矩陣的秩的等式及不等式的證明

1、目錄第一章緒論 1第二章預備知識 236第五章用向量組秩的理論證明秩的等式和不等式 10第六章用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式 15第七章小結 23參考文獻 24致謝 25第一章緒論矩陣的秩是矩陣的一個重要特征，是矩陣理論中研究的一個重要內容，它具有許多的重 要性質.研究矩陣的秩對于解決矩陣的很多問題具有重要意義.矩陣的秩的等式及不等式的證明對于學習矩陣也是重點和難點，初學者在做這方面的題目往往不知如何下它仍然有著重要的研究價值，有關它的論文時見報端.很多國內外的有關數(shù)學書籍雜志對矩陣的秩都有講述，如蘇育才、姜翠波、張躍輝在矩陣論（科學出版社、2006 5 月出版7 月出版）也介紹了秩的一些性

2、質.但是對秩的等式及不本文通過查閱文獻資料，總結歸納出有關矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些 命題常用的證明方法，從向量組、線性方程組、線性空間同構、矩陣分塊、矩陣初等變換等 角度給出多種證明方法.主要內容有：（1）用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（2）用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；（3）用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（4）用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式問題.第二章預備知識定義 1 矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩； 矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩； 矩陣的行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩.定義 2 如果兩個向量組互相可以線性表出，它們就稱為

3、等價.定義 3 數(shù)域 P 上的矩陣的初等行（列）變換是指下列三種變換：P中的一個非零數(shù)乘以矩陣的某一行（列）；把矩陣的某一行（列）c倍加到另一行（列）；互換矩陣中兩行（列）的位置.4 sxn A k 行和k 列，位于這些選定的行列交叉點上的k2 k A k 級子式.5 A 為m n Ax=0 A 的零空間（即核空間）,記作 N（A）,即 N（A）=xAx=0.引理.引理 25 任意兩個等價的向量組必有相同的秩.3n A1|A#0.d=A=0,由A（1A*）=（9A*）A=E A 必要性：如果 A 可逆，那么有 A使 AA,=E.兩邊取列式，得|AA=E=1,因而 A#0.引理 4 川矩陣的秩是

4、r 的充要條件為矩陣中有一個r 級子式不為 0,同時所有的 r+1 級子式全為 0.引理 51如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那么（I）的秩不超過（II）的秩.證明：根據(jù)已知可知向量組（I）極大線性無關組可由（II）的極大線性無關組線性表出，根據(jù)向量組的基本性質（見參考文獻1）可得，向量組（I）極大線性無關組的向量個數(shù)不超過（II）的極大線性無關組的向量個數(shù)，即（I）的秩不超過（II）的秩.引理在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，并且基礎解系所含解的個數(shù)為 n-r,這里 r 表示系數(shù)矩陣的秩，n-r 也是自由未知量的個數(shù).第三章用矩陣的秩的理論證明秩的等式和不等式本章

5、主要是利用矩陣已知的秩的理論證明秩的等式和不等式問題，例如行秩等于列秩， 秩為 r 這些命題都是一些基本的命題.命題 3.1r(A)=r(AT).證明：由矩陣轉置的定義,AAT AAT1 r(A)=r(AT),命題證畢. 3.2r(kA)=r(A)(k#0).證明：kAA的行向量組線性表出，AkA的行向量組線kAA的行向量組等價.2kA A的秩相等，命題證畢.3.3Asn PSMS 可逆矩陣，Q Mn 可逆矩陣，那么rA=rPA=rAQ.證明：B=PA,由矩陣乘積的秩不超過各因子的秩可知 r(B)r(A),但是由A=P，A,又有 r(A)r(B).所以 r(A 戶 r(B 尸 r(PA).另一

6、個等式可以同樣地證明，命題證畢.jn,如 r(A)=n命題 3.4設 A 是一個 n 階方陣，則 r(A*)=1,如 r(A)=n-10,如 rA-n-2.證明：若r(A尸,由引理,知A可逆，A*=A，可逆，故r()=.r(A)=n-1,4,A n-1 0,A*#0,r(A*)1,又因AA*=|AE=0,r(A)+r(A)mn,r(A)nr(A)=1,r(A)=1.r(A)En-2,4,An-1 0,A=0,r(A*)=0.命題證畢.從這個命題可以得出 r(A 產(chǎn) r(A)的結論.3.53 A mxn A 的s t s：t 個元素按原來的相對位置構成 sxt 子矩陣 C,則 r(C)+m+n

7、之 r(A)+s+t.DAssxtCsr(DA的d+m-sMd+1D中.M D M D k d 3 全為零.因此任意一個大于 d+ms 階子式 M 必須等于零.由秩的定義，r(A)Er(D)+m-s.由行與列的對稱性類似地可推出 r(D)r(A)r(A2 r(Ai 0,in 是有限m rAm=rAm1.3.2 A,Bn 階方陣，En 階單位矩陣，證明rAB-ErA-ErB-E.證明：因為 AB-EE(A-E)+A(B-E),所以rAB-E=rA-EAB-ErA-ErAB-ErA-ErB-E.命題 3.7 設 A 為 n 階矩陣，證明：如果 A2=E，那么 r(A-E)+r(A-E)=n.證明：

8、因為(AEXA+E)=A2+AAE=EE=0,由命題 5.3 知r(A-E)+r(A-E)n.又 rA-ErAE_rAEA-E=r2A=rA而=，所以=1，即0,)=.因此r(A-E)+r(A-E)之 n.由，可得 r(AE)+r(AE 尸 n.例3.設A,B為n階方陣，且ABA=Br(E+A)+r(AB)=n.證明：因為 ABA=B,所以(ABj=E.由命題 3.7 知rABErAB-Ei-n(1)由 rEAB=rABE,rE-AB=rAB-E(2)由(1),(2)知有 r(E+AB)+r(EAB)=n 成立.3.4 A為n A2=A,r(A)+r(A-E)=n.證明：由 A2=A，可得 A

9、(AE)=0.r(A)+r(A-E)nE-AA-E有相同的秩，所以n=r(E 產(chǎn) r(A+E-A)Mr(A)+r(E-A)由，可得 r(A)+r(A-E 尸 n.第四章用線性空間的理論證明秩的等式和不等式本章主要是利用線性空間的維數(shù)公式，同構，直和分解，核與值域的一些性質和定理來 矩陣的聯(lián)系起來，是有一定的難度的.這其中要構造一些映射.4.1A設為nARnR(A)A的零空問(即核空間)N(A)Rn,r(Ar(A2).證明：根據(jù)引理 6,要證 r(A)=r(A2),只要證 AX=0 與 A2X=0 同解.AX=0 A2X=0 A2X=0 的任一解Y同時也是A2X=0 的解.AY#0,A(AY)=

10、0,AYWN(A).n另一方面，AY=y WRlA),i1TAr%,也,，.Y=(%。2,，yn)從而0=AYRA-NA,Rn=R(A)N(A)A2X=0 AX=0 的解，于是它r(A)=r(A2).4.2 Am矩陣，Bn=1Sylrester 公式:rA+rB-nrAB.Am矩陣，Bn 1 矩陣,設(的解空間分別為AB,B,A,則V=n-r(,X者聯(lián)系起來,方程組 BX=0作|VBL則它為A 的子空間，從而AY=0dim(BXXWVAB)WdimVA=n-r(A),又B 為AB 的子空間，作:AB二W一方面VAV=1-rAB：1-rB=rB-rAB下證 WJBXXVAB)定義|Wf=B易知這

11、個映射是單滿的，并且滿足線性運算條件，所以它是同構映射.dim=VAB但上面：dimBXXwVABWdimVA=n-r(A).因止匕 nr(A)之 r(B)r(AB),即 r(A)+r(B)-nm 矩陣，AB=BA.r(A+B r(A)+r(B)r(AB).證明：設 w1,w2,w3,w4 分別為 A,B,A+B,AB 行空間，那么dimw1=rA,dim 也=rB dimw3=rAB,dimw4=rAB由于 w3 三 w1+w2,并由維數(shù)公式得：dimdim(1+)=dim1+dim2m(02)即得：rABrArB-dimw1-w2(1)ABB的行向量的線性組合，w41w2 AB=BA,所以

12、有,4-WI,因此有4-WIC,所以有mWI-W2(2).將(2)代入(1)即得：r(A+B)證明：設方程組ABX=0與0 AB,VB.r(AB)=r(B),6 dim(VAB)=dim(VB) 又因為滿足0 解向量也滿足ABX=0AB5由可推出ABVB.r(ABC r(BC),ABCX=0 BCX=0 同解. 設方程組0 與0 VAB,B.顯然ABB,只要證C-C.由 ABCX=0 知 CXwVAB=VB,即 BCX=0,因此 VABC 三 VBC,命題得證.此例是一個有價值的結論.4.1n A滿足A2r(A)+r(A-E n.1*A2=A A1A0*I-J的對角陣，其中 1 的個數(shù)為(人)

13、,又-八與-人相似，從而有相同的秩，而1*E-4=1,0*I-J0 A的秩，1 n-r(A).所以rArE-A=rArE-AD=rAn-rA=0.充分性.只要證明對任意 X 均有 A2X=AX 即可.由 r(A)+r(E-A)=nt明，AXi=0 的解空間 Vi與(A)=0 的解空間y 滿足VV=X 存在唯一分解X=Xi+X2 其中 XiwV1X2-V2,所以A2X=A2X1X2=AAXAAX2=0AAX2=0X2=AX1AX2=AX1X2=AX綜上即證 A2=A.命題 4.5 設 A,B 分別是 mMm,mxn 矩陣，其中 A 為可逆矩陣，證明 r(AB)=r(B).證明：設 AB=Q,A=

14、(%,%,.,am),B=(Pi,p2,.,Pn),Q=ai/2,.,Yn),：則(I,，:飛尸：T),.,m)-2三審(.2廠。)一=n：A m,故可將(%,”,.,m)m 維線性空間的一組基， 則向量%,.,(在這組基下的坐標向量分別為1,%.,Pn.作l(Pi,P2,.,Pn),lJ2,.Jn),在這兩個線性空間中構造映射，將(工/,.,鬣)中的每個向量映射到在基(Qm)下的坐標向量，這個映射是一個同構映射，因此 1 出,尾,.,此),1。1 工,.,*)這兩個線性空間同構，所以0,.,)J,.J),dim(l(Bi,.,Bn)=r(B),dim(l0i,T2,.,Yn)=r(AB).r

15、(AB)=r(B).同理可證明當 B 為可逆矩陣時，r(AB)=r(A).這章主要是利用線性空間和線性變換的一些知識來證明矩陣的秩的等式和不等式命題， 聯(lián)系.第五章用向量組秩的理論證明秩的等式和不等式本章主要利用向量組的秩和極大線性無關組的一些知識，以及線性方程組的解空間的維數(shù)和系數(shù)矩陣的秩的關系來證明秩的等式和不等式.5.1 Amxn 矩陣,Bmpr(A)或r(B)4r(A：B)4r(A)+r(B).證明：(A，BABr(A)r(B r(AB下面證明r(0)r()+r(不妨設4人，r與j,j，B2 分別是A與B的列向量組的極大線性無關組，則(AE)的每個列向量均可用向量組線性表出，根據(jù)引理

16、5 可知AAAr，BjBjBjrABn 矩陣，r(A)r(Br(AB)Er(A)+r(B).證明：先證明 r(A+B)r(A)+r(B).設A=AA,AnB=Bi,B2,Bn,則AB=AiBi,A2B2,AnBn.不妨設AA，Ar與jBj，BjrA與B則有As=kiAik2A2krAs=i,2,n Bs=liBiil2Bi2lrBirAsBs=kiAik2A2r1AqliBiil2Bi2r2Bir2即 A+B 的列向量可以由 A1,A2，A/BjBj2，Bj.2 線性表出，由引理 5 知rABrAi,A2,A.,Bji,Bj2,Bj 七三 r1=rArB.再證明 r(A)_r(B)Mr(A+B

17、).由剛證明的結論 r(A+B 產(chǎn) r(A)+r(B)可知rA)=rABB 工 rABr：；-B=rABrB,移項得到rA-rB_rAB,同理可得 r(B)-r(A)r(A+B),因此 r(A)-r(BJr(A+B).綜上所述我們證明了 r(A)r(B)4r(A+B)r(A)+r(B),對于 r(A)-r(BJr(A-B)r(A)+r(B),只要把以上證明過程的 B 改成B 即可得證，命題證畢. 由命題 3.1r(A)=r(AT),命題 3.2r(kA 尸 r(A)(其中 k#0)和本命題可推知r(kA+舊戶 r(A)+r(B)(其中 kl#0).5.1 A,Bmn 矩陣,證明:r(A B)r

18、(Ar(A+B r(A 舊A=A，AB=旦旦,Bn,則A+B(B，+)(.)=(，,，).不妨設AA，ABjBjBjrA與BAskkkrArs=1,2,nBs=lM 曲 1 凡ABAkAkrA1舊1B3即A+BAA，ArBjBj，BjrAAAr，BjBBjr也是來自于(AB)的列向量組的向量，所以 A+B 的列向量也可以由(A 5可知5+8戶5七).對于5-8)61)，B改成B 即可得證，命題證畢.5.3 Ammn 矩陣，BnpAB=0,r(A)+r(B 產(chǎn)n.證明：設 B=(BI,B2,，Bp),則 AB=(ABi,AB2,，ABp)=0.ABi=AB2=ABp=0AX=0 pBi,B2,，

19、Bp.r(A r,6,Bi,B2,，Bp n-r 個解向量組成的基礎解系線性表出. 5 r(B)=n-r,r(A)+r(B)Mr+(n-r)=n,命題證畢.例 5.2A 是 mn 矩陣,則 r(ATA)=r(AAT)=r(A)=r(AT).證明：由命題 3.1 知 r(A)=r(AT).下面我們先證明 r(ATA)=r(A).只要證明 ATAX=0 與 AX=0 同解便可得到 r(ATA)=r(A).一方面，滿足 AX=0 解向量也滿足 ATAX=0;另一方面，由 ATAX=0 兩邊同時左乘 XT 得至XTATAX=0,即(AXT(AX)=0,&i、r：一一.T22.一一.一一一.設 AX=:

20、，那么(AX)(AX)=ki+kn=0,所以(=0(i=i,2，n),AX=0,滿足 ATAX=0 的解也滿足 AX=0.綜上所述 ATAX=0 與 AX=0 同解，解空間的維數(shù)相等，由系數(shù)矩陣的秩與線性方程解空間的維數(shù)之間的關系可知n-r(ATA)=n-r(A),r(ATA)=r(A).對 r(AAT)=r(AT)證明過程與此類似，所以 r(ATA)=r(AAT)=r(A)=r(AT),命題證畢. 例 5.3 證明：若線性方程組 AX=0 的解均為 BX=0 的解，則 r(A 戶 r(B).AX=0與0的解空間分別為VA,B,若線性方程組0的解均為的解，則VAVB,mdimVB根據(jù)引理 6

21、有 nr(A)Mnr(B),即 r(A 戶 r(B),命題得證.5.4 A 為mxn 矩陣，B nx1 ABX=0 與BX=0 同解的充分必要條件為rAB=rB.證明：設方程組ABX=,0 解空間分別為AB,B.必要性：若A=VBm(AB尸m(根據(jù)引理6可知n-rAB)=n-rB,可以推出 rAB=rB.充分性：若 r(AB)=r(B),則根據(jù)引理 6 知mVAB)=m(V)又因為滿足 BX=0 解向量也滿足 ABX=0,所以VABVB由可推出ABVB5.4 APnm Pm”r(AB)minr(A),r(B)即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩.證明：構造齊次線性方程組 ABX=0 與 BX=0,設

22、方程組 ABX=0 與 BX=0 的解空間分別為AB,B.顯然，滿足 BX=0 解向量也滿足 ABX=0,所以 VAB3VB,dim(VAB 盧 dim(VB),根據(jù)引理 6 知r(AB)r(B).BTATX=0 與ATX=0,r(BTAT)Mr(AT),即r(AB)r(A).綜上所述 r(AB 產(chǎn) minAr(B).此命題用歸納法可以推廣為：如果 A=AA勺那么秩(A)叫出秩(A)5.4 mn AX=0b+b2K2*,+bnxn=0 的解，其中AX=(Xi,X2,Xn),求證 r=r(A).H1b b2,bn/HAX=0Albb,，bn/X=0 同解，根據(jù)引理 6 它們的系數(shù)矩陣的秩相等，所

23、以 r第六章用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式本章主要是利用矩陣分塊的方法來證明矩陣的秩的等式和不等式，也包括矩陣分解的方法證明秩的等式和不等式，涉及到了矩陣的廣義初等變換和廣義初等矩陣.例6.設AP上m 矩陣，BP上s 矩陣，r(ABAminG(A),r(B),即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩.ana12a1m證明：設八= a21a22a2mb2b1s,B=b21b22b2sn1n2nmj1bmibm2bmsj令I，2,，m BG，,，n表示C=AB的行向量。由于i的第jm個分量和 0B1+ai2B2+amBm 的第j 個分量都等于aikbkj,因而 kmC a B a BB 1,2i= i1

24、1 i2 2am m =,E),即矩陣ABI,2,，n 可經(jīng)B的行向量組線性表出，所以AB的秩不超Br(AB)Er(B).同樣，令，m A的列向量,DI,，s 表示BDi=b1iAb2iA2bmiAm(i=12,s)AB 的列向量組可經(jīng)矩陣 A 的列向量組線性表出，所以 r(AB)Wr(A),也就是rAB 三 minrA,rB)；.6.2 A,Bn 階方陣，En 階單位矩陣，求證A-E證明：因為0B-E、B B-E 01AB-E0、0J-AB-E、B-EB-EB-E/rAB-ErA-ErB-E.=r(A-E)+r(B-E).因此 rAB-ErA-ErB-E.6.1 A,Bmxn r(AB)r(

25、A)+r(B). 證明：構造分塊矩陣A、0,對其施行用廣義初等變換可得切0)fAB)fAA+B)JTTAkBJ10BJ10Bj根據(jù)初等變換不改變矩陣的秩可以推出AA+BAi0Bi0A0、又由于i0=rAB由，即得rA_Br(A)+r(B),即=rEnr-AB=n-rAB.En0可推出iAnrAB 一 rArB.所以 rArB-nrAB.這個公式代數(shù)里稱為 Sylverster(薛爾佛斯特)公式.命題6.3設A,B分別為s,nm矩陣，則r(A)十r(B卜n=r(AB)的充要條件為A0、0B/-A證明：由EE【-B-ABY E-B0-AB根據(jù)矩陣秩的性質, 可以得到等式0、B=rABnA(A充分性

26、:=rArB-A0 r(AB)+n=r(A)+r(B),即LE0BjrArB-n=rAB.必要性：若 r(A)+r(B)-n=r(AB)則 r(AB)+n=r(A)+r(B),由可知綜上所述，命題得證.r=rA0)/A0)EB；、0B；6.3 A,Bs,nMm r(A)+r(B)-n=r(AB)的充分必要條件為存在矩陣 X,Y,使得 XA+BY=En.證明：由上一個命題可知 r(A)+r(B)-n=r(AB)的充要條件為fA0、/A0、/A0、/A0、r=r,那么我們只要證明 r=r 的充要條件為存在矩陣EBJ,0BJ 舌 BJ10B；X,Y,使得 XA+BY=En,即可完成本命題的證明.下面

27、就此進行證明充分性.En人EB人可知當 XA+BY=En 時，0YEAX0JA0Em 八 En-XA-BYB6.3E必要性.=rB)rArB-n=rAB.0設0;、 00其中 R,P2,Qi,Q2 均為可逆矩陣.R0A0Q10午 1A0YQ10PAQ10Er000000Es00000,A0QJRAQJRA10B 八 EB 八 0Q2、P2 耳 Bj10Q2 廠 EQ1E000、0000C1C2Es0對式（2）C1,C2,C3rArB-n=rAB,0P2BQ2,一A0、/A0、根據(jù)命題 6.3 有 rA0=rA0,因此式（1）,式（2）右端方陣秩相等，故EB；0B；在消去 G,C2,C3 時也消

28、去了 C4,對式（2）0F2J其中1=,Er00P2JQB 八 0Q210P2B 八 0Q210P2BQ2于是上述消去 G 的行變換相當于C0C，-C10VEr0十匕1分記為9C0C00A.00；0C4rC3C4/消去其余 C2,C3,C4 有類似的結果，這樣初等變換就相當于存在矩陣 S,T,使SF1+F2T+C=0,即 SPAQ1+BBQzT+PQ1=0,進行變形整理，從而有(ksA+(T)=E.令 X=P2SP,Y=-Q2TQ，便得到 XA+BY=En,命題得證.6.4 A,A2,，Ap n 階矩陣，A1A2Ap=0p個矩陣秩之和不大于(p-1.p個矩陣秩之和不大于(P-1)n.證明：由命

29、題 6.2 的 Sylverster(薛爾佛斯特)公式可得0=rA1A2Ap_rArA2Ap-n-rA1rA2rA3Ap-2n_-_rArArAp-p-1n,移項即得rAIrA2 廣一 rApEp-1n.例 6.4 設 A,B,C 依次為 sn,nm,m：t 的矩陣，證明rABC_rABrBC-rB.證明：設 r(B 產(chǎn) r,那么存在n 階可逆矩陣 P,m 階可逆矩陣Q,使得Er0把P,Q 適當分塊P=(MN ,其中M為nr矩陣，N為r父m矩陣. 由式有B=MS=MN.1000Jr(ABC r(AMNC)6.2 Sylverster(薛爾佛斯特)公式可得rABC=rAMNC-rAMrNC-r-

30、rAMNrMNC-rB=rABrBC-rB,從而 r(ABC 戶 r(AB)+r(BC)-r(B),命題得證.這個公式也稱為 Frobenius(佛羅扁尼斯)公式.6.5 BrMs 矩陣，Ar mr 的列滿秩矩陣(mAr),C s 的st 的行滿秩矩陣(ss 矩陣，證明rAB-CDrA-CrB-D.證明：根據(jù)分塊矩陣的乘法可知EmCyA-C0，名 BfA-CAB-CDr(AB-CD),0B-DJ從而得到 r(AB-CD)r(A-C)+r(B-D),命題得證.6.8 A,Bnxn AB=0,r(A)+r(B)4n.，BE、證明：構造分塊矩陣 BE,對其做初等變換0A)BE；rBE/BE0E、色EE、BE、可推出r_rArB),所以r(A)+r(B)n.0A000A,、0AJ1AB0廠、00J100Amn 矩陣，Bnxp AB=0,則r(A)+r(B)Wn,已經(jīng)在命題5.3 中用線性方程組的解空間的維數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的關系方法證明了.本命題只是