無套利定價法

1、第一章無套利定價法的思想 1.1 無套利思想的產(chǎn)生及發(fā)展在高鴻業(yè)宏觀經(jīng)濟學（第五版）中，我們知道了市場中一般商品通常是通過 均衡價格理論，即假定消費者追求最大消費效用、生產(chǎn)者追求最大生產(chǎn)利潤、然后在 一定條件下，存在一個一般經(jīng)濟均衡的價格體系，使得商品的供需達到平衡。作為特 殊商品的金融資產(chǎn)的定價似乎也應(yīng)遵循這一原則，但由于金融市場的最主要的特征在 于未來的不確定性，沿“均衡定價論”的道路前進步履十分艱難。所以得出一個精確 的金融資產(chǎn)定價理論變得迫在眉睫，這時無套利思想應(yīng)運而生.早在20世紀20年代，凱恩斯（1923）在其利率平價理論中，首次將無套利原則 引入金融變量的分析中。其后，米勒和莫迪

2、格利亞（1958）創(chuàng)造性地使用無套利分析 方法來證明其公司價值與資本結(jié)構(gòu)無關(guān)定理，即著名的MM定理.羅斯的套利定價（APT） 理論的產(chǎn)生使人們進一步認識到無套利思想的重要性。經(jīng)濟學家們甚至將無套利思想 看做是金融經(jīng)濟學區(qū)別于經(jīng)濟學的重要特征.羅斯曾指出：“大多數(shù)現(xiàn)代金融不是基于 無套利直覺理論,就是基于無套利的實際理論。事實上，可以把無套利看做是統(tǒng)一所有 金融的一個概念。因此，無套利定價思想構(gòu)成了金融經(jīng)濟學基本定理（也稱資產(chǎn)定價的 基本定理）。第二章無套利定價法的原理 2。1什么是套利套利（Arbitrage）是指在某項資產(chǎn)的交易過程中，交易者可在不需要期初投資 支出的條件下便可獲得無風險報酬

3、，但在實際市場中，套利一般指的是一個預(yù)期能產(chǎn)生 無風險盈利的策略，可能會承擔一定的低風險。套利有五種基本形式：空間套利、時間套利、工具套利、風險套利和稅收套利。 由于金融產(chǎn)品通常是無形的，所以不需要占據(jù)空間，所以沒有空間成本，而且金融市場 上存在的賣空機制（即投資者可以在不擁有某種產(chǎn)品的前提下便擁有以高價賣光該種 產(chǎn)品的權(quán)利，然后低價買回該種產(chǎn)品，通過價格差獲得利潤）大大增加了套利機會，并且 金融產(chǎn)品在時間和空間上的多樣性（如遠期合約，期權(quán)合約）也使得套利更加便利。 套利存在的條件：1、存在兩個不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益相同，但它們的成本卻不同；2、存在兩個成本相同的資產(chǎn)組合，它們的未來損

4、益卻不同；3、一個組合其購建成本為零，但損益大于等于零，且至少在某一狀態(tài)下大于零。2.2什么是無套利定價“無套利定價”原理是指金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存 在套利機會，即在該種價格下金融產(chǎn)品的組合不會使投資者獲得無風險利潤。無套利定價的基本方法:將金融資產(chǎn)的“頭寸”與市場中其他金融資產(chǎn)的頭寸組 合起來，構(gòu)筑起一個在市場均衡時不能產(chǎn)生不承受風險的超額利潤的組合頭寸，由此 測算出該項頭寸在市場均衡時的價值即均衡價格。該種價格會使得套利者處于這樣一 種境地：他通過套利形成的財富的現(xiàn)金價值，與他沒有進行套利活動時形成的財富的現(xiàn) 金價值完全相等，即套利不能影響他的期初和期末的現(xiàn)金流量狀

5、況。無套利定價的關(guān)鍵技術(shù)是“復制”技術(shù)，所謂復制是指即用一組證券來復制另 外一組證券，其要點是使復制組合的現(xiàn)金流特征與被組合的現(xiàn)金流特征完全一致，復 制組合的多頭（空頭）與被復制組合的空頭（多頭）互相之間完全實現(xiàn)頭寸對沖。 2.3無套利的基本理論（1）同損益同價格如果兩種證券具有相同的損益，則這兩種證券具有相同的價格。（2）靜態(tài)組合復制定價：如果一個資產(chǎn)組合的損益等同于一個證券，那么這個資產(chǎn)組合的價格等于證券的 價格。這個資產(chǎn)組合稱為證券的“復制組合”。（3）動態(tài)組合復制定價：如果一個自融資交易策略最后具有和一個證券相同的損益，那么這個證券的價格 等于自融資交易策略的成本。這稱為動態(tài)套期保值策

6、略.第三章無套利定價法的應(yīng)用3。1在確定狀態(tài)下資產(chǎn)的定價例1：假設(shè)2個零息票債券A和B,兩者都是1年后的同一天到期，面值都是100 元，如果債券A的當前價格為98元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況，債券B的當前價格應(yīng)為多少？2。如果PB = 97。5元,當前是否存在套利?如何套利？解：（1）由同損益同價格定價理論可知，因為兩種零息債券同一天到期，且面 值相同，即未來損益相同，所以要想不存在套利機會，兩者的價格應(yīng)該相同，所以債券 B的當前價格也應(yīng)該為98元。（2）如果PB=97.5元，此種情況下B債券被低估，當然存在套利機會。具 體操作為，投資者應(yīng)該買低賣高，即他應(yīng)該花97.5元買進債券B,同時

7、以98元賣出債 券A,則期初凈獲得0.5元的利潤，一年之后因為兩種債券的面值相同，但所持的頭寸 相反,所以剛好可以抵消。例2靜態(tài)組合復制定價假設(shè)3種零息票債券A、B和C，面值都是100元，它們的當前市場價格分別 為（1）1年后到期的零息票債券A的當前市場價格為98元，（2）2年后到期的零息票債券B的當前市場價格為96元，（3）3年后到期的零息票債券C的當前市場價格為93元，并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況，如果一個附息債券D的息票率為10%，一年支付 一次利息,期限為3年問：1.債券D的當前價格應(yīng)為多少？2.如果PD=120元，當前是否存在套利？如何套利？解：（1）由無套利定價的基本理論第二條知

8、，如果一個資產(chǎn)組合的損益與一個證 券的損益相同，那么該資產(chǎn)組合的價格與該證券的價格相同。先看一個息票率為10%， 一年支付一次利息的三年后到期的債券的損益情況。面值為100元，息票率為10%, 所以第一年末、第二年末利息分別為10元，第三年末本息和110元，由復制技術(shù)可知, 要找一個資產(chǎn)組合，并且該組合未來時間的損益應(yīng)該和該證券相同，所以（1）要購買 0.1份債券A,1年后損益為10元：（2）購買0。1份債券B，兩年后損益為10元：（3） 購買1.1份債券C，一年后損益為110元。所以債券D的價格應(yīng)該等于該資產(chǎn)組合的價格，即P=0.1*98+0.1*96+11*93=121.7 元。（2）當該

9、種債券價格為120元時,低于無套利時的定價121.7元，所以該種 債券被低估，當然存在套利機會。并且由買低賣高原則可知投資者以120元應(yīng)該買入 一份債券D，并且賣出0.1份債券A,0O 1份債券B，1。1份債券C，則此時投資者的 利潤為1.7元,1年后用債券A的損益去支付第一年的債券D的利息，第二年用債券B 的損益去支付第一年的債券D的利息，第二年用債券C的損益去支付第債券D的本息。 例3動態(tài)組合復制定價假設(shè)面值都為100元的零息票債券，從現(xiàn)在開始，1年后到期的零息票債券A 的當前市場價格為98元；從1年后開始，在2年后到期的零息票債券B的市場價格恰 好也為98元。問：1。從現(xiàn)在開始，2年后到

10、期的零息票債券債券C的當前價格應(yīng)為多少？2.如果PG=97元，當前是否存在套利?如何套利？解：（1）由無套利定價的基本理論（3）知，如果一個自融資交易策略最后具有和 一個證券相同的損益，那么這個證券的價格等于自融資交易策略的成本.由題意知面值為100元，2年后到期的債券C的損益為第一年末0元，第二年 末為100元，所以應(yīng)構(gòu)造相同損益的自融資組合。該組合為（1）購買0。98份一年后 到期的面值為100元的債券A,一年后債券A的損益為100*0.98=98元：（2） 一年后 用從債券A中所獲得的98元再去購買一年后開始,2年到期的面值為100元的債券B， 2年后，債券B的損益為100元。該種融資組

11、合的損益與債券C的損益完全相同，所以債券C的價格應(yīng)該等于自 融資交易策略的成本，即等于0.98 * 98=96.04元。（2）當該種債券價格為97元時，高于于無套利時的定價96.04元，所以該種 債券被高估，當然存在套利機會。并且由買低賣高原則可知投資者以97元應(yīng)該賣空一 份債券C,并且以96.04元買入0.98份債券A，則期初投資者凈掙0.96元：一年后用 債券A所獲得的98元去購買一份債券B,兩年后用債券B的損益去彌補債券C的損益。 這樣投資者凈獲利0.96元。3。2在不確定狀態(tài)下資產(chǎn)的定價金融經(jīng)濟社會中常見的不確定狀態(tài)有以下幾種-資產(chǎn)的未來損益不確定-假設(shè)市場在未來某一時刻存在有限種狀態(tài)

12、-在每一種狀態(tài)下資產(chǎn)的未來損益已知-但未來時刻到底發(fā)生哪一種狀態(tài)不知道例4 假設(shè)有一個無紅利支付的風險證券A，當前的市場價格為100元，1年后的市 場有兩種狀態(tài)，在狀態(tài)1時證券A的價格上升至105元,在狀態(tài)2時證券A的價格下降為95元；同樣也有一個證券B,它在1年后的損益為：在狀態(tài)1時價格上升至105元，在 狀態(tài)2時價格下跌為95元;假設(shè)不考慮交易成本和信用風險，問：1.證券B的當前價格應(yīng)為多少？2。如果證券B的當前價格PB = 99元，當前是否存在套利?如何套利？3。如果證券B的當前價格PB=110元，當前是否存在套利？如何套利？ 解：(1)由同損益同價格理論知，B的合理價格也為100元；如

13、果B為99元，價值被低估，則買進B，賣空A；如果B為110元，價值被高估，則買進A，賣空B.現(xiàn)在考慮如何利用證券A和無風險債券來構(gòu)建一個與證券B損益相同的組合。例5 (資金借貸無成本)假設(shè)有一風險證券A，當前的市場價格為100元，1年后 的市場出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：狀態(tài)1和狀態(tài)2.狀態(tài)1時，A的未來損益為105元，狀態(tài) 2時，95元.有一證券B，它在1年后的未來損益也是：狀態(tài)1時120元，狀態(tài)2時110 元。另外，假設(shè)不考慮交易成本，資金借貸也不需要成本.求證券B的價格？如果證券B的當前價格PB=110元，當前是否存在套利？如何套利？解：(1)用圖表示證券A，證券B和無風險債券一年后的損益狀況如

14、下100風險派券A風險旅券B說金俏貸100風險派券A風險旅券B說金俏貸現(xiàn)在構(gòu)建一個組合，使證券A和無風險債券一年后的損益等于證券B的損益狀況.假設(shè)X份證券A和Y份無風險債券(Y大于0為借出錢，小于0為借入錢)，要使得組合的損 益與證券B的損益相同，則應(yīng)滿足如下式子：1051 120一F + Wo解該方程組得X=1，Y=15,即買入1份證券A，借出15元，則證券B的價格等于1大 100+15=115元.應(yīng)該保證等號兩邊現(xiàn)金流價值相同，方向相反，符號相反.(2)證券B的價格為110元時，小套利定價時的115元，說明證券B被高估，所以存 在套利機會，應(yīng)該買低賣高，即買入證券B，賣空入，借入資金15元

15、。例6：（資金借貸有成本）假設(shè)有一風險證券A,當前的市場價格為100元,1年后的市 場出現(xiàn)三種可能的狀態(tài)：狀態(tài)1、2和3。狀態(tài)1、2和3時，A的未來損益分別為110。25,99。75，90.25元。有一證券B，它在1年后的未來損益也是：狀態(tài)1、2和3時, 分別為125,112.5和109元。另外，假設(shè)不考慮交易成本,資金借貸的年利率為5.06%。（1）B的合理價格為多少呢?（2）如果B的價格為110元，如何套利?解：（1）用圖表示證券A，證券B和無風險債券一年后的損益狀況如下風險證券A岡險證券解：（1）用圖表示證券A，證券B和無風險債券一年后的損益狀況如下風險證券A岡險證券B資金借貸的損益與證

16、券B的損益1相同299. 的損益與證券B的損益1相同299. 7590. 251. 05061. 0506112. 5109現(xiàn)在構(gòu)建一個組合，使證券A和無風險債券一年后的損益等于證券B的損益狀況。假 設(shè)X份證券A和Y份無風險債券（Y大于0為借出錢，小于0為借入錢），要使得組合 ,則應(yīng)滿足如下式子：（其中1. 0506=1+5.06%）125?51.0506125125解此方程組無解!（2）該問題無解！結(jié)束語現(xiàn)在金融經(jīng)濟社會中的金融產(chǎn)品種類頗多，各種金融產(chǎn)品的定價方式也有所不同, 所以導致定價基本理論很多，如絕對定價理論、相對定價理論、風險中性定價理論、一 般均衡定價理論、套利定價理論等.本文只是介紹其中最基礎(chǔ)的無套利定價理論，適用 于初學金融工程的學生。此外，在無套定價理論中除上述幾種定價法之外，還有動態(tài)組合復制技術(shù)來定價、 還有合成金融工具、模仿金融工具定價法，各種定價理論都有各自的適用背景，希望同 學們能多多總結(jié)！下面簡單總結(jié)一下無套利定價原理：無套利定價原理就是金融學，金融工程的核心思想，“同損益同價格”實際上就