最小多項式課件

1、關(guān)于最小多項式第一張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式由哈密爾頓凱萊定理， 是A的特征多項式，則 因此，對任定一個矩陣 ，總可以找到一個多項式 使 多項式 以A為根.引入本節(jié)討論，以矩陣A為根的多項式的中次數(shù)最低的那個與A的對角化之間的關(guān)系.此時，也稱第二張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式一、最小多項式的定義定義：設(shè) 在數(shù)域P上的以A為根的多項為A的最小多項式.式中，次數(shù)最低的首項系數(shù)為1的那個多項式，稱第三張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式二、最小多項式的基本性質(zhì)1.（引理1）矩陣A的最小多項式是唯一的.證：設(shè) 都是A的最小多項

2、式.由帶余除法， 可表成其中 或 于是有第四張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式 由最小多項式的定義， 即， 同理可得， 又 都是首1多項式, 故 第五張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式2.（引理2）設(shè) 是矩陣A的最小多項式，則以A為根 證：充分性顯然，只證必要性由帶余除法， 可表成 其中 或 于是有 第六張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式由最小多項式的定義， 由此可知：若 是A的最小多項式，則 整 除 任何一 個以A為根的多項式，從而整除A的特征多項式. 即3. 矩陣A的最小多項式是A的特征多項式的一個因子.第七張，PPT共二十

3、二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式例1、數(shù)量矩陣 kE的最小多項式是一次多項式特別地，單位矩陣的最小多項式是； 零矩陣的最小多項式是. 反之，若矩陣A的最小多項式是一次多項式，則A一定是數(shù)量矩陣.例2、求 的最小多項式.第八張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式解：A的特征多項式為又 A的最小多項式為 第九張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式4. 相似矩陣具有相同的最小多項式.證：設(shè)矩陣A與B相似， 分別為它們的最小多項式.由A相似于B，存在可逆矩陣T , 使 從而 也以B為根，同理可得 從而 又 都是首1多項式， 第十張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2

4、022年6月9 最小多項式反之不然，即最小多項式相同的矩陣未必相似.如：的最小多項式皆為 但A與B不相似. 注：即所以，A與B不相似.第十一張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式5.（引理3）設(shè)A是一個準(zhǔn)對角矩陣并設(shè) 的最小多項式分別為 . 則A的最小多項式為 的最小公倍式.證：記首先， 即A為 的根. 第十二張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式所以 被A的最小多項式整除.則 從而 其次，如果從而 故 為A的最小多項式.第十三張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式若A是一個準(zhǔn)對角矩陣且 的最小多項式為則A的最小多項式是為推廣：特別地，若兩

5、兩互素，即則A的最小多項式是為第十四張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式6.（引理4） 級若當(dāng)塊的最小多項式為 證：J的特征多項式為 第十五張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式而 的最小多項式為 第十六張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式6.（定理13） 與對角矩陣相似 的最小多項式是P上互素的一次因式的積. 證：由引理3的推廣，必要性顯然. 只證充分性. 根據(jù)矩陣與線性變換之間的對應(yīng)關(guān)系， 設(shè)V上線性變換 在某一組基下的矩陣為A，則 則的最小多項式與A的最小多項式相同,設(shè)為第十七張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式若為P上互素的一次因式的乘積：則 其中 （此結(jié)論的證明步驟同定理12）把 各自的基合起來就是V的一組基.從而A相似于對角矩陣.特征向量.所以, 在這組基下的矩陣為對角矩陣.在這組基中，每個向量都屬于某個 ， 即是的第十八張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式8. 與對角矩陣相似的最小多項式?jīng)]有重根.練習(xí)：求矩陣 的最小多項式.第十九張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月9 最小多項式又 的最小多項式為 解： 的特征多項式而 第二十張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于20