微專題3 函數(shù)思想 講義-2021－2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修1

1、微專題3.函數(shù)思想二次函數(shù)應(yīng)該是我們?cè)谡綄W(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)前用的最多的函數(shù)，可也是我們?cè)诮虒W(xué)中最易忽視的地方，原因在于我們沒有深刻意識(shí)到高中的二次函數(shù)對(duì)于研究函數(shù)最大的價(jià)值，而僅僅把它當(dāng)成一個(gè)應(yīng)該是初中老師教的一類函數(shù)罷了.這樣觀念上的認(rèn)知不足所導(dǎo)致的后果就是：學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前，沒有深刻體會(huì)到處理函數(shù)的一般思路，而學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，我們又認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該掌握了處理函數(shù)的思路，于是乎，導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)就經(jīng)歷從處理意識(shí)不足到游刃有余的歷程，這樣的思維跨度太大，很多學(xué)生很難一時(shí)接受的，從而最終導(dǎo)致在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)以下困難：求導(dǎo)過程的分類討論思想不足；二次以上求導(dǎo)意識(shí)不夠；缺乏從導(dǎo)數(shù)到值域（最值）的轉(zhuǎn)化意識(shí)，特別是稍復(fù)雜的情

2、景，難以應(yīng)對(duì). 我認(rèn)為上述現(xiàn)象的出現(xiàn)原因之一便是在導(dǎo)數(shù)之前缺少了足夠的函數(shù)處理經(jīng)驗(yàn)，對(duì)從單調(diào)性到函數(shù)值域的基本解題思想認(rèn)識(shí)不足，而這恰是二次函數(shù)沒學(xué)好的后果. 高中階段學(xué)習(xí)二次函數(shù)最重要的一類題型就是動(dòng)軸定區(qū)間問題，其實(shí)質(zhì)為閉區(qū)間上函數(shù)值域的計(jì)算，而這正是單調(diào)性的功效.所以，我們應(yīng)該要在正式學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前通過二次函數(shù)或者指對(duì)與二次結(jié)合的問題，融入這樣的思想：用單調(diào)性來分析值域.淡化對(duì)稱軸的概念，突出軸背后的單調(diào)性變化. 這樣的設(shè)計(jì)就可以再慢慢融入恒成立問題，其實(shí)質(zhì)也在于值域（最值）的計(jì)算.我想，如果學(xué)生能在導(dǎo)數(shù)之前的函數(shù)學(xué)習(xí)中逐漸理解單調(diào)性分析值域的基本思想后，他們對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解和把握會(huì)更上一層樓

3、! 基于上面的分析，本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路也就很明確了，下來展示具體內(nèi)容：閉區(qū)間上二次函數(shù)值域例1已知函數(shù)，求的最小值的表達(dá)式【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的值域?yàn)椋?）的對(duì)稱軸：，若時(shí)，即，在上單調(diào)增，；若時(shí)，即，在上單調(diào)減，；若時(shí)，即，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，；綜上所述：13已知二次函數(shù)，且滿足，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值（用表示）.【詳解】（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足，所以，即，所以，解得，因此；（2）因?yàn)槭菍?duì)稱軸為開口向上的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)，即時(shí)，；綜上.12已知二次函數(shù)滿足，且方程有兩個(gè)相等

4、實(shí)根.（1）求的解析式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使的定義域是，值域是.若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【詳解】（1）由得：；由有等根得：有等根，得，將代入得：，；（2），即，而對(duì)稱軸為，即在的左邊，由二次函數(shù)的性質(zhì)知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有，解得，故存在實(shí)數(shù)，使的定義域是，值域是.11已知函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)不同交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，.（1）求的取值范圍；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)、且對(duì)任意的，總有成立，求實(shí)數(shù)的范圍【詳解】（1）由題意可知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得：，所以，解之得：或；（2），令，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以，即的取值范圍為；（3）函數(shù)的對(duì)稱軸為，在上是減函數(shù)，所以有，

5、即，又因?yàn)閷?duì)任意的，總有，要使成立，則必有，在區(qū)間上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以有，即，解之得：，綜上，實(shí)數(shù)m的范圍是二次函數(shù)恒成立問題3已知函數(shù)，. 若關(guān)于的不等式在上能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（2）在上能成立，在上能成立，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），.4已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，由得，即，解得，所以不等式的解集為，（2）由，得，所以問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為5，所以，所以的最大值為55已知函數(shù)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的最大值解：根據(jù)題意，

6、可將問題轉(zhuǎn)化為.，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，；當(dāng)，即時(shí)，.而在上單調(diào)遞增，故.所以或，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.總練習(xí)題14已知二次函數(shù)滿足：，且方程有兩個(gè)相等實(shí)根.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值；（3）設(shè)，函數(shù)，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的?duì)稱軸為，所以，又因?yàn)橛袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以，所以，所以，所以；（2）因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，綜上：當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意，總存在，使得成立，所以在時(shí)的值域是在時(shí)

7、的值域的子集，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以，即.10函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)性：（2）若，求使恒成立時(shí)的取值范圍；（3）若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，任取，且，則因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以在時(shí)單調(diào)遞增（2）恒成立，則，又因?yàn)闉殚_口向上二次函數(shù)，對(duì)稱軸為若，即時(shí)，與矛盾：若，即時(shí)，所以若，即時(shí)，所以；綜上：（3）依題意，的值域含于的值域，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增，所以，；所以，又，綜上：.8已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若對(duì)任意的，總存在，使得，求的取值范圍.（3）設(shè)，記為函數(shù)在上的最大值，求的最小值.解：（

8、1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線，所以在上為減函數(shù).又在上存在零點(diǎn)，所以，解得故的取值范圍為（2）若對(duì)任意的，總存在，使得，則函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合是函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合的子集.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，所以在上的函數(shù)值的取值集合為當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，在上的值域，只需，解得當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?，只需，無解.綜上，的取值范圍為（3）當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，解，得，故當(dāng)，綜上，于是的最小值為9已知二次函數(shù)滿足條件，（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，其中，函數(shù)在時(shí)的最大值是，求函數(shù)；（3）若（為實(shí)數(shù)），對(duì)于任意，總存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】（1），設(shè)，故，解得：，；

9、（2），分以下情況討論，的最大值當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故只需比較與的大小當(dāng)即時(shí)，當(dāng)即時(shí)，；綜上所得；（3），函數(shù)的值域?yàn)椋趨^(qū)間上單調(diào)遞增，故值域?yàn)?，?duì)任意，總存在使得成立，則，若對(duì)零點(diǎn)及其應(yīng)用設(shè)計(jì)大單元的微專題設(shè)計(jì)，就必須深入思考零點(diǎn)及其應(yīng)用的教學(xué)意義和價(jià)值，它究竟在高中函數(shù)板塊的學(xué)習(xí)中起著什么樣的作用？我認(rèn)為其價(jià)值有：1.凸顯了函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，即方程求根實(shí)際上并不是普遍的方法，隨著方程形式越發(fā)復(fù)雜，求精確根已經(jīng)是次要的了，重要的是探討根的存在性，只要存在，總可以設(shè)計(jì)算法求出近似解，這已經(jīng)是現(xiàn)代計(jì)算數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)了.而存在性的分析就需要借助整體的性態(tài).若零點(diǎn)存在是一

10、個(gè)局部現(xiàn)象的話，我們對(duì)局部問題的分析從整體角度入手，這是數(shù)學(xué)發(fā)展中最重要的思想.2.既然零點(diǎn)的分析凸顯函數(shù)的價(jià)值，那么零點(diǎn)問題實(shí)際就是一個(gè)分析函數(shù)整體形態(tài)的問題，這也就是為何零點(diǎn)是必考內(nèi)容的原因了.考察零點(diǎn)，就是考察學(xué)生分析函數(shù)的能力.3.著重提高直觀想象能力，分析零點(diǎn)離不開函數(shù)圖象，而作圖能力又進(jìn)一步會(huì)提升分析函數(shù)形態(tài)的邏輯推理能力.基于上述三點(diǎn)分析，可以肯定的是：零點(diǎn)是函數(shù)應(yīng)用中最重要的載體，零點(diǎn)的微專題拔高設(shè)計(jì)就應(yīng)該突出對(duì)作圖能力的提升，以及對(duì)函數(shù)性質(zhì)的分析.在上述目標(biāo)之下，再引入一些常見的零點(diǎn)問題的處理手法，分離參數(shù)，多變量零點(diǎn)的處理等常見題型，為后續(xù)學(xué)完導(dǎo)數(shù)后再次應(yīng)用零點(diǎn)奠定堅(jiān)實(shí)的基

11、礎(chǔ). 于是，我將在導(dǎo)數(shù)之前常見的零點(diǎn)問題做了如下歸類，即圖象分析類的選填部分與函數(shù)性態(tài)分析綜合解答題部分兩塊，然后再梳理一些常見題型. 二.圖象分析的零點(diǎn)題型題型1. 已知函數(shù)，討論一元二次型方程根的個(gè)數(shù).解法剖析：換元，一元二次方程根的分布.例1.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD小結(jié)：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點(diǎn)；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為、，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.例2.已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足.（1）求、；（2）若，且方程有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型2.

12、型方程例3.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)A7 B8 C9 D10練習(xí). （多選）已知函數(shù)，下列是關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的4個(gè)判斷，其中正確的是A當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)B當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)D當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)小結(jié)：求解復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的技巧:（1）此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出的圖像（2）若已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍,則先估計(jì)關(guān)于的方程中解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)個(gè)數(shù)與的圖像特點(diǎn),分配每個(gè)函數(shù)值被幾個(gè)所對(duì)應(yīng),從而確定的取值范圍,進(jìn)而決定參數(shù)的范圍.題型3.分段函數(shù)的零點(diǎn)例4已知函數(shù)，.若存在2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）ABCD例5已知函數(shù) (，且)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD練習(xí)已知函數(shù)(且)在上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D題型4.整點(diǎn)問題例6設(shè)函數(shù).若只存在唯一非負(fù)整數(shù)，使得，