它，因?yàn)樗皇呛纳⒘?，且它們所做的總功為零，系統(tǒng)沒(méi)有機(jī)械能的輸出或輸入，系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的。只是m1 的機(jī)械能減少， m2 的機(jī)械能增加，總的機(jī)械能守恒。2）關(guān)于能量的相對(duì)性。一個(gè)物體的速度與選擇的參考系有關(guān)，與之對(duì)應(yīng)的動(dòng)能也便與選擇的參考系有關(guān)。 這也容易理解， 我們把物體能夠?qū)ν庾龉?，叫做這個(gè)物體具有能量；物體由于運(yùn)動(dòng)具有的能量叫做動(dòng)能； 物體由于被舉高而具有的能量叫做勢(shì)能。如果你在一飛行的飛機(jī)上， 剛好窗外有一與你的飛機(jī)同速度的子彈，你絲毫不會(huì)覺(jué)得該子彈對(duì)你有威脅，因?yàn)樵谀憧磥?lái)，它的動(dòng)能為零，不具備做功的能力；但是，如果你是靜止在地面上的，子彈以同樣的速度射來(lái)，這時(shí)你的生命肯定受到威脅，因?yàn)榇藭r(shí)你看來(lái)，子彈的動(dòng)能是很大的。那么這樣說(shuō)來(lái)，我們總可以找到一個(gè)參考系，使得物體的機(jī)械能為零；或者找到一個(gè)參考系，使得物體的機(jī)械能很大，這樣能量不就增加了？其實(shí)，我們關(guān)心的， 并不是該物體具有的能量的具體數(shù)值是多大，而是該