重慶市第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題含解析

1、2018年重慶一中高2019級高二下期半期考試數(shù)學(xué)試題卷（理科）第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：（本大題共12個小題，每小題5分，共60分）.-是虛數(shù)單位，計算的結(jié)果為（）24IA.B.-1C.1D.-1【答案】B解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算即可l-2i（l-2i（-51詳解：由題意得.-故選B.點睛：本題考查復(fù)數(shù)的除法運算法則，考查學(xué)生的運算能力，屬于容易題極坐標方程e所表示的圖形是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓【答案】D【解析】分析：將極坐標方程化為直角坐標方程后再進行判斷詳解：=“，把代入上式可得十,即.：-：,極坐標方程表示的是以（1,0）為圓心，半徑為1的圓.故選

2、D.點睛：本題考查極坐標和直角坐標間的互化，考查學(xué)生運用所學(xué)知識解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是靈活運用極坐標和直角坐標間的轉(zhuǎn)化公式進行求解用數(shù)學(xué)歸納證明：-時，從到、L|時,左邊應(yīng)添加的式子是（）AmB.二.：c.二“I-D.二L【答案】C【解析】分析：分別求出時左邊的式子，時左邊的式子，用、LI時左邊的式子,除以時左邊的式子，即得結(jié)論.詳解：當.時，左邊等于(kIl)(kI2).(k+k)=(k+l)(k+2)(2k),當、LI時，左邊等于川二：:山“X丨心1,故從“”到“”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是C2k+1)(2k+2)C2k+1)(2k+2)k+1=2f2k+故選C.點睛：項數(shù)的變化規(guī)

3、律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律.4隨機變量.服從正態(tài)分布1k0)0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828門d-bc)(.計bvc十曲.十町十A.90%B.95%C.99%D.99.9%【答案】A【解析】分析：根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算的值，和臨界值表比對后即可得到答案詳解：將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式可得*100 x(4515-30 x,7SX2X：22C其概率為：.-1682020由互斥事件的概率加法公式可得所求概率為-S1278127故選A.點睛：

4、求解概率問題時首先要通過讀題理解題意，分清所求概率的事件及對應(yīng)的概率類型，然后選擇相應(yīng)的公式求解求解時對于復(fù)雜事件的概率要合理分解為簡單事件的概率處理，同時要合理選擇計數(shù)的方法，使得問題的解決順利進行將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有()A.16種B.12種C.9種D.6種【答案】B【解析】分析：分六種情況討論，求解每一種類型的放球方法數(shù)，然后利用分類計數(shù)加法原理求解即可.詳解：由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下情況時放球方法有：當1與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；

5、當1與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；-當1與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；因此，不同的放球方法有12種，故選B.點睛：本題主要考查分類計數(shù)加法原理的應(yīng)用，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.12.已知函數(shù)iA-12.已知函數(shù)iA-y-,/21對任意百E(_屋_亍，都存在,使得:，則的最大值

6、為(In?TOC o 1-5 h z2523IIn?A.B.C.I：-D.44S3【答案】A【解析】分析：由題意得，令1，然后將勺T用表示出來,設(shè)一1-匸得到關(guān)于的函數(shù)，通過求函數(shù).的最大值可得所求結(jié)果.詳解：由：|r：-得I：-令1，貝y，即,即,令.-1在叮.上單調(diào)遞減，且匕專3當心時，一.比單調(diào)遞增；當時，仆單調(diào)遞減.故選A.點睛：本題考查恒成立、能成立問題，難度較大，解題的關(guān)鍵是通過引入?yún)?shù)，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的問題處理，然后利用導(dǎo)數(shù)為工具，求得關(guān)于的函數(shù)的最值，從而得到所求的最值第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）各題答案必須填寫

7、在答題卡相應(yīng)的位置|曲的展開式中的常數(shù)項是.【答案】60【解析】分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令的指數(shù)為，從而可求出展開式的常數(shù)項.詳解：展開式的通項為=令;巳得！=二所以展開式的常數(shù)項為=:,故答案為點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式二1=廠対；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用.甲、乙、丙三名同學(xué)參加某高校組織的自主招生考試的初試，考試成績采用等級

8、制（分為三個層次），得A的同學(xué)直接進入第二輪考試從評委處得知，三外同學(xué)中只有一人獲得三名同學(xué)預(yù)測誰能直接進入第二輪比賽如下：甲說：看丙的狀態(tài)，他只能得或；乙說：我肯定得I；丙說：今天我的確沒有發(fā)揮說，我贊同甲的預(yù)測.事實證明：在這三名同學(xué)中，只有一人的預(yù)測不準確，那么得人的同學(xué)是.【答案】甲【解析】若得的同學(xué)是甲，則甲、丙預(yù)測都準確，乙預(yù)測不準確，符合題意；若得的同學(xué)是乙，則甲、乙、丙預(yù)測都準確，不符合題意；若得的同學(xué)是丙，則甲、乙、丙預(yù)測都不準確，不符合題意。綜上，得I的同學(xué)是甲.袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，做不放回抽樣，每次任取1個球，取2次，則事件“第一次取得白球的情況下，第二次恰

9、好取得黃球”的概率為【答案】.解析】分析：根據(jù)條件概率進行求解即可詳解：設(shè)“第一次取得白球”為事件A,“第二次恰好取得黃球”為事件B.由題意得1V.AB)15點睛：解決概率問題時，若條件中含有“在發(fā)生的條件下，求發(fā)生的概率”的字樣,則一般為條件概率類型.求解時可根據(jù)條件概率的定義進行，即二一進行求解.P(A)22已知橢圓.為其左、右焦點，為橢圓上除長軸端點外的任一點,G為FfFg內(nèi)一點，滿足無心=陽|卜pPaAF比的內(nèi)心為【，且有1&=疋芯(其中入為實數(shù)),則橢圓二的離心率$=.【答案】【解析】分析：由題意得為的重心，設(shè)!：,，由重心坐標公式可得的縱坐標，由，-竹匚可得內(nèi)心的縱坐標與相同，然后

10、利用汗門的面積等于被內(nèi)心分割而成的三個小三角形的面積之和建立二K的等式，從而可得離心率.詳解：設(shè).，G為人匚的重心,IG=XFFIGII琲由,1的縱坐標為一.又為|的內(nèi)心，1的縱坐標：即為內(nèi)切圓半徑.由于I把汗屮分為三個底分別為汁的三邊，高為內(nèi)切圓半徑：的小三角形橢圓C的離心率點睛：解答本題時注意兩點：（1）讀懂向量式的含義，正確地將向量式轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，這是解題的基礎(chǔ).（2）求橢圓的離心率時，要把條件中給出的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式或不等式，通過解方程或不等式可得離心率或其范圍三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.已知曲線的參數(shù)方程為|二說；為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半

11、軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為d,（幻為極角）（1）分別寫出曲線的普通方程和曲線的參數(shù)方程；（2）已知為曲線的上頂點，為曲線上任意一點，求凹匚|的最大值.【答案】（i）；：C；：m（2）【解析】試題分析：（1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，分別寫出曲線q的普通方程與曲線q的參數(shù)方程；（2）由（1）知hWB.Pdn沁公1門住.g|PM|=J（2coso（2十（2sina-x3）2=T?-4V3sinct,（aGO.n），所以當a：二0或al二n時，IPhil最大試題解析：(2)由(1)知:-:!當二八或二匕時，|亙匚最大為:.某高中政教處為了調(diào)查學(xué)生對“一帶一路”的關(guān)注情況，在全校組織了“一

12、帶一路知多少”的知識問卷測試，并從中隨機抽取了12份問卷，得到其測試成績（百分制）的莖葉圖如下：（1）寫出該樣本的中位數(shù)，若該校共有3000名學(xué)生，試估計該校測試成績在70分以上的人數(shù)；（2）從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機選取4人，記.表示測試成績在80分以上的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）約為2000人；（2）見解析.【解析】分析：（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)可得中位數(shù)，然后根據(jù)樣本中70分以上的成績所占的比例可得總體中70分以上的人數(shù).（2）根據(jù)題意得到.的可能取值，分別求出對應(yīng)的概率得到分布列，然后可得期望.g7詳解：（1）由莖葉圖可得中位數(shù)為76，樣本中70分以上的所占比例

13、為,故可估計該校測試成績在70分以上的約為3000X2000人.3（2由題意可得的可能取值為0,1,2，3,4.的分別列為:P1SP1S81353570TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document aiss/.I, HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 70弟3535點睛：本題考查莖葉圖的應(yīng)用以及用樣本估計總體，同時考查分布列、期望的求法，主要考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力和計算能力，屬中等題如圖，已知直角梯形所在平面垂直于平面-門亠I：己：二.AI厶廠T卜，（1）點.是直線

14、中點，證明二匸平面；（2）求平面與平面;:三匚所成的銳二面角的余弦值.，_7【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）建立空間直角坐標系，寫出相應(yīng)點的坐標，得到向量，求出平面平面的法向量，利用向量與平面爲訂：垂直，即可證明線面平行；（2）求出平面門與平面HE的法向量，利用法向量所成的角即可求解二面角的余弦值.試題解析：（1）設(shè)AB=a，取AC的中點0,連接E0,OP.AE=AC，又ZEAC=60,：E0丄AC.又平面ABC丄平面ACDE,：E0丄平面ABC,：E0丄0P,又OPAB,AB丄AC,所以0P丄AC.以射線OP,0C,0E分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,

15、如圖，則卩（,0,0）,則卩（,0,0）,設(shè)平面EAB的法向量為=（x,yo,設(shè)平面EAB的法向量為=（x,yo,3J5Z0）.AB=（a，0,0）,W=（0丫?。?和-門=0,小n=0,?陀,令z0=l,得y0=xa=0（0,，1）.又x=0,.DP平面EAB（另法：取AB中點F,然后證DPEF或證平面ODP平面EAB）ii=（2）設(shè)平面EBD的法向量為尸（Xi,人，Zi）,易知平面ACDE的一個法向量為=（1,0,0）.令十，則肯，y0,1）.令十，則肯，1考點：線面位置關(guān)系的判定與證明；二面角的求解一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù).與一定范圍內(nèi)的溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表：溫

16、度C212324272932產(chǎn)卵數(shù)7個61120275777（1）若用線性回歸模型，求關(guān)于的回歸方程（精確到0.1）；（2）若用非線性回歸模型求.關(guān),的回歸方程為；=工:；0且相關(guān)指數(shù)試與（1）中的線性回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好.用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為-時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）附：一組數(shù)據(jù)-i：-,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為&66盹0=刃thy：i=39池(y：抒=23&64嚴=3167i=Ii:Ii=1【答案】(1)：八;I：-:；(2)回歸方程廠二炸“，比線性回歸方程：八；二“擬合效果更好；當溫度時，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計為190個.【解析】

17、分析：(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及平均數(shù)公式可求出與的值從而可得樣本中心點的坐標,從而求可得公式中所需數(shù)據(jù)，求出：；=：，再結(jié)合樣本中心點的性質(zhì)可得；-.：，進而可得關(guān)于的回歸方程；(2)根據(jù)相關(guān)指數(shù)的大小，即可比較模型擬合效果的優(yōu)劣；代入回歸方程求值計算即可得結(jié)果.代入回歸方程求值計算即可得結(jié)果.：，關(guān)于的線性回歸方程為-；66(2)由所給數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為:,相關(guān)指數(shù)為6,:236,64-殍i=l所以回歸方程比線性回歸方程-擬合效果更好.由得當溫度時，-:.:,即當溫度時，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計為190個.ththii點睛：求回歸直線方程的步驟：確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；計算的i=1

18、i=I值；計算回歸系數(shù)；寫出回歸直線方程為仝十駕回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.在平面直角坐標系中，點.是直線亠=-一上的動點，定點I：.：，點.為的中點，動點滿足:.（1）求點的軌跡的方程；（2）過點.的直線交軌跡于丄.兩點，為上任意一點，直線二匚TE交.于兩點，以H為直徑的圓是否過軸上的定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，說明理由.【答案】（1）；（2）和、.【解析】分析：（1）根據(jù)條件可得點辺的軌跡是以為焦點、以直線為準線的拋物線，其方程222為=（2）假設(shè)以工為直徑的圓過軸上的定點設(shè)一一一由題YiVo-4丫*曠4

19、一,y扇-4+y3）y0+:6意可得，由I：-：得.設(shè)，一yj-Vo丫旳卜竹舟昇托直線匸上的方程為.，與拋物線方程聯(lián)立消元后得到二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和上式可得1-，,解得、丨進而可得以為直徑的圓過軸上的定點-；1汁，-.詳解：（1）由已知得.垂直平分.，故：又.軸，則.I，所以點創(chuàng)到點.的距離和到直線的距離相等，故點的軌跡是以為焦點、以直線為準線的拋物線,由條件可得軌跡的方程為:廠=.（2）假設(shè)以H為直徑的圓過軸上的定點工上.TOC o 1-5 h zr、*、八仃町設(shè).,直線二的方程為同理可得由已知得丨：-：恒成立，即；-|11I5i-oy-oTOC o 1-5 h z即丫旳+M+y撫

20、）4九設(shè)直線產(chǎn)三的方程為，由.消去整理得/-陰-所以匕十宀叫化-于是,故以h為直徑的圓過軸上的定點：點睛：（1）拋物線的定義有兩方面的作用，一是用來判斷點的軌跡是拋物線，二是當已知曲線是拋物線時，可將曲線上的點到準線的距離和到焦點的距離相互轉(zhuǎn)化，達到快速解題的目的2）判斷定點時，可假設(shè)定點坐標，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點已知函數(shù)!.1.，曲線廠i：二在原點處的切線為,：=（1）證明：曲線,與軸正半軸有交點；（2）設(shè)曲線亍=匸二與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線，求證：曲線廠匸上的點都不在直線的上方；（3）若關(guān)于的方程111（為正實數(shù)）有不等實根，求證：七-丫-一答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【解析】分析：（1）求得.，由解得.，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得結(jié)果；（2）曲線；m在點處的切線I-.:I,.，令八i?:I丁I,可證明對任意實數(shù)都有，即對任意實數(shù)都有A從而可得結(jié)論；（3）因為I-.，所以：-,.1jJ.-fm,為減函數(shù)