考研數學歷年真題(1987-2012)年數學一-可直接打印(純試題)

1、共享天空網 友情提供因為共享，所以強大。1987年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)當=_時,函數取得極小值.(2)由曲線與兩直線及所圍成的平面圖形的面積是_.(3)與兩直線及都平行且過原點的平面方程為_.(4)設為取正向的圓周則曲線積分= _.(5)已知三維向量空間的基底為則向量在此基底下的坐標是_.二、(本題滿分8分)求正的常數與使等式成立.三、(本題滿分7分)(1)設、為連續(xù)可微函數求(2)設矩陣和滿足關系式其中求矩陣四、(本題滿分8分)求微分方程的通解,其中常數五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,滿分

2、12分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設則在處(A)的導數存在,且(B)取得極大值(C)取得極小值 (D)的導數不存在(2)設為已知連續(xù)函數其中則的值(A)依賴于和(B)依賴于、和(C)依賴于、,不依賴于(D)依賴于,不依賴于(3)設常數則級數(A)發(fā)散 (B)絕對收斂 (C)條件收斂(D)散斂性與的取值有關 (4)設為階方陣，且的行列式而是的伴隨矩陣，則等于(A)(B)(C) (D) 六、（本題滿分10分）求冪級數的收斂域，并求其和函數. 七、（本題滿分10分）求曲面積分其中是由曲線繞軸旋轉一周而成的曲面,其法向量與軸正向的夾角恒大于

3、八、（本題滿分10分）設函數在閉區(qū)間上可微,對于上的每一個函數的值都在開區(qū)間內,且1,證明在內有且僅有一個使得九、（本題滿分8分）問為何值時,現線性方程組有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設在一次實驗中,事件發(fā)生的概率為現進行次獨立試驗,則至少發(fā)生一次的概率為_;而事件至多發(fā)生一次的概率為_.(2)有兩個箱子,第1個箱子有3個白球,2個紅球, 第2個箱子有4個白球,4個紅球.現從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里,再從第2個箱子中取出1個球,此球是白球的概率為_.已知上述從第2個箱子中取出的

4、球是白球,則從第一個箱子中取出的球是白球的概率為_.(3)已知連續(xù)隨機變量的概率密度函數為則的數學期望為_,的方差為_.十一、（本題滿分6分）設隨機變量相互獨立,其概率密度函數分別為 , ,求的概率密度函數.1988年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求冪級數的收斂域.(2)設且,求及其定義域.(3)設為曲面的外側,計算曲面積分二、填空題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.把答案填在題中橫線上)(1)若則= _.(2)設連續(xù)且則=_.(3)設周期為2的周期函數,它在區(qū)間上定義為 ,則的傅里葉級數在處收斂于_.(4)設4階矩陣其中均為4

5、維列向量,且已知行列式則行列式= _.三、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設可導且則時在處的微分是(A)與等價的無窮小(B)與同階的無窮小(C)比低階的無窮小(D)比高階的無窮小(2)設是方程的一個解且則函數在點處(A)取得極大值 (B)取得極小值 (C)某鄰域內單調增加(D)某鄰域內單調減少(3)設空間區(qū)域則(A) (B)(C)(D) (4)設冪級數在處收斂,則此級數在處(A)條件收斂(B)絕對收斂(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定 (5)維向量組線性無關的充要條件是(A)存在一組不全為零的數使(

6、B)中任意兩個向量均線性無關(C)中存在一個向量不能用其余向量線性表示(D)中存在一個向量都不能用其余向量線性表示四、(本題滿分6分)設其中函數、具有二階連續(xù)導數,求五、(本題滿分8分)設函數滿足微分方程其圖形在點處的切線與曲線在該點處的切線重合,求函數六、（本題滿分9分）設位于點的質點對質點的引力大小為為常數為質點與之間的距離),質點沿直線自運動到求在此運動過程中質點對質點的引力所作的功.七、（本題滿分6分）已知其中求八、（本題滿分8分）已知矩陣與相似.(1)求與(2)求一個滿足的可逆陣九、（本題滿分9分）設函數在區(qū)間上連續(xù),且在內有證明:在內存在唯一的使曲線與兩直線所圍平面圖形面積是曲線與

7、兩直線所圍平面圖形面積的3倍.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設在三次獨立試驗中,事件出現的概率相等,若已知至少出現一次的概率等于則事件在一次試驗中出現的概率是_.(2)若在區(qū)間內任取兩個數,則事件”兩數之和小于”的概率為_.(3)設隨機變量服從均值為10,均方差為0.02的正態(tài)分布,已知則落在區(qū)間內的概率為_.十一、（本題滿分6分）設隨機變量的概率密度函數為求隨機變量的概率密度函數1989年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)已知則= _.(2)設是連續(xù)函數,且則=_

8、.(3)設平面曲線為下半圓周則曲線積分=_.(4)向量場在點處的散度=_.(5)設矩陣則矩陣=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)當時,曲線(A)有且僅有水平漸近線(B)有且僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線,又有鉛直漸近線(D)既無水平漸近線,又無鉛直漸近線(2)已知曲面上點處的切平面平行于平面則點的坐標是(A) (B) (C)(D) (3)設線性無關的函數都是二階非齊次線性方程的解是任意常數,則該非齊次方程的通解是(A)(B)(C)(D) (4)設函數而其中則等于(A)(B) (C)(D

9、) (5)設是階矩陣,且的行列式則中(A)必有一列元素全為0(B)必有兩列元素對應成比例(C)必有一列向量是其余列向量的線性組合(D)任一列向量是其余列向量的線性組合三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)設其中函數二階可導具有連續(xù)二階偏導數,求(2)設曲線積分與路徑無關,其中具有連續(xù)的導數,且計算的值.(3)計算三重積分其中是由曲面與所圍成的區(qū)域.四、(本題滿分6分)將函數展為的冪級數.五、(本題滿分7分)設其中為連續(xù)函數,求六、（本題滿分7分）證明方程在區(qū)間內有且僅有兩個不同實根.七、（本題滿分6分）問為何值時,線性方程組有解,并求出解的一般形式.八、（本題滿分8分）假設為階可逆

10、矩陣的一個特征值,證明(1)為的特征值.(2)為的伴隨矩陣的特征值.九、（本題滿分9分）設半徑為的球面的球心在定球面上,問當為何值時,球面在定球面內部的那部分的面積最大?十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知隨機事件的概率隨機事件的概率及條件概率則和事件的概率=_.(2)甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次,其命中率分別為0.6和0.5,現已知目標被命中,則它是甲射中的概率為_.(3)若隨機變量在上服從均勻分布,則方程有實根的概率是_.十一、（本題滿分6分）設隨機變量與獨立,且服從均值為1、標準差(均方差)為的正態(tài)分布,而服從標準正態(tài)分布.試求隨機變量的

11、概率密度函數.1990年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)過點且與直線垂直的平面方程是_. (2)設為非零常數,則=_.(3)設函數 ,則=_.(4)積分的值等于_.(5)已知向量組則該向量組的秩是_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設是連續(xù)函數,且則等于(A)(B)(C)(D) (2)已知函數具有任意階導數,且則當為大于2的正整數時的階導數是(A) (B) (C)(D) (3)設為常數,則級數(A)絕對收

12、斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)收斂性與的取值有關 (4)已知在的某個鄰域內連續(xù),且則在點處(A)不可導(B)可導,且(C)取得極大值(D)取得極小值 (5)已知、是非齊次線性方程組的兩個不同的解、是對應其次線性方程組的基礎解析、為任意常數,則方程組的通解(一般解)必是(A)(B) (C)(D) 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)設其中具有連續(xù)的二階偏導數,求(3)求微分方程的通解(一般解).四、(本題滿分6分)求冪級數的收斂域,并求其和函數.五、(本題滿分8分)求曲面積分其中是球面外側在的部分.六、（本題滿分7分）設不恒為常數的函數在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內可導,且證

13、明在內至少存在一點使得七、（本題滿分6分）設四階矩陣且矩陣滿足關系式其中為四階單位矩陣表示的逆矩陣表示的轉置矩陣.將上述關系式化簡并求矩陣八、（本題滿分8分）求一個正交變換化二次型成標準型.九、（本題滿分8分）質點沿著以為直徑的半圓周,從點運動到點的過程中受變力作用(見圖).的大小等于點與原點之間的距離,其方向垂直于線段且與軸正向的夾角小于求變力對質點所作的功.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知隨機變量的概率密度函數則的概率分布函數=_.(2)設隨機事件、及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6,若表示的對立事件,那么積事件的概率=_.(3)已

14、知離散型隨機變量服從參數為2的泊松分布,即則隨機變量的數學期望=_.十一、（本題滿分6分）設二維隨機變量在區(qū)域內服從均勻分布,求關于的邊緣概率密度函數及隨機變量的方差1991年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)設 ,則=_.(2)由方程所確定的函數在點處的全微分=_.(3)已知兩條直線的方程是則過且平行于的平面方程是_.(4)已知當時與是等價無窮小,則常數=_.(5)設4階方陣則的逆陣=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后

15、的括號內)(1)曲線(A)沒有漸近線(B)僅有水平漸近線 (C)僅有鉛直漸近線(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線 (2)若連續(xù)函數滿足關系式則等于(A) (B) (C)(D) (3)已知級數則級數等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)設是平面上以、和為頂點的三角形區(qū)域是在第一象限的部分,則等于(A)(B) (C)(D)0 (5)設階方陣、滿足關系式其中是階單位陣,則必有(A)(B) (C)(D) 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)設是曲面在點處的指向外側的法向量,求函數在點處沿方向的方向導數.(3)其中是由曲線繞軸旋轉一周而成的曲面與平面所圍城的立體.四、(本題滿分

16、6分)過點和的曲線族中,求一條曲線使沿該曲線從到的積分的值最小.五、(本題滿分8分)將函數展開成以2為周期的傅里葉級數,并由此求級數的和.六、（本題滿分7分）設函數在上連續(xù)內可導,且證明在內存在一點使七、（本題滿分8分）已知及(1)、為何值時不能表示成的線性組合?(2)、為何值時有的唯一的線性表示式?寫出該表示式.八、（本題滿分6分）設是階正定陣是階單位陣,證明的行列式大于1.九、（本題滿分8分）在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點處的曲率等于此曲線在該點的法線段長度的倒數(是法線與軸的交點),且曲線在點處的切線與軸平行.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上

17、)(1)若隨機變量服從均值為2、方差為的正態(tài)分布,且則=_.(2)隨機地向半圓為正常數)內擲一點,點落在半圓內任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點和該點的連線與軸的夾角小于的概率為_.十一、（本題滿分6分）設二維隨機變量的密度函數為 求隨機變量的分布函數.1992年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)設函數由方程確定,則=_.(2)函數在點處的梯度=_.(3)設 ,則其以為周期的傅里葉級數在點處收斂于_.(4)微分方程的通解為=_.(5)設其中則矩陣的秩=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分

18、.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)當時,函數的極限(A)等于2(B)等于0(C)為(D)不存在但不為(2)級數常數(A)發(fā)散 (B)條件收斂 (C)絕對收斂(D)收斂性與有關 (3)在曲線的所有切線中,與平面平行的切線(A)只有1條(B)只有2條(C)至少有3條(D)不存在(4)設則使存在的最高階數為(A)0(B)1 (C)2(D)3 (5)要使都是線性方程組的解,只要系數矩陣為(A)(B) (C)(D) 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)設其中具有二階連續(xù)偏導數,求(3)設 ,求四、(本題滿分6分)求微分方程的通解

19、.五、(本題滿分8分)計算曲面積分其中為上半球面的上側.六、（本題滿分7分）設證明對任何有七、（本題滿分8分）在變力的作用下,質點由原點沿直線運動到橢球面上第一卦限的點問當、取何值時,力所做的功最大?并求出的最大值. 八、（本題滿分7分）設向量組線性相關,向量組線性無關,問:(1)能否由線性表出?證明你的結論.(2)能否由線性表出?證明你的結論.九、（本題滿分7分）設3階矩陣的特征值為對應的特征向量依次為又向量(1)將用線性表出.(2)求為自然數).十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知則事件、全不發(fā)生的概率為_.(2)設隨機變量服從參數為1的指數分布

20、,則數學期望=_.十一、（本題滿分6分）設隨機變量與獨立服從正態(tài)分布服從上的均勻分布,試求的概率分布密度(計算結果用標準正態(tài)分布函數表示,其中.1993年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)函數的單調減少區(qū)間為_.(2)由曲線 繞軸旋轉一周得到的旋轉面在點處的指向外側的單位法向量為_.(3)設函數的傅里葉級數展開式為則其中系數的值為_.(4)設數量場則=_.(5)設階矩陣的各行元素之和均為零,且的秩為則線性方程組的通解為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題

21、目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設則當時是的(A)等價無窮小(B)同價但非等價的無窮小(C)高階無窮小(D)低價無窮小(2)雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為(A)(B)(C)(D)(3)設有直線與 則與的夾角為(A)(B)(C)(D)(4)設曲線積分與路徑無關,其中具有一階連續(xù)導數,且則等于(A)(B) (C)(D) (5)已知為三階非零矩陣,且滿足則(A)時的秩必為1(B)時的秩必為2 (C)時的秩必為1(D)時的秩必為2 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)求(3)求微分方程滿足初始條件的特解.四、(本題滿分6分)計算其中是由曲面與所圍立體的表面

22、外側.五、(本題滿分7分)求級數的和.六、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)(1)設在上函數有連續(xù)導數,且證明在內有且僅有一個零點.(2)設證明七、（本題滿分8分）已知二次型通過正交變換化成標準形求參數及所用的正交變換矩陣.八、（本題滿分6分）設是矩陣是矩陣,其中是階單位矩陣,若證明的列向量組線性無關.九、（本題滿分6分）設物體從點出發(fā),以速度大小為常數沿軸正向運動.物體從點與同時出發(fā),其速度大小為方向始終指向試建立物體的運動軌跡所滿足的微分方程,并寫出初始條件.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)一批產品共有10個正品和2個次品,任意抽取兩次,每

23、次抽一個,抽出后不再放回,則第二次抽出的是次品的概率為_.(2)設隨機變量服從上的均勻分布,則隨機變量在內的概率分布密度=_.十一、（本題滿分6分）設隨機變量的概率分布密度為(1)求的數學期望和方差(2)求與的協(xié)方差,并問與是否不相關?(3)問與是否相互獨立?為什么?1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)= _.(2)曲面在點處的切平面方程為_.(3)設則在點處的值為_.(4)設區(qū)域為則=_.(5)已知設其中是的轉置,則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有

24、一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設則有(A)(B) (C)(D)(2)二元函數在點處兩個偏導數、存在是在該點連續(xù)的(A)充分條件而非必要條件(B)必要條件而非充分條件 (C)充分必要條件(D)既非充分條件又非必要條件 (3)設常數且級數收斂,則級數(A)發(fā)散(B)條件收斂 (C)絕對收斂(D)收斂性與有關 (4)其中則必有(A)(B) (C)(D) (5)已知向量組線性無關,則向量組(A)線性無關(B)線性無關 (C)線性無關(D)線性無關 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)設 ,求、在的值. (2)將函數展開成的冪級數.(3)求四、(本題滿分6分)計

25、算曲面積分其中是由曲面及兩平面所圍成立體表面的外側.五、(本題滿分9分)設具有二階連續(xù)函數且為一全微分方程,求及此全微分方程的通解.六、(本題滿分8分)設在點的某一鄰域內具有二階連續(xù)導數,且證明級數絕對收斂.七、（本題滿分6分）已知點與的直角坐標分別為與線段繞軸旋轉一周所成的旋轉曲面為求由及兩平面所圍成的立體體積.八、（本題滿分8分）設四元線性齊次方程組()為 ,又已知某線性齊次方程組()的通解為(1)求線性方程組()的基礎解析. (2)問線性方程組()和()是否有非零公共解?若有,則求出所有的非零公共解.若沒有,則說明理由.九、（本題滿分6分）設為階非零方陣是的伴隨矩陣是的轉置矩陣,當時,證

26、明十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知、兩個事件滿足條件且則=_.(2)設相互獨立的兩個隨機變量具有同一分布率,且的分布率為01則隨機變量的分布率為_.十一、（本題滿分6分）設隨機變量和分別服從正態(tài)分布和且與的相關系數設(1)求的數學期望和方差.(2)求與的相關系數(3)問與是否相互獨立?為什么?1995年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)=_.(2)= _.(3)設則=_.(4)冪級數的收斂半徑=_.(5)設三階方陣滿足關系式且則=_.二、選擇題(本題共5小題,每

27、小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設有直線 ,及平面則直線(A)平行于(B)在上 (C)垂直于(D)與斜交(2)設在上則或的大小順序是(A)(B) (C)(D) (3)設可導則是在處可導的(A)充分必要條件(B)充分條件但非必要條件(C)必要條件但非充分條件(D)既非充分條件又非必要條件(4)設則級數(A)與都收斂(B)與都發(fā)散 (C)收斂,而發(fā)散(D)收斂,而發(fā)散(5)設則必有(A)(B) (C)(D) 三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)(1)設其中都具有一階連續(xù)偏導數,且求(2)設函數在區(qū)間上連續(xù),并設求四

28、、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分)(1)計算曲面積分其中為錐面在柱體內的部分.(2)將函數展開成周期為4的余弦函數.五、(本題滿分7分)設曲線位于平面的第一象限內上任一點處的切線與軸總相交,交點記為已知且過點求的方程.六、(本題滿分8分)設函數在平面上具有一階連續(xù)偏導數,曲線積分與路徑無關,并且對任意恒有求七、（本題滿分8分）假設函數和在上存在二階導數,并且試證:(1)在開區(qū)間內(2)在開區(qū)間內至少存在一點使八、（本題滿分7分）設三階實對稱矩陣的特征值為對應于的特征向量為求九、（本題滿分6分）設為階矩陣,滿足是階單位矩陣是的轉置矩陣求十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答

29、案填在題中橫線上)(1)設表示10次獨立重復射擊命中目標的次數,每次射中目標的概率為0.4,則的數學期望=_.(2)設和為兩個隨機變量,且則_.十一、（本題滿分6分）設隨機變量的概率密度為 ,求隨機變量的概率密度1996年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)設則=_.(2)設一平面經過原點及點且與平面垂直,則此平面方程為_.(3)微分方程的通解為_.(4)函數在點處沿點指向點方向的方向導數為_.(5)設是矩陣,且的秩而則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合

30、題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)已知為某函數的全微分,則等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)設具有二階連續(xù)導數,且則(A)是的極大值(B)是的極小值 (C)是曲線的拐點(D)不是的極值也不是曲線的拐點 (3)設且收斂,常數則級數(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)散斂性與有關(4)設有連續(xù)的導數且當時與是同階無窮小,則等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四階行列式的值等于(A)(B) (C)(D) 三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)(1)求心形線的全長,其中是常數.(2)設試證數列極限存在,并求此極限.四、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分

31、)(1)計算曲面積分其中為有向曲面其法向量與軸正向的夾角為銳角.(2)設變換 可把方程簡化為求常數五、(本題滿分7分)求級數的和.六、(本題滿分7分)設對任意曲線上點處的切線在軸上的截距等于求的一般表達式.七、（本題滿分8分）設在上具有二階導數,且滿足條件其中都是非負常數是內任意一點.證明八、（本題滿分6分）設其中是階單位矩陣是維非零列向量是的轉置.證明(1)的充分條件是(2)當時是不可逆矩陣.九、（本題滿分8分）已知二次型的秩為2,(1)求參數及此二次型對應矩陣的特征值.(2)指出方程表示何種二次曲面.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設工廠和工廠的

32、產品的次品率分別為1%和2%,現從由和的產品分別占60%和40%的一批產品中隨機抽取一件,發(fā)現是次品,則該次品屬生產的概率是_.(2)設是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布的隨機變量,則隨機變量的數學期望=_.十一、（本題滿分6分）設是兩個相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量,已知的分布率為又設(1)寫出二維隨機變量的分布率: 123123(2)求隨機變量的數學期望1997年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)=_.(2)設冪級數的收斂半徑為3,則冪級數的收斂區(qū)間為_.(3)對數螺線在點處切線的直角坐標方程為_.(4

33、)設為三階非零矩陣,且則=_.(5)袋中有50個乒乓球,其中20個是黃球,30個是白球,今有兩人依次隨機地從袋中各取一球,取后不放回,則第二個人取得黃球的概率是_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)二元函數 ,在點處(A)連續(xù),偏導數存在(B)連續(xù),偏導數不存在(C)不連續(xù),偏導數存在(D)連續(xù),偏導數不存在(2)設在區(qū)間上令則(A) (B) (C) (D) (3)設則(A)為正常數(B)為負常數(C)恒為零(D)不為常數(4)設則三條直線(其中)交于一點的充要條件是(A)線性相關(B)線性無

34、關(C)秩秩(D)線性相關線性無關(5)設兩個相互獨立的隨機變量和的方差分別為4和2,則隨機變量的方差是(A)8(B)16 (C)28(D)44 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)計算其中為平面曲線 繞軸旋轉一周所成的曲面與平面所圍成的區(qū)域.(2)計算曲線積分其中是曲線 從軸正向往軸負向看的方向是順時針的.(3)在某一人群中推廣新技術是通過其中掌握新技術的人進行的,設該人群的總人數為在時刻已掌握新技術的人數為在任意時刻已掌握新技術的人數為將視為連續(xù)可微變量),其變化率與已掌握新技術人數和未掌握新技術人數之積成正比,比例常數求四、(本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題7分

35、,滿分13分)(1)設直線 在平面上,而平面與曲面相切于點求之值.(2)設函數具有二階連續(xù)導數,而滿足方程求五、(本題滿分6分)設連續(xù)且為常數),求并討論在處的連續(xù)性.六、(本題滿分8分)設證明(1)存在.(2)級數收斂.七、(本題共2小題,第(1)小題5分,第(2)小題6分,滿分11分)(1)設是秩為2的矩陣是齊次線性方程組的解向量,求的解空間的一個標準正交基.(2)已知是矩陣的一個特征向量.1)試確定參數及特征向量所對應的特征值.2)問能否相似于對角陣?說明理由.八、（本題滿分5分）設是階可逆方陣,將的第行和第行對換后得到的矩陣記為(1)證明可逆.(2)求九、（本題滿分7分）從學校乘汽車到

36、火車站的途中有3個交通崗,假設再各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是設為途中遇到紅燈的次數,求隨機變量的分布律、分布函數和數學期望.十、（本題滿分5分）設總體的概率密度為 其中是未知參數是來自總體的一個容量為的簡單隨機樣本,分別用矩估計法和極大似然估計法求的估計量.1998年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)=_.(2)設具有二階連續(xù)導數,則=_.(3)設為橢圓其周長記為則=_.(4)設為階矩陣為的伴隨矩陣為階單位矩陣.若有特征值則必有特征值_.(5)設平面區(qū)域由曲線及直線所圍成,二維隨機變量在

37、區(qū)域上服從均勻分布,則關于的邊緣概率密度在處的值為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設連續(xù),則=(A)(B)(C)(D)(2)函數不可導點的個數是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (3)已知函數在任意點處的增量且當時是的高階無窮小,則等于(A)(B)(C)(D) (4)設矩陣是滿秩的,則直線與直線(A)相交于一點(B)重合(C)平行但不重合(D)異面(5)設是兩個隨機事件,且則必有(A)(B)(C)(D)三、(本題滿分5分)求直線在平面上的投影直線的方程,并求繞軸旋轉一周所成曲面的方

38、程.四、(本題滿分6分)確定常數使在右半平面上的向量為某二元函數的梯度,并求五、(本題滿分6分)從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度從海平面算起)與下沉速度之間的函數關系.設儀器在重力作用下,從海平面由靜止開始鉛直下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設儀器的質量為體積為海水密度為儀器所受的阻力與下沉速度成正比,比例系數為試建立與所滿足的微分方程,并求出函數關系式六、(本題滿分7分)計算其中為下半平面的上側為大于零的常數.七、(本題滿分6分)求八、（本題滿分5分）設正向數列單調減少,且發(fā)散,試問級數是否收斂?并說明理由.九、（本題滿分6分）設是區(qū)間上的任一非負連續(xù)

39、函數.(1)試證存在使得在區(qū)間上以為高的矩形面積,等于在區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積.(2)又設在區(qū)間內可導,且證明(1)中的是唯一的.十、（本題滿分6分）已知二次曲面方程可以經過正交變換化為橢圓柱面方程求的值和正交矩陣十一、（本題滿分4分）設是階矩陣,若存在正整數使線性方程組有解向量且證明:向量組是線性無關的.十二、（本題滿分5分）已知方程組() 的一個基礎解析為試寫出線性方程組() 的通解,并說明理由.十三、（本題滿分6分）設兩個隨機變量相互獨立,且都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布,求隨機變量的方差.十四、（本題滿分4分）從正態(tài)總體中抽取容量為的樣本,如果要求其樣本均值位于區(qū)間內的概率不小

40、于0.95,問樣本容量至少應取多大?附:標準正態(tài)分布表1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.990十五、（本題滿分4分）設某次考試的學生成績服從正態(tài)分布,從中隨機地抽取36位考生地成績,算得平均成績?yōu)?6.5分,標準差為15分.問在顯著性水平0.05下,是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0 分?并給出檢驗過程.附:分布表0.950.975351.68962.0301361.68832.02811999年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_.(2)=_.(3)的通解為=_.

41、(4)設階矩陣的元素全為1,則的個特征值是 _.(5)設兩兩相互獨立的三事件和滿足條件:且已知則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設是連續(xù)函數是的原函數,則(A)當是奇函數時必是偶函數(B)當是偶函數時必是奇函數(C)當是周期函數時必是周期函數 (D)當是單調增函數時必是單調增函數(2)設,其中是有界函數,則在處(A)極限不存在(B)極限存在,但不連續(xù)(C)連續(xù),但不可導(D)可導(3)設,其中 ,則等于(A) (B)(C)(D) (4)設是矩陣,是矩陣,則(A)當時,必有行列式(B)當

42、時,必有行列式(C)當時,必有行列式 (D)當時,必有行列式(5)設兩個相互獨立的隨機變量和分別服從正態(tài)分布和,則(A)(B)(C)(D)三、(本題滿分6分)設是由方程和所確定的函數,其中和分別具有一階連續(xù)導數和一階連續(xù)偏導數,求四、(本題滿分5分)求其中為正的常數,為從點沿曲線到點的弧.五、(本題滿分6分)設函數二階可導且過曲線上任意一點作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為,區(qū)間上以為曲線的曲邊梯形面積記為,并設恒為1,求曲線的方程.六、(本題滿分7分)論證:當時,七、(本題滿分6分)為清除井底的淤泥,用纜繩將抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(見圖).已知井深30

43、m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,在提升過程中,污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉.現將抓起污泥的抓斗提升至井口,問克服重力需作多少焦耳的功?(說明:1N1m=1Jm,N,s,J分別表示米,牛,秒,焦.抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計.)八、(本題滿分7分)設為橢球面的上半部分,點為在點處的切平面,為點到平面的距離,求九、(本題滿分7分)設(1)求的值.(2)試證:對任意的常數級數收斂.十、(本題滿分8分)設矩陣其行列式又的伴隨矩陣有一個特征值,屬于的一個特征向量為求和的值.十一、(本題滿分6分)設為階實對稱矩陣且正定,為實矩

44、陣,為的轉置矩陣,試證為正定矩陣的充分必要條件是的秩十二、(本題滿分8分)設隨機變量與相互獨立,下表列出了二維隨機變量聯(lián)合分布率及關于和關于的邊緣分布率中的部分數值,試將其余數值填入表中的空白處.X Y1十三、(本題滿分6分)設的概率密度為,是取自總體的簡單隨機樣本(1)求的矩估計量.(2)求的方差2000年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_.(2)曲面在點的法線方程為_.(3)微分方程的通解為_.(4)已知方程組無解,則= _.(5)設兩個相互獨立的事件和都不發(fā)生的概率為,發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概

45、率相等,則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設、是恒大于零的可導函數,且,則當時,有(A)(B)(C)(D)(2)設為在第一卦限中的部分,則有(A)(B)(C)(D)(3)設級數收斂,則必收斂的級數為(A) (B) (C)(D) (4)設維列向量組線性無關,則維列向量組線性無關的充分必要條件為(A)向量組可由向量組線性表示 (B)向量組可由向量組線性表示(C)向量組與向量組等價 (D)矩陣與矩陣等價(5)設二維隨機變量服從二維正態(tài)分布,則隨機變量與 不相關的充分必要條件為(A)(B)(C

46、)(D)三、(本題滿分6分)求四、(本題滿分5分)設,其中具有二階連續(xù)偏導數具有二階連續(xù)導數,求五、(本題滿分6分)計算曲線積分,其中是以點為中心為半徑的圓周取逆時針方向.六、(本題滿分7分)設對于半空間內任意的光滑有向封閉曲面都有其中函數在內具有連續(xù)的一階導數,且求.七、(本題滿分6分)求冪級數的收斂區(qū)間,并討論該區(qū)間端點處的收斂性.八、(本題滿分7分)設有一半徑為的球體是此球的表面上的一個定點,球體上任一點的密度與該點到距離的平方成正比(比例常數),求球體的重心位置.九、(本題滿分6分)設函數在上連續(xù),且試證:在內至少存在兩個不同的點使十、(本題滿分6分)設矩陣的伴隨矩陣且,其中為4階單位

47、矩陣,求矩陣.十一、(本題滿分8分)某適應性生產線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數統(tǒng)計,然后將熟練工支援其他生產部門,其缺額由招收新的非熟練工補齊.新、老非熟練工經過培訓及實踐至年終考核有成為熟練工.設第年1月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為和記成向量(1)求與的關系式并寫成矩陣形式:(2)驗證是的兩個線性無關的特征向量,并求出相應的特征值.(3)當時,求十二、(本題滿分8分)某流水線上每個產品不合格的概率為,各產品合格與否相對獨立,當出現1個不合格產品時即停機檢修.設開機后第1次停機時已生產了的產品個數為,求的數學期望和方差.十三、(本題滿分6分)設某種元件的使用壽命的概率密度為

48、,其中為未知參數.又設是的一組樣本觀測值,求參數的最大似然估計值.2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)設為任意常數)為某二階常系數線性齊次微分方程的通解,則該方程為_.(2),則= _.(3)交換二次積分的積分次序:_.(4)設,則= _.(5),則根據車貝曉夫不等式有估計 _.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)設函數在定義域內可導,的圖形如右圖所示,則的圖形為(A) (B) (C) (D)(2)設在點

49、的附近有定義,且則(A)(B)曲面在處的法向量為(C)曲線 在處的切向量為(D)曲線 在處的切向量為(3)設則在=0處可導(A)存在 (B) 存在(C)存在 (D)存在(4)設,則與(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)將一枚硬幣重復擲次,以和分別表示正面向上和反面向上的次數, 則和相關系數為 (A) -1(B)0(C)(D)1三、(本題滿分6分)求.四、(本題滿分6分)設函數在點可微,且,求.五、(本題滿分8分)設 ,將展開成的冪級數,并求的和.六、(本題滿分7分)計算,其中是平面 與柱面的交線,從軸正向看去為逆時針方向.七、(本題滿分7分)設在內

50、具有二階連續(xù)導數且.證明:(1)對于,存在惟一的,使 =+成立.(2).八、(本題滿分8分)設有一高度為為時間)的雪堆在融化過程,其側面滿足方程(設長度單位為厘米,時間單位為小時),已知體積減少的速率與側面積成正比(系數為0.9),問高度為130厘米的雪堆全部融化需多少時間?九、(本題滿分6分)設為線性方程組的一個基礎解系,其中為實常數,試問滿足什么條件時也為的一個基礎解系?十、(本題滿分8分)已知三階矩陣和三維向量,使得線性無關,且滿足.(1)記求使.(2)計算行列式.十一、(本題滿分7分)設某班車起點站上客人數服從參數為的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為且中途下車與否相互獨立.為中途下

51、車的人數,求:(1)在發(fā)車時有個乘客的條件下,中途有人下車的概率.(2)二維隨機變量的概率分布.十二、(本題滿分7分)設抽取簡單隨機樣本樣本均值,求2002年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)= _.(2)已知,則=_.(3)滿足初始條件的特解是_.(4)已知實二次型經正交變換可化為標準型,則=_.(5)設隨機變量,且二次方程無實根的概率為0.5,則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)考慮二元函數的四條性質

52、:在點處連續(xù), 在點處的一階偏導數連續(xù),在點處可微, 在點處的一階偏導數存在.則有:(A)(B)(C)(D)(2)設,且,則級數為(A)發(fā)散 (B)絕對收斂(C)條件收斂 (D)收斂性不能判定.(3)設函數在上有界且可導,則(A)當時,必有 (B)當存在時,必有(C) 當時,必有 (D) 當存在時,必有.(4)設有三張不同平面,其方程為()它們所組成的線性方程組的系數矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關系為(5)設和是相互獨立的連續(xù)型隨機變量,它們的密度函數分別為和,分布函數分別為和,則(A)必為密度函數 (B) 必為密度函數(C)必為某一隨機變量的分布函數 (D) 必為某一隨機

53、變量的分布函數.三、(本題滿分6分)設函數在的某鄰域具有一階連續(xù)導數,且,當時,若,試求的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線與在點處的切線相同.求此切線的方程,并求極限.五、(本題滿分7分)計算二重積分,其中.六、(本題滿分8分)設函數在上具有一階連續(xù)導數,是上半平面(0)內的有向分段光滑曲線,起點為(),終點為().記,(1)證明曲線積分與路徑無關.(2)當時,求的值.七、(本題滿分7分)(1)驗證函數()滿足微分方程.(2)求冪級數的和函數.八、(本題滿分7分)設有一小山,取它的底面所在的平面為面,其底部所占的區(qū)域為,小山的高度函數為.(1)設為區(qū)域上一點,問在該點沿平面上何方向的方向導數

54、最大?若此方向的方向導數為,寫出的表達式.(2)現欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點作為攀登的起點.也就是說要在的邊界線上找出使(1)中達到最大值的點.試確定攀登起點的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣, 均為四維列向量,其中線性無關,.若,求線性方程組的通解.十、(本題滿分8分)設為同階方陣,(1)若相似,證明的特征多項式相等.(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當為實對稱矩陣時,證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設維隨機變量的概率密度為 對獨立地重復觀察4次,用表示觀察值大于的次數,求的數學期望.十二、(本題滿分7分)設總體的

55、概率分布為0123其中()是未知參數,利用總體的如下樣本值3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估計和最大似然估計值.2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上) (1) = .(2)曲面與平面平行的切平面的方程是 .(3)設,則= .(4)從的基到基的過渡矩陣為 .(5)設二維隨機變量的概率密度為 ,則 .(6)已知一批零件的長度(單位:cm)服從正態(tài)分布,從中隨機地抽取16個零件,得到長度的平均值為40 (cm),則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .(注:標準正態(tài)分布函數值二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿

56、分24分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (1)設函數在內連續(xù),其導函數的圖形如圖所示,則有(A)一個極小值點和兩個極大值點(B)兩個極小值點和一個極大值點 (C)兩個極小值點和兩個極大值點(D)三個極小值點和一個極大值點(2)設均為非負數列,且,則必有(A)對任意成立 (B)對任意成立(C)極限不存在 (D)極限不存在(3)已知函數在點的某個鄰域內連續(xù),且,則(A)點不是的極值點(B)點是的極大值點(C)點是的極小值點(D)根據所給條件無法判斷點是否為的極值點(4)設向量組 = 1 * ROMAN I:可由向量組 = 2 * ROMAN II

57、:線性表示,則(A)當時,向量組 = 2 * ROMAN II必線性相關 (B)當時,向量組 = 2 * ROMAN II必線性相關(C)當時,向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關 (D)當時,向量組 = 1 * ROMAN I必線性相關(5)設有齊次線性方程組和,其中均為矩陣,現有4個命題: = 1 * GB3 若的解均是的解,則秩秩 = 2 * GB3 若秩秩,則的解均是的解 = 3 * GB3 若與同解,則秩秩 = 4 * GB3 若秩秩, 則與同解以上命題中正確的是(A) = 1 * GB3 = 2 * GB3 (B) = 1 * GB3 = 3 * GB3 (C) = 2 *

58、 GB3 = 4 * GB3 (D) = 3 * GB3 = 4 * GB3 (6)設隨機變量,則(A)(B)(C)(D) 三、(本題滿分10分)過坐標原點作曲線的切線,該切線與曲線及軸圍成平面圖形.(1)求的面積.(2)求繞直線旋轉一周所得旋轉體的體積.四、(本題滿分12分)將函數展開成的冪級數,并求級數的和.五 、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域,為的正向邊界.試證:(1).(2)六 、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時,需用汽錘將樁打進土層.汽錘每次擊打,都將克服土層對樁的阻力而作功.設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數為).汽錘第一次擊打將樁打進地下m.根據設計方

59、案,要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數.問(1)汽錘擊打樁3次后,可將樁打進地下多深?(2)若擊打次數不限,汽錘至多能將樁打進地下多深?(注:m表示長度單位米.)七 、(本題滿分12分)設函數在內具有二階導數,且是的反函數.(1)試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程.(2)求變換后的微分方程滿足初始條件的解.八 、(本題滿分12分)設函數連續(xù)且恒大于零,其中,(1)討論在區(qū)間內的單調性.(2)證明當時,九 、(本題滿分10分)設矩陣,求的特征值與特征向量,其中為的伴隨矩陣,為3階單位矩陣.十 、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為 , , .試證這三

60、條直線交于一點的充分必要條件為十一 、(本題滿分10分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品. 從甲箱中任取3件產品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件數的數學期望.(2)從乙箱中任取一件產品是次品的概率.十二 、(本題滿分8分)設總體的概率密度為 其中是未知參數. 從總體中抽取簡單隨機樣本,記(1)求總體的分布函數.(2)求統(tǒng)計量的分布函數.(3)如果用作為的估計量,討論它是否具有無偏性.2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線上與直線垂直的切線方程為