微專題8 立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題_第1頁
微專題8 立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題_第2頁
微專題8 立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題_第3頁
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1、微專題8立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題對應(yīng)學(xué)生用書第154頁立體幾何中與角度有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題,常見的命題角度有折疊問題、存在性問題.如圖,已知正方形ABCD的邊長為2,AC與BD交于點(diǎn)O,將正方形ABCD沿對角線BD折起,得到三棱錐A-BCD.(1)求證:平面AOC平面BCD.(2)若三棱錐A-BCD的體積為,且AOC是鈍角,求AC的長.解析(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BDAO,BDCO.折起后仍有BDAO,BDCO,AOCO=O,所以BD平面AOC.因?yàn)锽D平面BCD,所以平面AOC平面BCD.(2)由(1)知BD平面AOC,所以VA-BCD=SAOCBD.又VA-BCD=,所以O(shè)AOCsin

2、AOCBD=,即sinAOC 2=,所以sinAOC=.因?yàn)锳OC是鈍角,所以AOC=120.在AOC中,由余弦定理,得AC2=OA2+OC2-2OAOCcosAOC=()2+()2-2cos 120=6,所以AC=.點(diǎn)撥對于翻折問題,應(yīng)明確:在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化.解決這類問題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值,這是解決翻折問題的主要方法.【微點(diǎn)練】已知在長方形ABCD中,AB=3,AD=4.現(xiàn)將長方形沿對角線BD折起,使AC=a,得到一個(gè)四面體ABCD,如圖所示.(1)在折疊的過程中,直線AB與CD能否垂直?若能,求出相應(yīng)a的值;若不能,請說明理由.(2)求四面體ABCD體積的最大值.解析(1)直線AB與CD能垂直.因?yàn)锳BAD,若ABCD,因?yàn)锳DCD=D,所以AB平面ACD,又因?yàn)锳C平面ACD,從而ABAC.此時(shí),a=,即當(dāng)a=時(shí),有ABCD.(2)由于BCD面積為定值,所以當(dāng)點(diǎn)A到平面BCD的距離最大,即當(dāng)平面ABD平面BCD時(shí),該四面體的體積最大,此時(shí),過點(diǎn)A在平面ABD內(nèi)作AHBD,垂足為H,則有AH平面BCD,AH就是該四面體的高.在ABD中,AH=,所以SBCD=34=6,此

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