機(jī)械制圖第五章直線與平面平面與平面的相對(duì)位置

1、機(jī)械制圖第五章直線與平面平面與平面的相對(duì)位置第1頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四本 章 目 錄5-1 平行問題5-2 相交問題5-3 垂直問題5-4 綜合問題解題示例第2頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四5-1 平行問題一、 直線和平面平行二、 平面和平面平行 本章介紹它們的投影特性和作圖方法。 直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置可能是平行、相交或垂直。第3頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四一、 直線和平面平行定理 如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。QABCD第4頁，共61頁，2022年，5

2、月20日，2點(diǎn)29分，星期四 有關(guān)直線與平面平行的作圖問題：作直線已知平面。作平面已知直線。判斷已知直線、平面是否平行。第5頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四22例1 含點(diǎn)I(1,1)作平面與直線AB(ab,ab)平行。1313aab bX 作 法(1) 過點(diǎn)作直線與AB平行(2)含直線作一任意平面。圖 5-1第6頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四例 2 判斷直線AB與是否平行。圖 5-2 ab321ab312x 作 法 (1)在平面任一投影中，作面內(nèi)直線CFAB的同面投影。(2) 求CF的另一投影，并判斷直線CF是否AB 。dfcfdc第7頁，共6

3、1頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四特殊情況 若直線與某一投影面的垂直面平行，則它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队耙欢ㄆ叫小直線投影平面有積聚性的同面投影,它們?cè)诳臻g必互相平行第8頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四特殊情況 若直線與平面同時(shí)垂直某一投影面，則它們空間一定平行。X直線與平面對(duì)某一投影面同時(shí)有積聚性,它們?cè)诳臻g必互相平行。PH第9頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四二、 平面和平面平行定理 如果一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。PQABCDC1D1A1B1第10頁，共61頁，2022年，5月20

4、日，2點(diǎn)29分，星期四 有關(guān)兩平面平行的作圖問題：作平面已知平面。判斷兩已知平面是否平行。第11頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四例 含點(diǎn)A1作平面平行定平面 (A2B2A2C2)。c2Xa1a2 b2 b2 a1a2c2b1 b1c1 c1圖 5-3 第12頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四c2Xa2 b2 b2a2c2 b1b1a1c1 a1 c1例 判斷兩平面是否平行。 分析：若兩面相互平行，則它們有一對(duì)相互平行的相交直線。第13頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四討論 相互平行的兩投影面垂直面，它們的一對(duì)有積聚性的同面投影

5、必平行。xacabcb123123dd圖 5-4 若兩正垂面相互平行，則它們的正面投影相互平行。第14頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四 若兩鉛垂面相互平行，則它們的水平投影相互平行。X第15頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四x123123 分析：若兩面相互平行，則它們的有積聚性的同面投影相互平行。PV例 含點(diǎn)A1作平面平行平面 。aa第16頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四5-2 相交問題一、特殊線、面與一般直線或平面的相交二、一般直線與一般平面的相交三、兩一般位置平面的交線 第17頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)2

6、9分，星期四 相 交 問 題 直線與平面不平行時(shí)即相交，交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)； 兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面的共有線。第18頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四一、特殊位置線、面與一般位置直線或平面的相交 交點(diǎn)、交線為線與面、面與面兩者所共有，如果其中有一個(gè)處于垂直投影面的特殊位置，則可利用其投影的積聚性直接求出交點(diǎn)或交線的一個(gè)投影，另外的投影可根據(jù)其在線上（或在面內(nèi)）特點(diǎn)按投影關(guān)系求出。第19頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四 如果平面為投影面平行面或投影面垂直面，則可利用平面投影的積聚性直接定出交點(diǎn)的一個(gè)投影。1.特殊位置平面與一般位置

7、直線相交第20頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四例 求直線AB與鉛垂面EFGH的交點(diǎn)K。K 求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見性。第21頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四（1） 求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見性（不重疊的部分都是可見的）。（2）交點(diǎn)是直線可見部分與不可見部分的分界點(diǎn)。（3）判別方法 A.直接觀察; B.利用交叉直線的重影點(diǎn)。 關(guān)于直線可見性的判別第22頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四k1(2)xcedabcabed例 求直線AB與鉛垂面CDE的交點(diǎn)K。 分 析

8、 利用鉛垂面水平投影的積聚性求交點(diǎn)圖 5-5 12k第23頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四例 求AB與P平面的交點(diǎn)。 分 析 利用PV的積聚性求交點(diǎn)。kabPHPVabxpx圖 5-6 k第24頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四1xceda（b）cabed例 求正垂線AB與CDE的交點(diǎn)K。 分 析 利用線V面投影的積聚性確定交點(diǎn)的一個(gè)投影，根據(jù)點(diǎn)在面上求出交點(diǎn)的另一投影。12k2k特殊位置直線與一般位置平面相交第25頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四 兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面的共有線，是平面可見部分與不可見部分的分

9、界線。 兩平面的交線是直線。因此，求作兩平面交線的方法是：求出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，在兩個(gè)平面的公共范圍處連出交線。兩平面相交第26頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四2. 特殊位置平面與一般位置平面的交線 當(dāng)相交兩平面之一為特殊位置平面時(shí)，可利用它的投影的積聚性直接求出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，然后連成交線。第27頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四deaab bXedffcckl例 求DEF(H面)與ABC的交線KL。 分 析 利用dfe的積聚性，求兩平面交線。k1(2)12（1） 求出交線后，對(duì)于兩平面同面投影重疊的部分，要判別可見性（不重疊的部分都是可見的）。（

10、2）交線是可見部分與不可見部分的分界線。（3）判別方法 A.直接觀察; B.利用交叉直線的重 影點(diǎn)。圖 5-7 l第28頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四(a) 全交(b) 互交兩平面相交的兩種情況 全交：一個(gè)平面全部穿過另一個(gè)平面; 互交：兩個(gè)平面的邊線互相穿過。第29頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四 分 析 利用水平面efg的積聚性求兩平面交線。ecgf1efg1dbakllabcdkx例 求EFG(H面)與平面ABCD的交線，并判斷可見性。圖 5-8 本題中兩平面圖形只有部分互交。求交時(shí)要注意除去交線多余的部分。第30頁，共61頁，2022年

11、，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四 當(dāng)兩平面同時(shí)垂直某一投影面時(shí)，它們的交線也是此投影面的垂直線。第31頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四xegfefgcbaabc例 求兩面的交線。第32頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四各種位置平面間的交線第33頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四例 3 求矩形平面與兩個(gè)共邊三角形平面的交線。 分 析 利用水平面投影的積聚性求兩平面交線。 水平面與兩三角形的交線是水平線，并且與相應(yīng)的底邊平行。xcs1abcabs12圖 5-10 2第34頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四當(dāng)直

12、線和平面都處于一般位置時(shí)，交點(diǎn)的求法是：含已知直線作輔助平面;求輔助平面與已知平面的交線;交線與已知直線的交點(diǎn)即為所求。為了作圖方便，應(yīng)選擇特殊位置平面作為輔助平面。二、一般位置直線與一般位置平面的相交Pk第35頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四PV例1 求直線DE與平面ABC的交點(diǎn)。aaggffbbcckXddeek圖 5-12 第36頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四aabbcckXddeek1(2)3(4)4321例1 求直線DE與平面ABC的交點(diǎn)。 利用兩交叉直線的重影點(diǎn)判別直線的可見性。圖 5-12 第37頁，共61頁，2022年，5月20

13、日，2點(diǎn)29分，星期四解法一空間分析： 含點(diǎn)與一直線作平面，求與另一直線的交點(diǎn)。af23g41x2a34k1PVfgkbb例2 含點(diǎn)A作直線AB使與交叉直線、都相交。圖 5-13 ABK第38頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四B解法二空間分析： 含點(diǎn)和兩直線分別作面，求兩面交線與一直線的交點(diǎn)。解法三空間分析： 將一直線變成投影面垂直線，利用積聚性，作直線AB與二交叉直線垂直相交AK例2 含點(diǎn)A作直線AB使與交叉直線、都相交。圖 5-14 第39頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四例 3 求AB與兩三角形的交點(diǎn)。 作 法 作正垂面Q求AB與兩三角形的交點(diǎn)

14、。abf1xa3412f2k2k1e1e2f1f2k1e1k2e2b3124(m) nQVnm圖 5-15 第40頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四三、兩一般位置平面的交線 常用方法：1 線面交點(diǎn)法 2. 輔助平面法第41頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四1. 線面交點(diǎn)法 當(dāng)相交兩平面都用平面圖形表示，且同面投影有互相重疊的部分時(shí)，可用求直線和平面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)。第42頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四QV例 求ABC和DEF的交線。（求交點(diǎn)）aagffbbcckXddeehghkRVllaaffbbcckXdde

15、ek圖 5-16 第43頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四aaffbbcckXddeekll121(2)3(4)34例 求ABC和DEF的交線。（判別可見性）圖 5-16 fkaafbbccXddeellk第44頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四 若線段的投影與另一平面圖形的投影不重疊，就表明該線段在空間不直接與平面圖形相交（需將平面圖形擴(kuò)大后才有交點(diǎn)），則不宜選這類直線來求交點(diǎn)。使用線面交點(diǎn)法時(shí)注意：第45頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四2. 輔助平面法圖 5-17 作圖原理求P、Q平面的交線時(shí)，任作平面S1，使與Q相交得交

16、線L1，與P相交得交線L2；L1、L2的交點(diǎn)I為P、Q、S1三面的共有點(diǎn)，即P、Q交線上的一個(gè)點(diǎn)。再作平面S2，又可得到交線上的另一個(gè)交點(diǎn)。連接I 即P、Q的交線。第46頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四b例 求ABC和平面(L1 L2)的交線。caxabc112323S1VS2Vl2l1l2l1k1k1圖 5-18 k2k2第47頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四5-3 垂直問題一、 直線和平面垂直二、 兩平面垂直第48頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四一、 直線和平面垂直定理 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么

17、這條直線垂直于這個(gè)平面。 直線L平面P內(nèi)的兩相交直線AB、CD, 則LP面LBACDP第49頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四直線與平面垂直的投影特性：直線的水平投影平面內(nèi)的水平線的水平投影，直線的正面投影平面內(nèi)的正平線的正面投影。cCKAkeMBEFfabcHecbaabffeddkkmmX mk ef, mk ad, MKABC所確定的平面。第50頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四 有關(guān)直線與平面垂直的作圖問題：作直線已知平面；作平面已知直線。判斷已知直線、平面是否垂直。第51頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四QH例1 含點(diǎn)

18、E作直線垂直于ABC，并求垂足。aabbcekcke12213443ffX圖 5-21 分 析 先求平面的垂線，然后求垂線與平面的交點(diǎn)。第52頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四(b) 已知例 求C點(diǎn)到直線AB的距離。（分析）aabbccX(a) 分析示意圖PBAKC解題步驟:1.過C點(diǎn)作P面直線AB;2.求AB與P面的交點(diǎn)K;3.求垂線CK的實(shí)長。第53頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四PVaabbcdce1122kckk0CK實(shí)長 例 求C點(diǎn)到直線AB的距離。（作圖）Xedk解題步驟:1.過C點(diǎn)作P面直線AB;2.求AB與P面的交點(diǎn)K;3.求垂線CK的實(shí)長。第54頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四 例2 已知ABBC，求bc。aabbcc11223434XABCP 分 析1.過B點(diǎn)作P面直線AB 則BC一定在P面內(nèi)；2.在P面內(nèi)求C點(diǎn)。圖 5-22 第55頁，共61頁，2022年，5月20日，2點(diǎn)29分，星期四二、 兩平面垂直定理 如一直線一平面，則包含這直線的一切平面都該平面。反之，如兩平面互相垂直，則從第一平面內(nèi)的任意一點(diǎn)向第二平面所作的垂線，必定在第一平面