2014-2015年考研數(shù)學(xué)二真題及答案解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2014年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1) 當(dāng)時(shí)，若，均是比高階的無(wú)窮小，則的取值范圍是( )(A) (B) (C) (D) (2) 下列曲線中有漸近線的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)函數(shù)具有2階導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間上 （ ）(A) 當(dāng)時(shí)，(B) 當(dāng)時(shí)，(C) 當(dāng)時(shí)，(D) 當(dāng)時(shí)，(4) 曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的

2、曲率半徑是 （ ） (A)(B)(C)(D)(5) 設(shè)函數(shù)，若，則 （ ） (A)(B)(C)(D)(6) 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內(nèi)部具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則 （ ）(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B) 的最大值和最小值都在的內(nèi)部上取得(C) 的最大值在的內(nèi)部取得，最小值在的邊界上取得(D) 的最小值在的內(nèi)部取得，最大值在的邊界上取得(7) 行列式 （ ）(A) (B) (C) (D) (8) 設(shè)均為3維向量，則對(duì)任意常數(shù)，向量組線性無(wú)關(guān)是向量組線性無(wú)關(guān)的 （ ）(A) 必要非充分條件(B) 充分非必要條件(C) 充分必要條件(D) 既非充分也非必要條件二、填空題：91

3、4小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(9) _.(10) 設(shè)是周期為的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則 _.(11) 設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則_.(12) 曲線的極坐標(biāo)方程是，則在點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程是_.(13) 一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上,若其線密度,則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)_.(14) 設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1，則的取值范圍為_(kāi).三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)求極限(16)(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值與極小值.(17)(本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域計(jì)算

4、.(18)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，若，求的表達(dá)式.(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)的區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，.證明：(I),(II).(20)(本題滿分11分) 設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，記是由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積，求極限.(21)(本題滿分11分)已知函數(shù)滿足，且求曲線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.(22)(本題滿分11分) 設(shè)矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(II)求滿足的所有矩陣.(23)(本題滿分11分) 證明階矩陣與相似.2014年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每

5、題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1) 當(dāng)時(shí)，若，均是比高階的無(wú)窮小，則的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】由定義 所以，故.當(dāng)時(shí)，是比的高階無(wú)窮小，所以，即. 故選B(2) 下列曲線中有漸近線的是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】關(guān)于C選項(xiàng)：.，所以存在斜漸近線.故選C(3) 設(shè)函數(shù)具有2階導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間上 （ ）(A) 當(dāng)時(shí)，(B) 當(dāng)時(shí)，(C) 當(dāng)時(shí)，(D) 當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】令，則,.若，則，在上為凸的. 又，所以當(dāng)時(shí)，從而. 故選D.(4) 曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的曲率

6、半徑是 （ ）(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】故選C(5) 設(shè)函數(shù)，若，則 （ ）(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選D.(6) 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內(nèi)部具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則 （ ）(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B) 的最大值和最小值都在的內(nèi)部上取得(C) 的最大值在的內(nèi)部取得，最小值在的邊界上取得(D) 的最小值在的內(nèi)部取得，最大值在的邊界上取得【答案】A【解析】記則,所以在內(nèi)無(wú)極值，則極值在邊界處取得.故選A(7) 行列式 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】由行列式的展開(kāi)定理展開(kāi)第一列 .(8) 設(shè)均為三維

7、向量，則對(duì)任意常數(shù),向量組,線性無(wú)關(guān)是向量組線性無(wú)關(guān)的 ( )(A)必要非充分條件(B)充分非必要條件 (C)充分必要條件(D)既非充分也非必要條件【答案】A【解析】. 記，. 若線性無(wú)關(guān)，則，故線性無(wú)關(guān). 舉反例. 令，則線性無(wú)關(guān)，但此時(shí)卻線性相關(guān). 綜上所述，對(duì)任意常數(shù)，向量線性無(wú)關(guān)是向量線性無(wú)關(guān)的必要非充分條件. 故選A二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(9) _.【答案】【解析】(10) 設(shè)是周期為的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則 _.【答案】1【解析】且為偶函數(shù)則又且為奇函數(shù)，故又的周期為4，(11) 設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則_.【答案】【解析】對(duì)方程兩

8、邊同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)當(dāng)時(shí),故故(12) 曲線的極坐標(biāo)方程是，則在點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程是_.【答案】【解析】由直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系 ，于是對(duì)應(yīng)于切線斜率 所以切線方程為即(13) 一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上,若其線密度,則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)_.【答案】【解析】質(zhì)心橫坐標(biāo)(13) 設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)是1，則的取值范圍_.【答案】【解析】配方法：由于二次型負(fù)慣性指數(shù)為1，所以，故.三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)求極限【解析】.(16)(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值與極小值

9、.【解析】 由，得 = 1 * GB3 此時(shí)上面方程為變量可分離方程，解的通解為 由得 又由 = 1 * GB3 可得 當(dāng)時(shí)，且有：所以在處取得極小值，在處取得極大值即：的極大值為1，極小值為0.(17)(本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域計(jì)算.【解析】D關(guān)于對(duì)稱，滿足輪換對(duì)稱性，則：(18)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，若，求的表達(dá)式.【解析】由，由 ，代入得，即，令得特征方程 得齊次方程通解設(shè)特解，代入方程得，特解則原方程通解為由，得, 則.(19)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明：（I）,（II）.【解析】（I）由積分中值定理，（II）直接由，得到（II

10、）令由（I）知 又由于單增，所以單調(diào)不減，取，得，即（II）成立.(20)(本題滿分11分) 設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，記是由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積，求極限.【解析】(21)(本題滿分11分) 已知函數(shù)滿足，且求曲線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.【解析】因?yàn)?所以其中為待定函數(shù).又因?yàn)閯t，從而.令可得，當(dāng)時(shí)，或，從而所求的體積為(22)(本題滿分11分) 設(shè)矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(II)求滿足的所有矩陣.【解析】 , (I)的基礎(chǔ)解系為(II)的通解為的通解為的通解為（為任意常數(shù)）(23)(本題滿分11分) 證明階矩陣與相似.【解析】已知，則的特

11、征值為，(重).屬于的特征向量為；，故基礎(chǔ)解系有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，即屬于有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；故相似于對(duì)角陣.的特征值為，(重)，同理屬于有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故相似于對(duì)角陣.由相似關(guān)系的傳遞性，相似于. 2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案解析選擇題：（18小題,每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。）(1)下列反常積分中收斂的是(A)2+1(C)2+1【答案】D。【解析】題干中給出4個(gè)反常積分，分別判斷斂散性即可得到正確答案。 2+ 2+ 2+ 2 =2 因此(D)是收斂的。綜上所述，本題正確答案是D。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積

12、分學(xué)反常積分 (2)函數(shù)fx=limt0(1+ (A)連續(xù) (B)有可去間斷點(diǎn)(C)有跳躍間斷點(diǎn) (D)有無(wú)窮間斷點(diǎn) 【答案】B 【解析】這是“1”型極限，直接有 =e fx在x且limx0fx=limx0ex 綜上所述，本題正確答案是B。 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)兩個(gè)重要極限(3)設(shè)函數(shù)fx=x(A)-(C)-【答案】A【解析】易求出 f再有 于是，f(0)存在1當(dāng)1時(shí)， limx0因此，fx在x=0連續(xù)-綜上所述，本題正確答案是C。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)的左極限和右極限(4)設(shè)函數(shù)f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)，其f二階導(dǎo)函數(shù)f則曲線y=f(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)

13、為AOB (A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C【解析】f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)，除點(diǎn)x=0外處處二階可導(dǎo)。 y=f(x)的可疑拐點(diǎn)是ffx的零點(diǎn)有兩個(gè)，如上圖所示，A點(diǎn)兩側(cè)f(x)恒正，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不是y=fx拐點(diǎn)，B點(diǎn)兩側(cè)雖然f0不存在，但點(diǎn)x=0兩側(cè)f(x)異號(hào)，因而(綜上所述，本題正確答案是C?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)單調(diào)性，曲線的凹凸性和拐點(diǎn)(5)設(shè)函數(shù)f(,)滿足fx+y,yx= (A)12,0(C)-12【答案】D【解析】先求出f令于是 f因此f f綜上所述，本題正確答案是D。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)-多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(6)設(shè)D是第一象限中由曲線

14、2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=3x (A) (B) (C) (D) 【答案】 B 【解析】D是第一象限中由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=3x 圍成的平面區(qū)域，作極坐標(biāo)變換，將D D的極坐標(biāo)表示為 因此 D 綜上所述，本題正確答案是B。 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的計(jì)算。(7)設(shè)矩陣A=11112a14a2, (A)a,d (C)a,d 【答案】D 【解析】Ax=b 有無(wú)窮多解r A是一個(gè)范德蒙德行列式，值為a-1(a-2),如果a， A0，rA=3， 類似的，若d，則rAb= 當(dāng)a,d時(shí)，rAb 綜上所述，本題正確答案是D?！究键c(diǎn)】線

15、性代數(shù)-線性方程組-范德蒙德行列式取值，矩陣的秩，線性方程組求解。(8)設(shè)二次型f(x1,x2,x3)在正交變換x x=Qy (A) 2y1 (C) 2y1 【答案】A 【解析】設(shè)二次型矩陣為A,則 P 可見(jiàn)e1,e2,e3都是 Q 因此在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)二次型為 綜上所述，本題正確答案是A?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)-二次型-矩陣的秩和特征向量，正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。二、填空題：(914)小題，每小題4分，共24分。(9)設(shè)x=acrtant , 【答案】48 【解析】由參數(shù)式求導(dǎo)法 dy 再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 d2y =12t(1+ 綜上所述，本題正確答案是48。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)-一元

16、函數(shù)微分學(xué)-復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(10)函數(shù)fx= 【答案】n 【解析】 解法1 用求函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式在此處鍵入公式。 f 其中Cnk= f f 因此f 解法2 利用泰勒展開(kāi) f = 由于泰勒展開(kāi)系數(shù)的唯一性，得ln 可得f 綜上所述，本題正確答案是n 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)高階導(dǎo)數(shù)，泰勒展開(kāi)公式(11)設(shè)函數(shù)fx連續(xù)，x=0 x f 【答案】2 【解析】改寫(xiě)x 由1=1=01 可得f 綜上所述，本題正確答案是2 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)變限積分函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(12)設(shè)函數(shù)y=yx是微分方程y+ yx取得極值3，則y 【答案】e 【解析】求yx y 由特征方程2+ 是得

17、通解 y= 又已知 C 綜上所述，本題正確答案是e 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)常微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程(13)若函數(shù)z=z(x,y)由方程e d 【答案】- 【解析】 先求z(0,0) ，在原方程中令x=0,y=0 e3z=1 方程兩邊同時(shí)求全微分得 e 令x=0,y=0 dx+2dy+3dz d 綜上所述，本題正確答案是- 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)-隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(14)設(shè)3階矩陣A的特征值為2,-2,1，B=A2-A+E 階單位矩陣，則行列式|B|= 【答案】 21 【解析】 A的特征值為2,-2,1,則B的特征值對(duì)應(yīng)為3,7,1 所以|B|=21 【考點(diǎn)】線性代數(shù)行列式行列

18、式計(jì)算線性代數(shù)矩陣矩陣的特征值三、解答題：1523小題，共94分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。(15)設(shè)函數(shù)fx=x+aln1+x+bxsinx,gx=kx 【解析】利用泰勒公式 f = = 當(dāng)x0時(shí)，fx 【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)無(wú)窮小的比階，泰勒公式(16)設(shè)A0，D是由曲線段y=Asinx(0 x 圍成的平面區(qū)域，V1,V2分別表示D繞x軸與繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。若 【解析】 V 由A0可得 V =-2A =-2A =2A又 V1=【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)定積分的應(yīng)用(17)已知函數(shù)f f 求fx,y的極值 【解析】由 fxy f又已知 fx e得x f對(duì)x積分得 f又f0,y=所以f于是fyx,y fyy令fxA=fxxC=f由于B2-AC【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)二元函數(shù)的無(wú)條件極值(18)計(jì)算二重積分Dx(x+y)dxdy其中D=【解析】因?yàn)閰^(qū)域