2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知平面向量，則（ ）AB3C D52的展開式中有理項的項數(shù)為（ ）A1B2C3D43用反證

2、法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程至多有一個實(shí)根”時，要做的假設(shè)是A方程沒有實(shí)根B方程至多有一個實(shí)根C方程至多有兩個實(shí)根D方程恰好有兩個實(shí)根4函數(shù)的大致圖象是（）ABCD5若函數(shù)，函數(shù)有3個零點(diǎn)，則k的取值范圍是()A（0，1）BCD6高三畢業(yè)時，甲，乙，丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，在甲和乙相鄰的條件下，丙和乙也相鄰的概率為（ ）ABCD7已知兩個復(fù)數(shù),的實(shí)部和虛部都是正整數(shù),關(guān)于代數(shù)式有以下判斷:最大值為2；無最大值;最小值為；無最小值.其中正確判斷的序號是（ ）ABCD8已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)（, ）的圖象如圖所示則（ ）ABCD9在的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項為（ ）ABCD10函數(shù)的

3、大致圖象是（ ）ABCD11用反證法證明命題“若，則”時，正確的反設(shè)為（）Ax1Bx1Cx22x30Dx22x3012已知函數(shù)有兩個不相同的零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若變量、滿足約束條件，則的最大值為_14袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_15關(guān)于的不等式的解集是，求實(shí)數(shù)的取值范圍是 _.16組合恒等式，可以利用“算兩次”的方法來證明：分別求和的展開式中的系數(shù)前者的展開式中的系數(shù)為；后者的展開式中的系數(shù)為.因?yàn)?，則兩個展開式中的系數(shù)也相等，即請用“算兩

4、次”的方法化簡下列式子：_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）近年來，空氣質(zhì)量成為人們越來越關(guān)注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)（，簡稱）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù).環(huán)保部門記錄了某地區(qū)7天的空氣質(zhì)量指數(shù)，其中，有4天空氣質(zhì)量為優(yōu)，有2天空氣質(zhì)量為良，有1天空氣質(zhì)量為輕度污染.現(xiàn)工作人員從這7天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行某項研究.（I）求抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良的概率；（）用表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.18（12分）為降低養(yǎng)殖戶養(yǎng)鴨風(fēng)險，某保險公司推出了鴨意外死亡保險，該保單合同規(guī)定每只幼鴨投保2元，若生長期內(nèi)鴨意外死亡，則

5、公司每只鴨賠付12元.假設(shè)鴨在生長期內(nèi)的意外死亡率為0.15，且每只鴨是否死亡相互獨(dú)立.若某養(yǎng)殖戶養(yǎng)鴨3000只，都投保該險種.（1）求該保單保險公司賠付金額等于保費(fèi)時，鴨死亡的只數(shù)；（2）求該保單保險公司平均獲利多少元.19（12分）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), . (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng)時, 恒成立,求的取值范圍 .20（12分）十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加.為了制定提升農(nóng)民年收入、實(shí)現(xiàn)2020年脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2019年50位農(nóng)民的年收入

6、并制成如下頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入元（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，利用該正態(tài)分布，求：（i）在扶貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？（ii）為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相獨(dú)立，問：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？

7、附參考數(shù)據(jù)：，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，.21（12分）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1=AC=2BC，ACB=90 （）求證：AC1A1B；（）求直線AB與平面A1BC所成角的正切值22（10分）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.（1）請舉一個“超導(dǎo)函數(shù)” 的例子，并加以證明；（2）若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且其中一個在R上單調(diào)遞增，另一個在R上單調(diào)遞減，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；（3）若函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且方程無實(shí)根，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實(shí)數(shù)根的個數(shù)并說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共

8、60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先由的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的模.【詳解】因?yàn)?，所以，因?故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模，熟記向量的坐標(biāo)表示即可，屬于?？碱}型.2、B【解析】求得二項式展開式的通項公式，由此判斷出有理項的項數(shù).【詳解】的展開式通項為，當(dāng)或時，為有理項，所以有理項共有項.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】反證法證明命題時，首先需要反設(shè)，即是假設(shè)原命題的否定成立.【詳解】命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程至多有一個實(shí)根”的否定為“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程恰好有兩個實(shí)根”；因此，用反證法證明原命題時，只

9、需假設(shè)方程恰好有兩個實(shí)根.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查反證法，熟記反設(shè)的思想，找原命題的否定即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項，利用特殊值定義點(diǎn)的位置判斷選項即可【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項B，當(dāng)x=2時，f（2）=0，對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，排除A，C；故選D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力5、A【解析】畫出的圖像，有3個零點(diǎn)等價于有3個交點(diǎn)?！驹斀狻坑?個零點(diǎn)等價于有3個交點(diǎn)記則過原點(diǎn)作的切線，有3個零點(diǎn)等價于有3個交點(diǎn)記則過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為則切線方程為：，又切線過原點(diǎn)，即，將，代入解得，所以切線斜率所以【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)

10、判斷，考查了函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的問題，屬于中檔題。6、B【解析】記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計算出和，再利用條件概率公式可計算出所求事件的概率【詳解】記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，則事件乙和甲丙都相鄰，所求事件為，甲乙相鄰，則將甲乙兩人捆綁，與其他三位同學(xué)形成四個元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相鄰，則將甲乙丙三人捆綁，且乙位置正中間，與其他兩位同學(xué)形成三個元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式可得，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計算，解這類問題時，要弄清各事件事件的關(guān)系，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計算

11、相應(yīng)事件的概率，并靈活利用條件概率公式計算出所求事件的概率，考查計算能力，屬于中等題7、C【解析】設(shè)兩個復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn),利用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量的數(shù)量積可以判斷出的最值情況.【詳解】設(shè)兩個復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn),因此有：因?yàn)? 復(fù)數(shù),的實(shí)部和虛部都是正整數(shù),所以,(當(dāng)且僅當(dāng)),故,假設(shè)有最小值,則,顯然對于也成立,于是有這與相矛盾,故不存在最小值；對任意正整數(shù),故沒有最大值,因此說法正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的向量表示,考查了平面向量的數(shù)量積的計算,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、D【解析】正態(tài)曲線關(guān)于x對稱，且越大圖象越靠近右邊，第一個曲線的均值比第二和第三和圖象的

12、均值小，且二，三兩個的均值相等，又有越小圖象越瘦長，得到正確的結(jié)果【詳解】根據(jù)課本中對正太分布密度函數(shù)的介紹知道：當(dāng)正態(tài)分布密度函數(shù)為，則對應(yīng)的函數(shù)的圖像的對稱軸為：，正態(tài)曲線關(guān)于x對稱，且越大圖象越靠近右邊，第一個曲線的均值比第二和第三和圖象的均值小，且二，三兩個的均值相等，只能從A，D兩個答案中選一個，越小圖象越瘦長，得到第二個圖象的比第三個的要小，第一個和第二個的相等故選D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查密度函數(shù)中兩個特征數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差對曲線的位置和形狀的影響，是一個基礎(chǔ)題9、D【解析】根據(jù)最大的系數(shù)絕對值大于等于其前一個系數(shù)絕對值；同時大于等于其后一個系數(shù)絕對

13、值；列出不等式求出系數(shù)絕對值最大的項；【詳解】二項式展開式為：設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第項，可得可得，解得在的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項為：故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二項展開式中絕對值系數(shù)最大項的求解，涉及展開式通項的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題10、C【解析】根據(jù)特殊位置的所對應(yīng)的的值，排除錯誤選項，得到答案.【詳解】因?yàn)樗援?dāng)時，故排除A、D選項，而，所以即是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B項，故選C項.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)圖象，屬于簡單題.11、C【解析】根據(jù)反證法的要求，反設(shè)時條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，從而得到答案.【詳解】命題“若，則”，要用

14、反證法證明，則其反設(shè)需滿足條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，所以正確的反設(shè)為，故選C項.【點(diǎn)睛】本題考查利用反證法證明時，反設(shè)應(yīng)如何寫，屬于簡單題.12、C【解析】對函數(shù)求導(dǎo)得，當(dāng)時，原函數(shù)單調(diào)遞增，不能有兩個零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時，為最小值，函數(shù)在定義域上有兩個零點(diǎn)，則，即，又，則在上有唯一的一個零點(diǎn)，由，那么，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)可得g(a)單調(diào)性，再由，即可確定f(x)在上有一個零點(diǎn)，則a的范圍可知【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時，成立，所以函數(shù)在為上增函數(shù)，不合題意；當(dāng)時，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時，所以函數(shù)在上為減函數(shù).此時的最小值為，依題意知，解得.由于，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上有唯一的一

15、個零點(diǎn).又因?yàn)?，所?，令，當(dāng)時，所以.又，函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)的圖象在上不間斷，所以函數(shù)在上有唯一的一個零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)有兩個不同零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍通過求導(dǎo)逐步縮小參數(shù)a的范圍，題中為的最小值且，解得，先運(yùn)用零點(diǎn)定理確定點(diǎn)a右邊有唯一一個零點(diǎn)，同理再通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論單調(diào)性的方法確定點(diǎn)a左邊有另一個唯一一個零點(diǎn)，最終得出參數(shù)范圍，題目有一定的綜合性二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】首先畫出可行域，然后確定目標(biāo)函數(shù)的最大值即可.【詳解】繪制不等式組表示的可行域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可

16、得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，其最大值為：.【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)zaxby(ab0)的最值，當(dāng)b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當(dāng)b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.14、【解析】試題分析：根據(jù)題意，記白球?yàn)锳，紅球?yàn)锽，黃球?yàn)椋瑒t一次取出2只球，基本事件為、共6種，其中2只球的顏色不同的是、共5種；所以所求的概率是考點(diǎn)：古典概型概率15、【解析】利用判別式0求出實(shí)數(shù)k的取值范圍【詳解】關(guān)于x的不等式的解集為R，=k2-490，解得實(shí)數(shù)k的取值范圍為 .【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式恒成立問題，是基礎(chǔ)

17、題16、【解析】結(jié)合所給信息，構(gòu)造，利用系數(shù)相等可求.【詳解】因?yàn)椋瑒t兩個展開式中的系數(shù)也相等，在中的系數(shù)為，而在中的系數(shù)為，所以可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，精準(zhǔn)理解題目所給信息是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（）.【解析】（）可先計算對立事件“抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良”的概率，再利用相關(guān)公式即得答案；（）找出隨機(jī)變量的所有可能取值，分別計算相關(guān)概率，從而列出分布列計算數(shù)學(xué)期望.【詳解】（）解：設(shè)事件為“抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良”，事件的對立事件為“抽取的3天空氣質(zhì)量都不為

18、良”，從7天中隨機(jī)抽取3天共有種不同的選法，抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良共有種不同的選法，則,所以，事件發(fā)生的概率為.（）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3.，所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查對立事件的相關(guān)概念與計算，超幾何分布的分布列與數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的分析能力，邏輯推理能力和計算能力.18、（1）500只；（2）600元【解析】（1）根據(jù)題意，得到保費(fèi)的總額，再除以每只鴨賠付的金額，得到答案；（2）根據(jù)鴨在生長期內(nèi)的意外死亡率，得到需賠付的金額，然后根據(jù)總的保費(fèi)，得到平均獲利.【詳解】（1），答：該保險公司賠付金額等于保費(fèi)時，鴨死亡只數(shù)為

19、只.（2）因?yàn)轼喸谏L期內(nèi)的意外死亡率為0.15，所以需賠付的金額為，總保費(fèi)為，所以得到平均獲利為.答：該保單保險公司平均獲利元.【點(diǎn)睛】本題考查求隨機(jī)變量的均值，屬于簡單題.19、（1）在上單調(diào)遞減; 在上單調(diào)遞增.（2）【解析】分析：(1)首先令，求得，再對函數(shù)求導(dǎo)，令，得，從而確定函數(shù)解析式，并求得，之后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號對函數(shù)的單調(diào)性的決定性作用，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)構(gòu)造新函數(shù)，將不等式恒成立問題向函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的最值點(diǎn)，最后求得結(jié)果.詳解：(1)由,得.因?yàn)?所以,解得.所以, ，當(dāng)時, ,則函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時, ,則函數(shù)在上單

20、調(diào)遞增.(2)令 ，根據(jù)題意,當(dāng)時, 恒成立. .當(dāng),時, 恒成立，所以在上是增函數(shù),且，所以不符合題意;當(dāng),時, 恒成立,所以在上是增函數(shù),且所以不符合題意;當(dāng)時,因?yàn)?所有恒有,故在上是減函數(shù),于是“對任意都成立”的充要條件是，即，解得,故.綜上, 的取值范圍是.點(diǎn)睛：該題考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，在解題的過程中，首先需要求，從而確定函數(shù)的解析式，之后求導(dǎo)，令其大于零即為增函數(shù)，令其小于零，即為減函數(shù)，最后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；關(guān)于不等式恒成立問題，大多采用構(gòu)造新函數(shù)，向最值靠攏，求導(dǎo)，研究單調(diào)性求得結(jié)果.20、（1）17.40千元；（2）（i）14.77千元.（ii）978人.【解析

21、】（1）求解每一組數(shù)據(jù)的組中值與頻率的乘積，將結(jié)果相加即可得到對應(yīng)的；（2）（i）根據(jù)的數(shù)值判斷出年收入的取值范圍，從而可計算出最低年收入；（ii）根據(jù)的數(shù)值判斷出每個農(nóng)民年收入不少于千元的概率，然后根據(jù)二項分布的概率計算公式計算出“恰有個農(nóng)民年收入不少于”中的最大值即可.【詳解】解：（1）千元故估計50位農(nóng)民的年平均收入為17.40千元；（2）由題意知（i），所以時，滿足題意，即最低年收入大約為14.77千元. （ii）由，每個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件的概率為0.9773，記1000個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的人數(shù)為，則，其中，于是恰好有k個農(nóng)民的年收入不少于12.14

22、千元的事件概率為， 從而由得，而， 所以，當(dāng)時，當(dāng)時，由此可知，在所走訪的1000位農(nóng)民中，年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978人.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、正態(tài)分布、二項分布概率計算，屬于綜合題型，對于分析和數(shù)字計算的能力要求較高，難度較難.判斷獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中概率的最值，可通過作商的方法進(jìn)行判斷.21、 (1)見解析(2) 【解析】分析：（1）先證平面，得到，由四邊形為正方形得出，所以平面，進(jìn)而證得；（2）由平面可得是直線與平面所成的角，設(shè)，利用勾股定理求出，即可得出的值.詳解：證明（）CC1平面ABC，BC平面ABC， CC1BC又ACB=90，即BCAC，又ACCC1=C，BC平面A1C1CA，又AC1平面A1C1CA，AC1BCAA1=AC，四邊形A1C1CA為正方形，AC1A1C，又AC1BC=C，AC1平面A1BC，又A1B平面A1BC，AC1A1B （）設(shè)AC1A1C=O，連接BO由（）得AC1平面A1BC，