數(shù)列與不等式課件

1、數(shù)列1、復(fù)習(xí)數(shù)列的概念2、復(fù)習(xí)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的研究方法3、復(fù)習(xí)數(shù)列的通項公式的研究方法一、有關(guān)概念1、數(shù)列 2、數(shù)列的分類：1）按項數(shù) 2）按項的數(shù)值性質(zhì)3、數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的研究： 1) 單調(diào)性的研究最值問題（不等式恒成立） 2)周期性的研究 課本77頁2注意：數(shù)列與實數(shù)集函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別例、已知數(shù)列an=an2+2n-3當(dāng)n3時是單調(diào)遞減數(shù)列，則a的取值范圍為_.課本79頁例3、變式4、數(shù)列的通項公式的研究：基本模式與方法：1)觀察猜想法：四種基本猜想方法 課本78頁例12)公式法3)差（商）分法：形如：an+1-an=f(n),an+1=f(n)an,Aan+1+Ban+C=0 例、已知數(shù)

2、列中，a1=1,(1)3n+1(an+1-an)=1 ,則an= (2) an+1=an+ ,則an= ;(3)an+1=an2n,則an=_4)消去法(特例：Sn法) 注意起始項形如： b1a1+b2a2+bnan =f(n) (bn為已知數(shù)列)a1b1a2b2anbn =f(n) (bn為已知數(shù)列)課本78頁例2例、5)、構(gòu)造新數(shù)列待定系數(shù)構(gòu)造：形如Aan+1+Ban+f(n)=0(f(n)為n的多項式）迭代或取對數(shù) ：形如Aan+1=Bank 例求an例：已知非零整數(shù)數(shù)列an中，a1=1,對任意自然數(shù)m,k,都有-1am+am+1+am+k1，求an例：已知a1=0.5,a2=0.8,a

3、n0且對任意滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q 都有求an課本89頁例1等差、等比數(shù)列復(fù)習(xí)等差、等比數(shù)列的定義及其性質(zhì)一、等差、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)等差數(shù)列1、定義：(判斷數(shù)列為等差數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)）an+1-an=d（d是與n無關(guān)的常數(shù)）課本81頁例12、有關(guān)公式：an=a1+(n-1)d=am+(n-m)dan=kn+b對任意nN*點(n,an) 在同一直線上單調(diào)性：等比數(shù)列1、定義：(判斷數(shù)列為等比數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)）（q是與n無關(guān)的常數(shù)）課本83頁6、例12、有關(guān)公式： an=a1q(n-1) =amq(n-m)an=Aan若an0,則數(shù)列l(wèi)gan是等差數(shù)列單調(diào)性：例1 已知數(shù)列an和bn滿足

4、：a1=,3an+1=2an+3n-12,bn=(-1)n(an-3n+21)其中為實數(shù)，n為正整數(shù).（）對任意實數(shù)，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；（）試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；例2、設(shè)數(shù)列an的前項和為Sn，已知ban-2n=(b-1)Sn證明：當(dāng)b=2時，an-n2n-1是等比數(shù)列；等差數(shù)列等比數(shù)列等差數(shù)列4、派生等差數(shù)列1)、若tn 、an皆為等差數(shù)列，則atn)、Atn+Ban等都為等差數(shù)列2)若an為等差數(shù)列，則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,、 Sn,S3n-S2n,S5n-S4n, 、等皆為等差數(shù)列5、等差數(shù)列的對稱設(shè)法 6、基本思想方法統(tǒng)一變量、相加、相減等

5、差數(shù)列4、派生等比數(shù)列1)、若tn 、an皆為等比數(shù)列，則atn)、AtnBan等都為等比數(shù)列2)若an為等比數(shù)列，則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,、 Sn,S3n-S2n,S5n-S4n, 、等，當(dāng)這些數(shù)都不為零時皆為等比數(shù)列5、等比數(shù)列的對稱設(shè)法 6、基本思想方法統(tǒng)一變量、相乘、相除二、應(yīng)用1、項與項、和與和、項與和之間關(guān)系(基本思想:基本量；下標(biāo)特點）：知三求二(a1,an,n,d(q),Sn,)、利用下標(biāo)特點.條件特點：給出兩項（某一項和某組項的（積)和、兩組項的和(積)）的值例：1)a1+an=66,a2an=128,可求什么？如何添加條件可求其它值？a1,an 改為S1、Sn

6、又怎樣？2)a1+a4+a7+a10=39,a2+a5+a8+a11=33,a3+a6+a9+a12=_3)若 an是等差數(shù)列，其前n項和為 Sn，若a6=12a3,則S7+S9:S4+S8=_2、兩個數(shù)列之間的關(guān)系問題1)已知數(shù)列an、bn皆為等差數(shù)列，其前n項和分別為Sn,Tn,Sn:Tn=(2n+1) : (n+3),則a7:b7=_;(a3+a8):( b4+b7)=_;(a3+a4+a14) : (b2+b7+b12)=_;還可如何改動？2)已知數(shù)列 an是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，bn是首項、公比都為3的等比數(shù)列，則這兩數(shù)列的公共項按由小到大排列后所成的新數(shù)列的通項公式為_4)

7、Sn為等差數(shù)列an的前n項和，a12=8,S9=-9,則 S16=_.3、等差、等比數(shù)列的最值問題基本方法：單調(diào)性、圖像 例、若 an是等差數(shù)列，首項a10 ，a2007+a20080,a2007a20080成立的最大自然數(shù)n是:_例、設(shè)點An(xn，0)，和拋物線：yx2an xbn(nN*)，其中an24n21-n，xn由以下方法得到： x11，點P2(x2，2)在拋物線C1：yx2a1xb1上，點A1(x1，0)到P2的距離是A1到C1上點的最短距離，點Pn+1(xn+1,2n)在拋物線Cn：yx2an xbn上，點An(xn，0)到點Pn+1的距離是An 到 Cn上點的最短距離 ()求

8、x2及C1的方程 ()證明xn是等差數(shù)列求和復(fù)習(xí)求和的基本方法：公式法、錯位相減法、裂項法、數(shù)學(xué)歸納法一、基本方法：關(guān)鍵是研究所求數(shù)列的通項公式1、公式法：課本86頁3、 例1、并項求和例通項公式特點：幾個常用公式：1)、等差、等比數(shù)列前n項和公式2、錯位相減法： 課本87頁例2 通項公式特點：3、裂項求和 課本86頁1，6；87頁例3；通項特點：注意：1、以上特點通常也是放縮法放縮的目標(biāo)之一.2、根據(jù)裂項的本質(zhì)有些裂項可用先猜后裂的方式例、已知a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖像上，且 求數(shù)列bn的前n項和4、倒序求和等課本88頁例4、拓展例、已知數(shù)列an是首項為2

9、，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列abn的前n項和Sn .數(shù)列應(yīng)用題復(fù)習(xí)與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用題的基本處理方法一、基本題型與方法1、等差數(shù)列型 ：單利（等量增加）問題例1、某農(nóng)場用若干臺相同型號的聯(lián)合收割機(jī)收割一片土地，若同時投入需用24小時；但它們是每隔相同的時間順序投入工作，每臺投入工作后都一直工作到收割完畢，如果第一臺收割的時間是最后一臺的5倍，用這種方法收割這片土地需多少時間？40例2、有200根鋼管，將其中一些堆放成橫截面為正三角形的垛，要求剩余的根數(shù)盡可能少，這時剩余的鋼管有多少根？102、等比數(shù)列型：復(fù)利、平均增長率(等倍增加）問題例1、(1)某工廠產(chǎn)

10、量，第二年比第一年增長10%，第三年比第二年增長25%，第四年比第三年增長15%，求該工廠在這四年的平均增長率. (2)某工廠的產(chǎn)值的月平均增長10%，求該工廠的年平均增長率.例2、某藥物在人體內(nèi)的清除速率與該藥物在體內(nèi)的藥量成正比，一天大約有10%的藥量被清除.若每天服用0.125毫克，連服90天，問最后一次服藥24小時后，人體內(nèi)的藥物總殘留量是多少？1.249153、等差、等比型例、某工廠制定三年計劃，計劃從第二年起每年比上一年增長的產(chǎn)值相同，三年的總產(chǎn)值為300萬元.若第一年、第二年、第三年分別比原計劃的產(chǎn)值增加10萬元、10萬元、11萬元，則每年比上一年的產(chǎn)值增長的百分率相同，求原計劃

11、中每一年的產(chǎn)值. 90、100、1104、雙變型例、某沙邊城2004年底全縣的綠地面積占全縣面積的30%，從2005年起，該縣每年將有16%的原沙漠地帶變成綠地，但同時又有4%的原有綠地面積被侵蝕變成沙漠.設(shè)全縣面積為1，記04年底的綠地面積為a1,經(jīng)過n年后的綠地面積為an+1.(1)試用an表示an+1(2)求證：數(shù)列an-0.8為等比數(shù)列(3)哪一年底，該縣的綠地面積超過全縣面積的60%？08例3.學(xué)校飯?zhí)妹刻旃?yīng)1000名學(xué)生用餐,每星期一有兩樣菜A,B可供選擇（每人選一樣），調(diào)查資料表明，凡在星期一選A菜的，下星期一會有20%改選B，而選B的，下星期一則有30%改選A，若用An、Bn

12、表示第n個星期一分別選A,B的人數(shù).(1)試用An、Bn表示An+1(2)求An 、Bn An=(0.5)n-1(A1-600)+600 例1、用磚砌墻第一層（底層）用去了全部磚塊的一半多一塊，第二層用去了剩下的一半多一塊，依次類推，每一層都用去了上次剩下的磚塊的一半多一塊，如果到了第十層恰好把磚塊用完，求原來全部磚塊的數(shù)目.2046例2、設(shè)有A,B兩個容器，A中盛有濃度為10%的鹽水100克，B中盛有濃度為5%的鹽水100克，今從兩容器中各取出等量溶液倒入對方容器中，攪勻后，再從兩容器中各自等量溶液倒入對方容器中，這時A中鹽水的濃度為8.4%，若兩次取出的量不變且在50克以下，問每次從兩容器

13、中各取出多少克鹽水？最后B中鹽水的濃度是多少？20206.6%例3、某種茶樹至少要培植兩年，從第三年起才可以開始采茶，試驗表明，這種茶樹在第五年時茶葉的產(chǎn)量最大，以后每年都比上一年減產(chǎn)10%，在相同條件下，采用下三種方案采茶：1.從第三年開始采茶，第三年的產(chǎn)量為60克，第四年的產(chǎn)量為90克，第五年的產(chǎn)量為135克，2.從第四年開始采茶，第四年的產(chǎn)量為100克，第五年的產(chǎn)量為150克，3.從第五年開始采茶，第五年的產(chǎn)量為165克，問(1)哪一種方案效益最大？要使效益最大這種茶樹需多少年更換一次？（0.950.59； 0.960.53； 0.970.48;0.98=0.43) 2,10例4、有三個

14、木樁，把n個圓盤按照由小到大的尺寸穿在一個木樁上，最大的在下面，打算一次搬動一個地搬動這些圓盤，使它們從這個木樁移動到另一個上，并規(guī)定任何時候都不允許把較大的圓盤放在較小的圓盤的上面，要完成這個轉(zhuǎn)移至少要搬運(yùn)多少次？(2n-1不等式復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)、回顧利用不等式性質(zhì)比較大小及研究范圍的一些基本方法一、基本內(nèi)容：1、實數(shù)基本性質(zhì)：實數(shù)的三岐性2、不等式的基本性質(zhì)：1)對稱性 2)傳遞性 3)可加性 4)可乘性注意：等價性的研究3、常用推論4、基本不等式二、基本問題與方法1、比較大?。夯痉椒ǎ?)比較法：（作差：作差后因式分解或配方；作商：作商后化為指數(shù)式或最簡分式）2)函數(shù)法：抓住定量與變量

15、轉(zhuǎn)為函數(shù)值的大小問題，用函數(shù)單調(diào)性解決3)用基本不等式及相關(guān)結(jié)論應(yīng)用舉例 課本92頁6；93頁例2；100頁6例1、比較1+logx3與2logx2的大小例2、1)已知a,b 是正實數(shù)，求證： 2)已知 求證：xsinx+cosxx+ln(-x)2、利用不等式性質(zhì)求范圍基本方法：1)利用不等式性質(zhì)2)選定自變量構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性3)利用基本不等式4)利用線性規(guī)劃（區(qū)域）注意：變形過程中的等價性及整體代入的思想課本93頁例3；94頁變式例、1)已知2a4,3bb0，則 的最小值為_2)、代入變形： 101頁 例2例：已知a,b為正數(shù)，且a+2b+ab=3,求a+2b 的最小值例*、 的最小值

16、為_ 例.已知 證明：3)、見積拆和例、1)已知正數(shù)x、y，2x+y=3，則x3y2的最大值為_;2) 已知正數(shù)x、y，x2y4=3，則x+3y的最小值為_;xy+y的最小值為_注意：導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用例、課本101頁例3解不等式復(fù)習(xí)一、二次不等式的解集的代數(shù)特點與幾何特點、復(fù)習(xí)高次、分式、絕對值不等式的解集的研究方法一、基本內(nèi)容1、一元一次不等式的解集特點1)代數(shù)特點 2)幾何特點2、二元一次不等式的解集特點1)代數(shù)特點 2)幾何特點注意：首項系數(shù)為字母時應(yīng)注意分類(a0a=0a|g(x)|型3)、數(shù)型結(jié)合型6、其他：如指數(shù)、對數(shù)不等式注：解不等式有時可用函數(shù)單調(diào)性二、基本題型與方法1、解常系數(shù)不

17、等式 |x-2|+|4-3x|2x-1 2x3-3x2+10二、解含參數(shù)不等式 課本96頁例2例、解不等式ax2-2x+a0小結(jié)：通常通過不等式類型和同解變形過程來確定分類標(biāo)準(zhǔn) 例、解下列不等式三、已知不等式的解集特點討論參數(shù)范圍課本96頁例4；97頁變式一般利用相關(guān)不等式的幾何特征（函數(shù)與圖像）注意：1、不等式f(x)m在a,b上恒成立可轉(zhuǎn)化為f(x)在a,b上的最小值大于m;2、不等式f(x)m在a,b上能成立(有解)可轉(zhuǎn)化為f(x)在a,b上的最大值大于m;等（注意上面等號問題）3、多變量問題選取變量的原則. 例、1)已知不等式|2x-4|+|4x+8|+|x-2|a有解求a 的取值范圍

18、 2)已知不等式|2x-3|+|4x+1|+|x-a|3有解求a 的取值范圍二元一次不等式與區(qū)域復(fù)習(xí)區(qū)域的定義與畫法復(fù)習(xí)簡單的線性規(guī)劃的基本研究方法一、基本內(nèi)容1、二元一次不等式與區(qū)域區(qū)域的基本研究方法：1)代點法 2)定變量函數(shù)法注意：二元高次不等式表示的區(qū)域的研究方法： 因式分解或配方轉(zhuǎn)為一次問題或轉(zhuǎn)為基本曲線類問題 2、目標(biāo)函數(shù)與最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)的基本模式：線性型ax+by+c;距離型(x-a)2+(y-b)2、|ax+by+c|; 斜率型二元函數(shù)型 如ax3+bxy+cy等3、應(yīng)用題：簡單線性規(guī)劃基本步驟： 二、基本問題1、區(qū)域問題：包括給條件畫區(qū)域；給區(qū)域?qū)憲l件 課本97頁1，3，4；

19、98頁例1例已知 （x+3y,x-y+1)的所在范圍2、最優(yōu)解問題 課本97頁2；98頁5，6，例299頁例4，變式3、整點問題 4、應(yīng)用問題 課本93頁例1；99頁例3不等式的應(yīng)用復(fù)習(xí)與不等式、最值有關(guān)的應(yīng)用題的研究方法例1、用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板，從第二次起，每次釘入木板的釘子長度都是上一次的k倍（0ka-1) ,用y單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是 ,其中c(0.8c0.99)是該物體初次清洗后的清潔度.()分別求出方案甲以及c=0.95時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;()若采用方案乙,當(dāng)a為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論a取不

20、同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響. 已知 （ ）是曲線 上的點， ， 是數(shù)列 的前n項和，且滿足 ， ，n=1,2,3,（I）證明：數(shù)列 （n2 ）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定a的取值集合M，使aM時，數(shù)列 是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng) aM時，弦 的斜率隨n單調(diào)遞增例、已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是它的前n項和1、a1=2，公比q=0.5，已知c是不大于3的正數(shù)，若對任意的正整數(shù)k都有 成立，求c的取值范圍2、是否存在正常數(shù)m，使得lg(Sn-m)+lg(Sn+2-m)=2lg(Sn+1 m)成立，并給以證明. 不等式證明比較法、分析法、綜合法 課本105頁6；106頁例1，例2不等式證明放縮法、構(gòu)造法（函數(shù)、方程）應(yīng)用舉例：1、函數(shù)法（單調(diào)性）例：已知0ab,求證：0alna+blnb-(a+b)ln(a+b)+2ln2(b-a)ln22、做差法例、已知數(shù)列an的首項a1=5, 前 項和為Sn ，且Sn+1=Sn+n+5 令 ，若函數(shù)f(x)在點x=1 處的導(dǎo)數(shù)為 ，比較2 與 的大小.3、遞推法例、已知數(shù)列an滿足a1=a, an+1=1+ 我們知道當(dāng)a取不同的值時，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時，得到無窮數(shù)列： （）求當(dāng)a為何值時a4=0；（）設(shè)數(shù)列bn滿足b