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1、2023屆高三數(shù)學(xué)一輪大題專練15導(dǎo)數(shù)(數(shù)列不等式的證明1)1已知函數(shù)(1)若,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點;(2)若,()證明:時,;()證明:(其中,且證明:(1)若,則,當(dāng)時,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點;(2)若,則,(),令,易知在上單調(diào)遞增,即,在上單調(diào)遞減,即得證;()當(dāng),時,又,故,則,由()知,時,令,以上各式相加得,即,即,即得證2已知函數(shù)(1)求曲線在點,(1)處的切線方程;(2)求證:解:(1)函數(shù),(1),(1),曲線在處的切線方程為:,;(2)證明:令,則,函數(shù)在單調(diào)遞增,(1),函數(shù)在單調(diào)遞增,(1)當(dāng)時:,令,則化為:,3設(shè)函數(shù)(1)
2、若,求的極值;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)若,證明:解:(1)的定義域是,當(dāng)時,令,解得:,令,解得:,在遞減,在遞增,(1),無極大值(2),當(dāng)時,若,則,若,則,在遞減,在遞增;當(dāng)即時,若,則或,若,則,在,遞減,在,遞增;當(dāng),即時,恒成立,在上單調(diào)遞增;當(dāng)即時,若,則或,若,則,在遞減,在,遞增,綜上:當(dāng)時,在遞增,在遞減,在,遞增,當(dāng)時,在遞增,當(dāng)時,在遞增,在,遞減,在遞增,當(dāng)時,在遞減,在遞增(3)由(1)知在遞減,時,(1),令,得,即,累加得:,4已知函數(shù),(1)若不等式對恒成立,求實數(shù)的范圍;(2)若正項數(shù)列滿足,數(shù)列的前項和為,求證:解:(1)不等式對恒成立,對恒成立,設(shè)
3、,則,令,解得,令,解得,故在遞增,在遞減,(1),的取值范圍是,;(2)證明:取,由(1)可知對恒成立,則,數(shù)列是常數(shù)列,原結(jié)論成立5已知函數(shù),()討論的單調(diào)性;()證明:解:()由于,故在上單調(diào)遞減()證明:當(dāng)時,由()知在上單調(diào)遞減注意到(1),則當(dāng)時,恒有取,有,即,又,因此6函數(shù)(1),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若在,上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(3)令函數(shù),求證:解:(1),當(dāng),時,當(dāng),時,所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,的單調(diào)遞減區(qū)間是,(2)不等式恒成立等價于,令,則由,可得到,可以看作是關(guān)于的一次函數(shù),單調(diào)遞增,令,對于,恒成立,只需證明即可,當(dāng),則,在上單調(diào)遞減,又,所以此時恒成立當(dāng)時,恒成立;當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以在上存在唯一的,使得,當(dāng)時,當(dāng),時,所以在時單調(diào)
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