青島三中2023學年高三適應性調研考試數學試題（含解析）

1、2023學年高考數學模擬測試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知橢圓：的左，右焦點分別為，過的直線交橢圓于，兩點，若，且的三邊長，成等差數列，則的離心率為（ ）ABCD2已知六棱錐各頂點都在同一個球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，若，則球的表面積為（ ）AB

2、CD3地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風力發(fā)電，近10年來，全球風力發(fā)電累計裝機容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了，達到，中國的風力發(fā)電技術也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖. 根據所給信息，正確的統(tǒng)計結論是（ ）A截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B10年來全球新增裝機容量連年攀升C10年來中國新增裝機容量平均超過D截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過4函數的圖象大致為( )ABCD5已知雙曲線的

3、漸近線方程為，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（ ）ABCD6已知定點，是圓上的任意一點，點關于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（ ）A橢圓B雙曲線C拋物線D圓7若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（ ）AB2CD18為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點（ ）A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度9已知是等差數列的前項和，若，設，則數列的前項和取最大值時的值為( )A2020B20l9C2018D201710正四棱錐的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為，側棱長為，則它的外接球的表面積為（ ）ABCD

4、11若復數，其中為虛數單位，則下列結論正確的是（ ）A的虛部為BC的共軛復數為D為純虛數12已知函數與的圖象有一個橫坐標為的交點，若函數的圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得到的函數在有且僅有5個零點，則的取值范圍是( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 “北斗三號”衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設地球半徑為R,若其近地點遠地點離地面的距離大約分別是,則“北斗三號”衛(wèi)星運行軌道的離心率為_.14已知正項等比數列中，則_15設命題：，則：_16已知函數，則過原點且與曲線相切的直線方程為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1

5、7（12分）已知數列的前n項和為，且n、成等差數列，.（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列，求的值.18（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足BC，且()求證:平面;()求直線與平面所成角的正弦值.19（12分）在中，角的對邊分別為，且滿足.（）求角的大??；（）若的面積為，求和的值.20（12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求ABC面積的最大值21（12分）已知等比數列中，是和的等差中項(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前項和.22（10分）已知函數.（

6、1）若函數，求的極值；（2）證明：. （參考數據： ）2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】根據等差數列的性質設出，利用勾股定理列方程，結合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關系式，化簡后求得離心率.【題目詳解】由已知，成等差數列，設，.由于，據勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，離心率.故選：C【答案點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數列的性質，屬于中檔題.2、D【答案解析】由題意，得出六

7、棱錐為正六棱錐，求得，再結合球的性質，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【題目詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以， 在直角中，因為，所以，設外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【答案點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結構特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結構特征，熟練應用球的性質求得球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.3、D【答案解析】先列表分析近10年全球風力發(fā)電新增裝機容量，再結合數據研究單調性、平均值以及占比，即可作

8、出選擇.【題目詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現下降趨勢，B錯誤；經計算，10年來中國新增裝機容量平均每年為，選項C錯誤；截止到2015年中國累計裝機容量，全球累計裝機容量，占比為，選項D正確.故選：D【答案點睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎題.4、A【答案

9、解析】確定函數在定義域內的單調性，計算時的函數值可排除三個選項【題目詳解】時，函數為減函數，排除B，時，函數也是減函數，排除D，又時，排除C，只有A可滿足故選：A.【答案點睛】本題考查由函數解析式選擇函數圖象，可通過解析式研究函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等等排除，可通過特殊的函數值，函數值的正負，函數值的變化趨勢排除，最后剩下的一個即為正確選項5、B【答案解析】試題分析：由題意得，所以，所求雙曲線方程為考點：雙曲線方程.6、B【答案解析】根據線段垂直平分線的性質，結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【題目詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而

10、是中點，連接，故，因此當在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【答案點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數學運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.7、C【答案解析】根據雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【題目詳解】雙曲線的離心率，則，解得，所以焦點坐標為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.【答案點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質及簡單應用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應用，屬于基礎題.8、D【答案解析】通過變形，通過“左加右

11、減”即可得到答案.【題目詳解】根據題意，故只需把函數的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數的圖象，故答案為D.【答案點睛】本題主要考查三角函數的平移變換，難度不大.9、B【答案解析】根據題意計算，計算，得到答案.【題目詳解】是等差數列的前項和，若，故，故，當時，當時，故前項和最大.故選：.【答案點睛】本題考查了數列和的最值問題，意在考查學生對于數列公式方法的綜合應用.10、C【答案解析】如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計算長度，設球半徑為，則，解得，得到答案.【題目詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，故，設球半徑為，則，解得，故.故選：.【答案點睛】

12、本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.11、D【答案解析】將復數整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.【題目詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數，正確本題正確選項：【答案點睛】本題考查復數的模長、實部與虛部、共軛復數、復數的分類的知識，屬于基礎題.12、A【答案解析】根據題意，求出，所以，根據三角函數圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【題目詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點，則，若函數圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮?則，所以當時，在有且僅有5個零點， ，.故選：A.【答案點睛】本題考查三角函數圖象的性質、三角函數的平移伸縮以及零點個數

13、問題，考查轉化思想和計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】畫出圖形，結合橢圓的定義和題設條件，求得的值，即可求得橢圓的離心率，得到答案.【題目詳解】如圖所示，設橢圓的長半軸為，半焦距為，因為地球半徑為R,若其近地點遠地點離地面的距離大約分別是,可得，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：.【答案點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的幾何性質，列出方程組，求得的值是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.14、【答案解析】利用等比數列的通項公式將已知兩式作商，可得，再利用等比數列的性質可得，再利用等比數列的通項公式即可求解.【題

14、目詳解】由，所以，解得.，所以，所以.故答案為：【答案點睛】本題考查了等比數列的通項公式以及等比中項，需熟記公式，屬于基礎題.15、，【答案解析】存在符號改任意符號，結論變相反.【題目詳解】命題是特稱命題，則為全稱命題，故將“”改為“”，將“”改為“”，故：，.故答案為：，.【答案點睛】本題考查全(特)稱命題. 對全(特)稱命題進行否定的方法：(1)改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；(2)否定結論：對于一般命題的否定只需直接否定結論即可16、【答案解析】設切點坐標為，利用導數求出曲線在切點的切線方程，將原點代入切線方程，求出的值，于此可得出所求的切線方程【題目詳解】設切

15、點坐標為，則曲線在點處的切線方程為，由于該直線過原點，則，得，因此，則過原點且與曲線相切的直線方程為，故答案為【答案點睛】本題考查導數的幾何意義，考查過點作函數圖象的切線方程，求解思路是：（1）先設切點坐標，并利用導數求出切線方程；（2）將所過點的坐標代入切線方程，求出參數的值，可得出切點的坐標；（3）將參數的值代入切線方程，可得出切線的方程三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）11202.【答案解析】（1）由n，成等差數列，可得，兩式相減，由等比數列的定義可得是等比數列，可求數列的通項公式；（2）由（1）中的可求出，根據和求出數列，中的

16、公共項，分組求和，結合等比數列和等差數列的求和公式，可得答案.【題目詳解】（1）證明：因為n，成等差數列，所以，所以.，得，所以.又當時，所以，所以，故數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以，即.（2）根據（1）求解知，所以，所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列.又因為，所以 .【答案點睛】本題考查等比數列的定義，考查分組求和，屬于中檔題.18、 () 證明見解析；()【答案解析】()證明，根據得到，得到證明.() 如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標系，平面的法向量，計算向量夾角得到答案.【題目詳解】() 平面，平面，故.，故，故.，故平面.()如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標系，

17、則，.設平面的法向量，則，即，取得到，設直線與平面所成角為故.【答案點睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.19、（）；（），.【答案解析】（）運用正弦定理和二角和的正弦公式，化簡，即可求出角的大?。唬ǎ┩ㄟ^面積公式和 ，可以求出，這樣用余弦定理可以求出，用余弦定理求出，根據同角的三角函數關系，可以求出，這樣可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【題目詳解】（）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（），由余弦定理可知：,.【答案點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函數關系，考查了運算能力.20、（1

18、）；（2）【答案解析】（1）根據正弦定理化簡得到，故，得到答案.（2）計算，再利用面積公式計算得到答案.【題目詳解】（1），則，即，故，故.（2），故，故.當時等號成立.，故，故ABC面積的最大值為.【答案點睛】本題考查了正弦定理，面積公式，均值不等式，意在考查學生的綜合應用能力.21、（1）（2）【答案解析】（1）用等比數列的首項和公比分別表示出已知條件，解方程組即可求得公比，代入等比數列的通項公式即可求得結果；（2）把（1）中求得的結果代入bnanlog2an，求出bn，利用錯位相減法求出Tn【題目詳解】(1)設數列的公比為，由題意知：，即.，即.(2)，.得.【答案點睛】本題考查等比數列的通項公式和等差中項的概念以及錯位相減法求和，考查運算能力，屬中檔題22、（1）見解析；（1）見證明【答案解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值即可；（1）問題轉化為證exx1xlnx10，根據xlnxx（x1），問題轉化為只需證明當x0時，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0）