積分變換第講拉氏逆變換

1、積分變換第講拉氏逆變換第1頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五拉氏逆變換第2頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五前面主要討論了由已知函數(shù)f(t)求它的象函數(shù)F(s), 但在實際應用中常會碰到與此相反的問題, 即已知象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù)f(t). 本節(jié)就來解決這個問題.由拉氏變換的概念可知, 函數(shù)f(t)的拉氏變換, 實際上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏變換. 第3頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五因此, 按傅氏積分公式, 在f(t)的連續(xù)點就有等式兩邊同乘以ebt, 則第4頁，共40頁，2022年，5月20日，11

2、點51分，星期五右端的積分稱為拉氏反演積分, 它的積分路線是沿著虛軸的方向從虛部的負無窮積分到虛部的正無窮. 而積分路線中的實部b則有一些隨意, 但必須滿足的條件就是e-btf(t)u(t)的0到正無窮的積分必須收斂. 計算復變函數(shù)的積分通常比較困難, 但是可以用留數(shù)方法計算.第5頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五定理 若s1, s2, ., sn是函數(shù)F(s)的所有奇點(適當選取b使這些奇點全在Re(s)b的范圍內(nèi)), 且當s時, F(s)0, 則有第6頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五什么叫一個復變函數(shù)f(s)的奇點?那就是此函數(shù)沒有定義的點

3、, 或者說是取值無窮大的點.例如函數(shù)在0, 2, -3處有三個奇點, 可記為s1=0, s2=2, s3=-3復習：第7頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五假設(shè)s0是f(s)的一個奇點, 則f(s)總可以在s0處展開為羅朗級數(shù), 形式為:其中-1次方項(s-s0)-1的系數(shù)c-1就稱為f(s)在s0點處的留數(shù), 記作Resf(s),s0=c-1或第8頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五圍繞著f(s)的奇點s0的附近繞一圈環(huán)的積分就等于其中C是只圍繞s0轉(zhuǎn)一圈的任意閉合曲線.第9頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五如果函數(shù)f(s)

4、有s1,s2,.,sn共n個奇點, 閉合曲線C包圍了這n個奇點, 則實軸虛軸s1s2s3留數(shù)定理第10頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五定理的證明 作下圖, 閉曲線C=L+CR, CR在Re(s)0時, 有第12頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五最常見的情況, 是函數(shù)F(s)是有理函數(shù), 即其中A(s)和B(s)是不可約的多項式, B(s)的次數(shù)是n, A(s)的次數(shù)小于B(s)的次數(shù), 這時F(s)滿足定理所要求的條件.第13頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五如果一元n次方程B(s)=0只有單根, 這些單根稱作B(s)的

5、一階零點, 也就是第14頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五一階極點處留數(shù)的求法第15頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五第16頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五第17頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五如方程B(s)=0有一個二重根s1, 稱s1為B(s)的二階零點, 也是F(s)est的二階極點, 這時F(s)est在s=s1處可展開為羅朗級數(shù), 其形式為:第18頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五m階極點處留數(shù)的求法？第19頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星

6、期五第20頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五還可以用部分分式和查表的辦法來求解拉氏反變換. 根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)以及第21頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五第22頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五最后得第23頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五卷積第24頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五1. 卷積的概念 在第一章討論過傅氏變換的卷積的性質(zhì). 兩個函數(shù)的卷積是指如果f1(t)與f2(t)都滿足條件: 當t0時, f1(t)=f2(t)=0, 則上式可以寫成第25頁，共40頁，202

7、2年，5月20日，11點51分，星期五今后如不特別聲明, 都假定這些函數(shù)在t0時恒等于零, 它們的卷積都按(2.20)式計算tOf1(t)f2(t)tOf1(t)f2(t-t)t第26頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五按(2.20)計算的卷積亦有|f1(t) * f2(t)|f1(t)| * |f2(t)|,它也滿足交換律: f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t)同樣, 它還滿足結(jié)合律與對加法的交換律, 即 f1(t) * f2(t) * f3(t) = f1(t) * f2(t) * f3(t) f1(t) * f2(t) + f3(t)= f1(

8、t) * f2(t) + f1(t) * f3(t)第27頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五第28頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五例1 求t * sin t第29頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五卷積定理假定f1(t), f2(t)滿足拉氏變換存在定理中的條件, 且L f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s), 則 f1(t) * f2(t)的拉氏變換一定存在, 且第30頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五t=ttOt第31頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五由于二重積分絕對可積, 可以交換積分次序令t-t=u, 則第32頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五不難推證, 若fk(t)(k=1,2,.,n)滿足拉氏變換存在定理中的條件, 且L fk(t)=Fk(s) (k=1,2,.,n)則有 L f1(t) * f2(t) *.* fn(t)=F1(s)F2(s).Fn(s)第33頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五第34頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五第35頁，共40頁，2022年，5月20日，11點51分，星期五第36頁，共40頁，2022年，5月20日，11