長江大學數(shù)學分析-下-定理

1、數(shù)項級數(shù)(級數(shù)收斂的柯西準則)級數(shù)U U2Un收斂的充要條件是：任給正數(shù)總存在正整數(shù)N ,使得當m N以與對任意的正整數(shù)p,都有um 1 um 2um p定理：若級數(shù) 定理：若級數(shù) unvn都收斂，則對任意的常數(shù)c,d ,級數(shù)(cun dvn)亦收斂，且(cun dvn)CUn dVn 。定理：正項級數(shù)Un收斂的充要條件是：部分和數(shù)列Sn有界，即存在某正數(shù)M ,對一切正整數(shù)n有Sn M(比較原則)設 un與 vn是兩個正項級數(shù)，如果存在某正數(shù)N,對一切n N都有un vn ,則(i)若級數(shù) vn收斂，則級數(shù)un也收斂；(ii )若級數(shù) /發(fā)散，則級數(shù) 片也發(fā)散。推論設4 u2 (1)vi v

2、丫口 (2)是兩個正項級數(shù)，若lim un l , n v則(i) 當0 l時，上述級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散；(ii ) 當l 0且級數(shù)(2)收斂時，級數(shù)(1)也收斂；(iii ) 當l且級數(shù)(2)收斂時，級數(shù)(1)發(fā)散。(達朗貝爾判別法，或稱比式判別法)設 un為正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)N。與常數(shù)q ( 0 q 1)(i ) 若對一切n No,成立不等式uq則級數(shù) “收斂un(ii ) 若對一切n No,成立不等式41 ,則級數(shù) un發(fā)散un1 / 10(柯西判別法，或稱根式判別法)設 Un為正項級數(shù)，且存在某正數(shù) No與正常數(shù)l ,(i )若對一切n No,成立不等式向 l 1 ,則級數(shù) U

3、n收斂；(ii )若對一切n No,成立不等式 式 1,則級數(shù) Un發(fā)散。積分判別法定理12.9設f為1,)上非負減函數(shù)，那么正項級數(shù)f(n)與反常積分1 f (x)dx同時收斂或同時發(fā)散。定理12.11 (萊布尼茨判別法)若交錯級數(shù)U1 u2 u3 u4(1)n1un滿足下述兩個條件：(i )數(shù)列un單調(diào)遞減；(ii ) Jm un 0。則交錯級數(shù)收斂。定理12.15 (阿貝爾判別法)若4為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)bn收斂，則級數(shù)anbn a1bl a2b2 anbn 收斂。定理12.16 (狄利克雷判別法)若數(shù)列an單調(diào)遞減，且“ma。0,又級數(shù) bn的部分和有界，則級數(shù)anbn a1bl a

4、2b2anbn收斂。函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)定理13.1 (函數(shù)列一致收斂的柯西準則)函數(shù)列 fn在數(shù)集D上一致收斂的充要條件是：對任給正數(shù)，總存在正數(shù)N ,使得當n,m N時，對一切x D ,都有 |fn(x) fm(x)|o定理13.3 (一致收斂的柯西準則)函數(shù)項級數(shù) un(x)在數(shù)集D上一致收斂的充 要條件是：對任給的正數(shù) ，總存在正數(shù)N ,使得當n N時，對一切x D和 一切正整數(shù) p ,都有 Sn p(x) Sn(x) 或 un1(x)4 p(x) 。2 / 10定理13.5 (爾斯特拉斯判別法)設函數(shù)項級數(shù)Un(x)定義在數(shù)集D上， Mn為收斂的正項級數(shù)，若對一切 XD ,有Un(x)

5、Mn,n 1,2，,為收斂的正項級數(shù)，若對一切 Xun(x)在D上一致收斂定理13.6 (阿貝爾判別法)設(i )Un(x)在區(qū)間I上一致收斂；(ii )對于每一個X I, vn(x)是單調(diào)的；(iii ) Vn(x)在I上一致有界，即對一切x I和正整數(shù) n, 存在正數(shù) M 使得 vn(x) M , 則級數(shù)un(x)vn(x) u1(x)v1(x) u2(x)v2(x) un(x)vn (x)在 I 上一致收斂。定理13.7 (狄利克雷判別法)設(i )un (x)的部分和函數(shù)列nUn(x) uk(x) (n 1,2,)在 I 上一致有界；(ii )對于每一個 x I,%(x)是 k 1單調(diào)

6、的； (iii ) 在 I 上vn(x)0(n), 則級數(shù)un(x)vn(x) u1(x)v1(x) u2(x)v2(x) un(x)vn (x)在 I 上一致收斂。定理13.8設函數(shù)列fn在(a,x0)U(x0,b)上一致收斂于f(x),且對每一個n,lim fn(x) an,則lim an和lim f(x)均存在且相等。x Xonx x0定理13.9 (連續(xù)性)若函數(shù)列fn在區(qū)間I上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其極限函數(shù)f在I上也連續(xù)定理13.10 (可積性)若函數(shù)列fn在a,b上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則bblim fn (x)dx limfn(x)dxa n nn a n、/定理13

7、.11(可微性)設fn為定義在a,b上的函數(shù)列，若對x0 a,b為fn的收斂點，fn的每一項在a,b上游連續(xù)的導數(shù)，且fn在a,b上一致收斂，則dd(lim fn(x) limfn(x)dx nn dx3 / 10事級數(shù)定理14.1 (阿貝耳定理)若號級數(shù)anxn a0 a1x a2x2anxn在n 0 xx0收斂，則對滿足不等式x x的任何x ,幕級數(shù)nannanxn 02a0 a1x a2xanxn收斂而且絕對收斂；若幕級數(shù)n2n2ax a0 ax a?xn 0任彳x,幕級數(shù)發(fā)散。anxn在x x時發(fā)散，則對滿足不等式|x ，的定理14.2對于幕級數(shù)定理14.2對于幕級數(shù)anxnn 02a

8、0axa2xanxn，若lim溝 ，則n ,當（i ） 0時，幕級數(shù)當（i ） 0時，幕級數(shù)anxna0 a1x a2x2n 0anxn的收斂半徑1R 一 ；（ ii0時1R 一 ；（ ii0時，幕級數(shù)nanxn 0a0a1x2a2xanxn的收斂半徑R ; （iii ）半徑R ; （iii ）半徑R 0 。時，幕級數(shù)anxna0 a1x a2x2n 0anxn的收斂定理14.4若幕級數(shù)anxnn 定理14.4若幕級數(shù)anxnn 02a0a1x a2xanxn的收斂半徑為R( 0),則在它的收斂區(qū)(R, R)任一閉區(qū)間a,b上級數(shù)nanxn 02a0 a1x a2xanxn都一致收斂傅里葉級數(shù)

9、定理15.1若級數(shù)同(an bn)收斂，則級數(shù)a0(an cosnx bn sin nx)在2 n 12 n 1整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂。4 / 10定理15.2若在整個數(shù)軸上f (x) a0(an cosnx bnsin nx)且等式右邊級數(shù)一2 n 1致收斂，則有如下關系式：1一、，c -an f (x)cos nxdx,n 0,1,2,1 bn一 f (x)sin nxdx, n 1,2,bn多元函數(shù)的極限與連續(xù)定理16.1 (柯西準則)平面點列Pn收斂的充要條件是任給正數(shù)，存在正整 數(shù)N ,使得當n N時，對一切正整數(shù)p ,都有(pn, pn 1)定理16.2 (閉域套定理)設Dn

10、是R2中的閉域列，它滿足：(i) Dn Dn1,n 1,2，；(ii ) dn d(Dn),lim dn 0,則存在 惟 一 的 點 p0 Dn,n 1,2,.定理16.3 (聚點定理)設ER2為有界無限點集，則E在R2中至少有一個聚點定理16.4 (有限覆蓋定理)設D R2為一有界閉域， 為一開域族，它覆蓋 n了 D (既 D Ui). i 1定理16.6若f (x, y)在點(x0, y0)存在重極限 lim f (x, y)與累次極限 (x,y) (xo ,y0)lim lim f (x, y)則他們必相等. x Xo y y0定理16.8 (有界性與最大、最小定理)若函數(shù)f在有界閉域D

11、 R2上連續(xù)，則f 在D上有界，且能取得最大值與最小值.定理16.9 (一致連續(xù)性定理)若函數(shù)f在有界閉域D R2上連續(xù)，則f在D上 一致連續(xù).即對任何 0,總存在只依賴于 的正數(shù)，使得對一切點P,Q,只要(P,Q),就有 |f(P) f(Q)5 / 10定理16.10 (界值性定理) 設函數(shù)f在區(qū)域D R2上連續(xù)，若PhB為D中任意 兩點，且f(R) “汾)，則對任何滿足不等式f(pi)f(P2)的實數(shù)，必存在點B D,使得f(po).多元函數(shù)微分學定理17.6若函數(shù)f在點R(x0,y,z0)可微，則f在點R處沿任一方向l的方向?qū)?shù)都 存在， 且 fi(B) fx(R)cosfy(P0)co

12、sfz(P0)cos, 其 中cos ,cos ,cos 為方向l的余弦.定理17.8 (中值定理)設二元函數(shù)f在凸開域DR2上連續(xù)，在D的所有點都可微，則對D任意兩點P(a,b), Q(a h,b h) D ,存在某(01),使得f (a h,b h) f (a, b) fx(a h,b k)h fy(a h,b k)k隱函數(shù)定理與其應用定理18.1 (隱函數(shù)存在惟一性定理)若滿足以下條件：(i)函數(shù)F在以P0(x0,y0)為點的某區(qū)域D R2上連續(xù)；(ii ) F(x0,y。)0 (通常稱為初始條件)；(iii )在口存在連續(xù)的偏導數(shù)Fy(x,y)；(iv) Fy(x0,y0) 0則在點P

13、o的某鄰域U(P0) D ,方程F(x, y) 0惟一地確定了一個定義在某區(qū)間(x0,Xo)的函數(shù)(隱函數(shù))y f(x),使得、f (Xo) y0,x (x,Xo)時(乂 f(x) U(Po)且 F(x, f(x) 0；f(x)在(Xo,Xo)連續(xù).定理18.2 (隱函數(shù)可微性定理) 設F(x, y)滿足隱函數(shù)存在惟一性定理中的條件6 / 10(i) (iv),又設在D還存在連續(xù)的偏導數(shù)Fx(x,y),則由方程F(x,y) 0所確定的隱函數(shù)y f(x)在其定義域(xo,xo )有連續(xù)導函數(shù)，且f,(x)Ff,(x)Fx(x,y)Fy(x, y)含參量積分定理19.1 (連續(xù)性)若二元函數(shù)f(x

14、,y)在矩形區(qū)域R a,b c,d上連續(xù)，則d函數(shù)I(x) f (x,y)dy在a,b上連續(xù).c定理 19.2 (連續(xù)性)設二元函數(shù) f(x, y)在區(qū)域G ( x, y) | c(x) y d(x),a x b上連續(xù)，其中 c(x),d(x)為a,b上的連續(xù)函d(x)數(shù)，則函數(shù)F(x) c(x)f(x，y)dy在a，b上連續(xù).定理19.3 (可微性)若函數(shù)f(x,y)與其偏導數(shù)一f(x,y)都在矩形區(qū)域 xdR a,b c,d上連續(xù)，則 I (x) f (x,y)dy 在a,b上可微，且 cd ddf(x,y)dy f(x,y)dy .dx cc x定理 19.4 (可微性)設 f (x,

15、y) fx(x, y)在 R a,b c,d上連續(xù),c(x),d(x)為定義在a,b上其值含于p,q的可微函數(shù)，則函數(shù)F(x) ”x)f(x,y)dy在a,b上可 c(x)d (x)微，且 f(x)fx(x,y)dy f (x,d(x)d(x) f (x,c(x)c(x)c (x)定理19.6若f (x,y)在矩形區(qū)域R a,b c,d上連續(xù)，則bddbdx f(x,y)dy dy f(x,y)dxaccaf (x, y)dy 在a,b上一致收f (x, y)dy 在a,b上一致收7 / 10斂的充要條件是：對任給的正數(shù)，總存在某一實數(shù)M c,使得當A,A2 M時,，一，A2對一切 x a,b

16、都有 f (x, y)dy . A定理19.8含參量反常積分c f (x,y)dy在a,b上一致收斂的充要條件是：對任一趨于 的遞增數(shù)列An(其中A c),函數(shù)項級數(shù)An1 f (x, y)dy un(x)Ann 1 nn 1在a,b上一致收斂.曲線積分x (t).定理20.1設有光滑曲線L:(), t ,;函數(shù)f(x,y)為定義在L上的連y (t),續(xù)函數(shù)，則 Lf(x, y)ds f( (t), (t)J 2(t)說dt重積分定理21.3若曲線K為由定義在a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)的圖像，則曲線K的面 積為零.定理21.7設f (x, y)是定義在有界閉域D上的有界函數(shù).若f (x, y)

17、的不連續(xù)點都落在有限條光滑曲線上，則 丫)在口上可積.定理21.8設f(x, y)在矩形區(qū)域D a,b c,d上可積，且對每個x a,b,積, d,， b d,分 f(x, y)dy存在，則累次積分 dx f(x, y)dy也存在，且 ca cb df (x,y)d dx f(x, y)dya cD定理21.11 (格林公式)若函數(shù)P(x,y),Q(x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有(-Q 上)d Pdx Qdy ,這里L為區(qū)域D的邊界曲線，d x yL并取正方向.定理21.12設D是單連通區(qū)域.若函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D連續(xù)，且具有一階連8 / 10續(xù)偏導數(shù)，則

18、以下四個條件等價：(i)沿D任一按段光?t封閉曲線L,有/dx Qdy 0；(ii )對口中任一按段光滑曲線L ,曲線積分JPdx Qdy與路線無關，只與L的 起點與終點有關；(iii ) Pdx Qdy是D某一函數(shù)u(x,y)的全微分，即在 D有du Pdx Qdy；(iv)在D處處成立上-Q y x定理21.13設f (x, y)在有界閉區(qū)域D上可積，變換T:x x(u, v), y y(u,v)將uv平面有按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對一地映成xy平面上的閉區(qū)域D ,函數(shù)x(u,v),y(u,v)在分別具有一階連續(xù)偏導數(shù)且它們的函數(shù)行列式J(u,v) (x, y) 0,(u,v),則(u,v)f (x,y)dxdy f (x(u,v), y(u,v) J(u,v) dudv .D曲面積分定理22.1設有光滑曲面S:z z(x,y),(x, y) Df (x, y,z)為S上的連續(xù)函數(shù)，則f(x, y,z)dS f (x,y,z(x, y)J z2 zydxdy. sD定理22.22設R是定義在光滑曲面S:z z(x,y),(x,y) Dxy上的連續(xù)函數(shù)，以S的上側(cè)為正側(cè)(這時S的法線方向與x軸正向成銳角)，則有R(x,y,z)dxdy