線性代數(shù)各要點整理

1、第一章行列式主要知識點一、行列式的定義和性質(zhì)7.余子式L和代數(shù)余子式的定義2行列式按一行或一列展開的公式I牛吐二工嶺牛八口那啊二忖I1 ）dhJ 一一勺* k r k* o一一4nVa行Lo k i行列式的性質(zhì)）葉2） 用數(shù)k乘行列式的某一行（列）所得新行列式二原行列式的k倍.推論3） 互換行列式的任意兩行（列）所得新行列式等于原行列式的相反數(shù)？推論4） 如果行列式中兩行（列）對應元素成比例，則行列式值為0.5 ）行列式可以按任一行（列）拆開？6）行列式的某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，所得新行列式與原行列式的值相等1、行列式的計算1 ?二階行列式和三角形行列式的計算?對一般數(shù)字行列式

2、，利用行列式的性質(zhì)將其降階以化成二階行列式或三角形（或?qū)切危┬辛惺降挠嬎銓π辛惺街杏幸恍谢蛞涣兄兄挥幸粋€或兩個非零元的情況，用這一行或一列展開4行列式中各行元素之和為一個常數(shù)的類型？范德蒙行列式的計算公式第二章矩陣主要知識點一、矩陣的概念1 ?要分清矩陣與行列式的區(qū)別幾種特殊矩陣（0矩陣，單位陣，三角陣，對角陣，數(shù)量陣）二、矩陣的運算1 ?矩陣A,B的加、減、乘有意義的充分必要條件2. 矩陣運算的性質(zhì) 比較矩陣運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法等）的性質(zhì)與數(shù)的運算性質(zhì)的相同點和不同點（加法、乘法的交換律和 結(jié) 合律；乘法矢于加法的分配律）重點是矩陣乘法沒有交換律（由此產(chǎn)生了矩陣運算公式與數(shù)的運算的

3、公式的不同點）（肚卯二屮別 +於心 +引（小二護 +胡乩護；（AB k = ABAB艸計；（4 士卯二才 土 2 蟲 + 轉(zhuǎn)置對稱陣和反對稱陣1 ） 轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（A Bf=A B,（財）二 2 :（朋）二2）若 AT=A （ AT= - A ），則稱 A 為對稱（反對稱）陣逆矩陣2）方陣A的伴隨陣2）方陣A的伴隨陣,的定義Ax?當（當方陣A可逆時，： 卩衛(wèi)的矢 系3 ）重要結(jié)論：（4）1尸5）消去律：設方陣（4）1尸5）消去律：設方陣5. 方陣的行列式冏二國；n二八|41I.才刖;AA可逆，且AB=AC （ BA=CA，則必有B=G （若不知A可逆，僅知 Amo結(jié)論不一定成 立。）也卜國卩丨；

4、I胡洌卅分快矩陣矩陣運算時分快的原則；分快矩陣的運算規(guī)則；分快矩陣的轉(zhuǎn)置A血AjtT站禺起Ai去遇丈兀 上揮起J三、矩陣的初等變換和初等矩陣初等變換的定義和性質(zhì)方陣經(jīng)初等變換后的行列式是否變化？（分別就三種初等變換說明行列式變化的情況）初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換必能各矩陣A化為標準形一 ，其中r為矩陣A的秩初等矩陣的定義和性質(zhì)1）初等矩陣的定義) 初等變換和矩陣乘法之間的尖系m 階初等陣二一丁和一系歹【n階初等陣Qi?m 階初等陣二一丁和一系歹【n階初等陣Qi?Q使Er昭彩彩 ? s ；四、矩陣的 k 階子式和矩陣秩的概念 ，

5、求矩陣秩的方法五、矩陣方程的標準形及解的公式 磁二 E 二 X 二丹XA 二第三章向量空間主要知識點一、 n 維向量線性運算的定義和性質(zhì)；設 ? : 二是一組 n 維向量構(gòu)成的向量組。如果存在一組不全為零的數(shù) 使得“?I則稱向量組X、線性相尖。否則稱向量組X 3廠0線性無矢二、n 維向量組的線性相矢性m 個 n m 個 n 維向量丿線性相尖的充分 : 是其余向量的線性組合 . 必要條件是至少存在某個(24)如果向線性無尖，而 f?線性相矢的向量組再增加向量所得的新向量組必線性?(部分相 若向量組-線性無矢，則接長向量組線性無矢的充分必要條件是其中任意一個向量都不能表示為其余向量的線性組合件二

6、( 砌，角叫 . 險葉 1), 2 12 艸必線性無発判斷向量組的線性相尖性的方法一個向量 a 線性相矢 J ：；? ；含有零向量的向量組必線性相尖；向量個數(shù)二向量維數(shù)時， n 維向量組 向量維數(shù)時，向量組必線性相尖；若向量組的一個部分組線性相矢 ，則向量組必線性相尖；若向量組線性無尖，則其接長向量組必線性無矢；向量組線性無矢，至向量組的秩二所含向量的個數(shù)(7)向量組線性無矢，至向量組的秩二所含向量的個數(shù)向量組線性相矢 L 向量組的秩 V 所含向量的個數(shù)；(8) 向量組“；線性相矢 ( 無矢)的充分必要條件是齊次方程組則坷 +血島+?+召聳二 0 有( 沒有)非零解?三、向量組的極大無矢組及秩

7、極大無矢組的定義向量組的秩求向量組的秩和極大無矢組，并將其余向量由該極大無矢組線性表示的的方法四、子空間的定義 基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標第四章線性方程組、線性方程組的三種表示方法旳円+ 4 吃+?+孤兀二勾?務護q十務內(nèi)出+久鳳二耳知? 做其中.4二a21 XLa0LUi-二、齊次線性方程組1 ? XLa0LUi-二、齊次線性方程組1 ?齊次方程組解的性質(zhì)設a, 3都是AX二0的解，貝UGa+ 63也是Ax二0的解（C, C2為任意常數(shù)）齊次方程組有非零解的條件1） 齊次方程組AX二0有非零解的充分必要條件是 r （A） v未知數(shù)的個數(shù)（即矩陣 A的列數(shù)）.2） n個未知數(shù)n個方程的齊次

8、方程組 AX= 0有非零解的充分必要條件是|A|二0.3） 設A是mxn階矩陣.若m n,則齊次方程組AX= 0必有非零解.（這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1）齊次方程組AX二0的基礎解系的概念重要結(jié)論：齊次方程組 AX=0的任意（A）個線性無矢的解都構(gòu)成該齊次方程組的基礎解系；2）齊次方程組AX二0的基礎解系的求法3） 齊次方程組AX二0的通解公式 三、非齊次方程組1 ?非齊次方程組解的性質(zhì)（1 ）設n 1, n 2都是Ax二b的解，貝9 n 1 n 2是它的導出組 Ax二0的解.要）(2)設n 1, n 2都是Ax= b的解，則當ki + k2= 1時？ ki n

9、 1 + kzn 2也是Ax= b的解.3） 設 n 是 Ax 二 b 的一個解 ，是它的導出組 Ax 二 0 的解，則：爲是 Ax 二 b 的解 .矢于非齊次方程組解的討論定理： n 個未知數(shù)， m 個方程的線性方程組 AX=3 中，（系數(shù)矩陣 A 是 mxn 階矩陣）1）當且僅當 ? （未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組 AX=3 有惟一解；2）當且僅當 沁奩一范縄吃總 （未知數(shù)的個數(shù)）時 ，方程組AX=3 有無窮多解；3）當且僅當心沁【 3 時，方程組 AX= 3 無解 .從以上定理可見線性方程組AX二3有解的充分必要條件是呎：那嘆總.當線性方程組AX=3方程的個數(shù)二未知數(shù)的個數(shù)時，該方程組有惟一

10、解的充分必要條件是系數(shù)行列式|A|羊0.非齊次方程組 AX= 3的通解的結(jié)構(gòu) 龍二礦+G筍+。2八2 +卅q/i其中是方程AX=3的一個特解，r二r (A)為系數(shù)矩陣的秩，總餘為哥為它的導岀組(與它對應的)齊次方程組 AX= 0的基礎 解系；第五章特征值與特征向量主要知識點一、特征值與特征向量特征值與特征向量的定義要點 ： 入是 n 階方陣 A 的特征值 ，是指存在非零向量爲使得 Aa=A% 這時 ，稱 a 為矩陣 A 屬于特征值入的特征向量 ?由此知 ， 入是n 階方陣 A 的特征值： , 這時，齊次方程組(入 E? A) x=0 的非零解都是矩陣 A 屬于特征值入的特征向量?矢于特征值、特

11、征向量的性質(zhì)A與A有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；設di, A都是矩陣A屬于特征值 入的特征向量，ki, k2是數(shù)，只要技廠1則kiai+k 2a2也是矩陣A屬于特征值入的特征向量；設 n 階方陣 A 的 n 個特征值為入 - 入 2, ，入 n, 則(1)石+耳十入+松口 * .卡占期；幾二 XI 矩陣 A 屬于不同特征值的特征向量線性無矢 ;5 )設a是矩陣A屬于特征值 入的特征向量，貝 Ua是矩陣f ( A)屬于特征值f (入)的特征向量，其中/ ( X) = ( T +嗎”+?6)設入是可逆矩陣 A 的特征值 . 則入工 0，且是矩陣 / 的特征值 .特征值、特征向量的求法二

12、、相似矩陣相似矩陣的定義相似矩陣的性質(zhì)1 ) 反身性，對稱性，傳遞性 ;2）若方陣 A 與 B 相似，且 .硬點粥 J 札：亀?: %,trA 表不矩陣 A 的跡 E：A 與入爾,，入n為方陣A的n個特征值；但不一定j 有相同的特征值，但 A3）若方陣 A 與 但不一定j 有相同的特征值，但 AA注意：反之，若 A 與 B 有相同的特征值， A 與 B 不一定相似；例如與 B 不相似 .方陣A的對角化問題入n是方陣A的1） n階方陣A能與對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無矢的特征向量；設 入-入2,n個特征值，Pi, P2Pn依次是方陣A的屬于特征值入1,入2,，入n的n個線性無尖的特征

13、向量諾令PaP1 Pl 貝! Io? o4BL PXAP =4BL 0 兀2）若方陣A有n個不同的特征值（即特征方程無重根），則A必能與對角陣相似 ？（這是A能與對角陣相似的充+ a + +a“.iiHi分條件，不是必要條件）單位向量向積的定義：設2向量的長度量的內(nèi)積和正交區(qū)憶車A正交向量組的定義及其性質(zhì)施密特正交化手續(xù)正交矩陣1）正交矩陣的定義；如果 n階方陣A滿足AA二E,則稱它為正交陣2） 正交矩陣的性質(zhì)：設方陣 A為正交陣，則|A|二士 1; A必可逆，且A二如果A, B都是n階正交陣，則AB也是正交陣；A是正交陣的充分必要條件是 A的列（行）向量組構(gòu)成口的標準正交基四實對稱矩陣1 ?

14、實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)；實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交；實對稱矩陣必能與對角陣相似，且存在正交陣P,使得P1AP為對角形.任給實對稱陣A,如何求出正交陣P,使得P1AP為對角形？第六章實二次型、二次型及其矩陣表示、矩陣的合同三、用正交變換化二次型為標準形1）定理對任意實二次型 ? “ ，總存在正交變換 x=Py, 使得該二次型化為標準型其中入1,入2,，入n為實對稱矩陣 A的n個特征值.此定理說明：對任意實對稱矩陣A,總存在正交陣P,使得其中入X入2,，入n為實對稱矩陣A的n彳、特征值？（即實對稱矩陣A必能與對角陣 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark32 o Current Document I 九0 00爲 3 0?I W M A. 00 忑合同？2）要掌握用正交變換化二次型為標準形的方法配方法化二次型為標準形？慣性定律正定二次型與正定矩陣1 ）定義 2 ）二次型正定（方陣正定）