概率和概率分布(3)課件

1、關(guān)于概率與概率分布 (3)第一張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月5.1 隨機(jī)事件及其概率基本概念：1. 試驗：在相同條件下，對事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒灐?. 事件：隨機(jī)試驗的每一個可能結(jié)果。3. 隨機(jī)事件：在同一組條件下，每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件。4. 概率：是某一事件在試驗中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量。第二張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月5.2 概率的性質(zhì)與運算法則 （1） 0P(A) 1 （2）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0 P() = 1，P()= 0 （3） 若A與B互斥，則 P(AB)= P(A)+P(B) 對于任意兩個隨機(jī)事件 P(AB)=

2、 P(A)+P(B)-P（AB） 第三張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月條件概率： 在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率，稱這種概率為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為 乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B) 或P(AB)=P(A)P(B|A)P(B)P(AB)P(A|B) =第四張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】設(shè)有1000件產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？ 解：設(shè) Ai 表示“第 i 次抽到的是次品” (i=1,2)，所求概率為P(A1A2)第五張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月事件的

3、獨立性1. 一個事件的發(fā)生與否并不影響另一個事件發(fā)生的概率，則稱兩個事件獨立2. 若事件A與B獨立， 則P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) 3. 概率的乘法公式可簡化為 P(AB)=P(A)P(B) 推廣到n個獨立事件，有 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2) P(An) 第六張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月全概率公式和貝葉斯公式 設(shè)事件A1，A2，An 兩兩互斥， A1+A2+ An=（滿足這兩個條件的事件組稱為一個完備事件組），且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，則對任意事件B，有我們把事件A1，A2，An 看作是引起事件B發(fā)生的所有可能原因，事件B 能且

4、只能在原有A1，A2，An 之一發(fā)生的條件下發(fā)生，求事件B 的概率就是上面的全概公式第七張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】某車間用甲、乙、丙三臺機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，求任取一個是次品的概率。 解：設(shè) A1表示“產(chǎn)品來自甲臺機(jī)床”， A2表示“產(chǎn)品來自乙臺機(jī)床”， A3表示“產(chǎn)品來自丙臺機(jī)床”， B表示“取到次品”。根據(jù)全概公式有第八張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月貝葉斯公式（逆概率公式）與全概公式解決的問題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因

5、設(shè)n個事件A1，A2，An 兩兩互斥， A1+A2+ An= (滿足這兩個條件的事件組稱為一個完備事件組)，且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，則第九張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】某車間用甲、乙、丙三臺機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，如果取到的一件產(chǎn)品是次品，分別求這一產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率 解：設(shè) A1表示“產(chǎn)品來自甲臺機(jī)床”， A2表示“產(chǎn)品來自乙臺機(jī)床”， A3表示“產(chǎn)品來自丙臺機(jī)床”， B表示“取到次品”。根據(jù)貝葉斯公式有：第十張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年

6、6月隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的概念二、離散型隨機(jī)變量的概率分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布第十一張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月隨機(jī)變量的概念1. 一次試驗的結(jié)果的數(shù)值性描述2. 一般用 X、Y、Z 來表示3. 在同一組條件下，把每次試驗的結(jié)果都列舉出來，即把X的所有可能值x1,x2,xn都列舉出來，其有確定的概率P(x1),P(x2),P(xn)。 則X稱為P(X)的隨機(jī)變量，P(X)稱為隨機(jī)變量X的概率函數(shù)。4. 根據(jù)取值情況的不同，分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量第十二張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月離散型隨機(jī)變量的概率分布X = xix1 ，x2 ， ，xnP

7、(X =xi)=pip1 ，p2 ， ，pn1. 列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值2. 列出隨機(jī)變量取這些值的概率3. 通常用下面的表格來表示 P(X =xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi00第十三張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月P【例】如規(guī)定打靶中域得3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射擊，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2,3這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X = xi0 1 2 3P(X=xi) pi0.05 0.10 0.55 0.30第十四張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月離散型

8、隨機(jī)變量的概率分布 01分布：離散型隨機(jī)變量X只可能取0和1兩個值。X 1 0P(x) p qP(X=1) = p P(X=0) = q p, q 0 p + q = 1第十五張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p0.05，合格率為q=1-p=1-0.5=0.95。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X = xi0 1P(X=xi)=pi0.05 0.950.5011xP(x)第十六張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月均勻分布 一個離散型隨機(jī)變量取各個值的概率相同【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)是個離

9、散型隨機(jī)變量，其概率分布為X = xi1 2 3 4 5 6P(X=xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/601/6P(x)1x23456第十七張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）數(shù)學(xué)期望：在離散型隨機(jī)變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度第十八張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月（2）方差與標(biāo)準(zhǔn)差 方差：隨機(jī)變量X的每一個取值與期望值的離 差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為D(X)標(biāo)準(zhǔn)差：隨機(jī)變量方差的平方根第十九張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月財務(wù)分析中的投資風(fēng)

10、險問題【例】一位投資者有一筆現(xiàn)金可用于投資，現(xiàn)有 兩個投資項目可供選擇。項目A和B有如下 資料可供參考。試比較哪個投資項目較佳？回報率x(%)可能性(p)預(yù)期回報率5.56.57.58.50.250.250.250.25合計11.3751.6251.8752.1257項目A第二十張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月回報率x(%)可能性p預(yù)期回報率456789100.050.10.150.40.150.10.05合計1項目B0.20.50.92.81.20.90.57第二十一張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月解：比較哪個投資項目較好，要看哪個項目的預(yù)期回報率高、風(fēng)險小。E(x)=

11、7項目B的預(yù)期回報率為 項目A的預(yù)期回報率為E(x)= 7項目A的標(biāo)準(zhǔn)差為項目B的標(biāo)準(zhǔn)差為第二十二張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 期望值或平均數(shù)衡量平均回報率或收益率 方差或標(biāo)準(zhǔn)差反映每一個可能出現(xiàn)的回報率與平均回報率的平均差異。 方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，回報率的變化越大，風(fēng)險越高；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，回報率的變化越小，風(fēng)險越低；當(dāng)投資回報率相等時，風(fēng)險較小的項目為最佳選擇當(dāng)投資回報率不相等時，通過離散系數(shù)來衡量風(fēng)險。第二十三張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】如果投資項目A的預(yù)期回報率為7%，標(biāo)準(zhǔn)差為5%；投資項目B的預(yù)期回報率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為7%，問哪個投資風(fēng)險較大？ 解

12、：項目A的離散系數(shù)V = 0.05/0.07 = 0.714項目B的離散系數(shù)V = 0.07/0.12 = 0.583項目A每單位回報率承受0.714單位的風(fēng)險，項目B每單位回報率承受0.583單位的風(fēng)險。因此，A的風(fēng)險較大。第二十四張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月常見的離散型概率分布超幾何分布離散型隨機(jī)變量的概率分布泊松分布二項分布第二十五張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二項分布二項分布與貝努里試驗有關(guān)貝努里試驗具有如下屬性試驗包含了n 個相同的試驗每次試驗只有兩個可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率 p 對每次試驗結(jié)果是相同的；“失敗”的概率 q 也相同，

13、且 p + q = 1試驗是相互獨立的試驗“成功”或“失敗”可以計數(shù)第二十六張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)X為n次重復(fù)試驗中“成功”出現(xiàn)的次數(shù)，X 取 x 的概率為二項分布有兩個參數(shù)，分別為n，p，故二項分布記作 XB（n，p） E(X) = np D(X) = npq = np(1-p)二項分布的期望和方差：第二十七張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】已知100件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的概率 解：設(shè) X 為所抽取的3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則XB ( 3 , 0.05)，根據(jù)二項分布公式有 第二十八張，PP

14、T共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月泊松分布用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)某一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布。泊松分布的例子一個城市在一個月內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)消費者協(xié)會一個星期內(nèi)收到的消費者投訴次數(shù)人壽保險公司每天收到的死亡聲明的人數(shù)第二十九張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月泊松分布的公式為 給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù) e = 2.71828 x 給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)泊松分布的期望和方差 E ( X ) = D ( X ) = 第三十張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】假定某企業(yè)的職工中在周一請假的人數(shù)X服從

15、泊松分布，且設(shè)周一請事假的平均人數(shù)為2.5人。求 （1）X 的均值及標(biāo)準(zhǔn)差 （2）在給定的某周一正好請事假是5人的概率 解：(1) E(X)=2.5； (2)第三十一張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月泊松分布（作為二項分布的近似）當(dāng)試驗的次數(shù) n 很大，成功的概率 p 很小時，可用泊松分布來近似地計算二項分布的概率，即實際應(yīng)用中，當(dāng) P0.25，n20，np5時，近似效果良好第三十二張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月用Excel計算二項分布概率值的操作步驟【插入】 【函數(shù)】 “BINOMDIST”【Number_s】: 成功的次數(shù)X【Trials】: 試驗的總次數(shù)n【Proba

16、bility_s】: 每次試驗成功的概率p【Cumulative】: 輸入0（False），表示計算成功次數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率； 輸入1（True），表示計算成功次數(shù)小于或等 于指定數(shù)值的累積概率值。第三十三張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月用Excel計算二項分布概率值的操作步驟【插入】 【函數(shù)】 “POISSON”【X】：事件出現(xiàn)的次數(shù)【Mean】: 泊松分布的均值【Cumulative】: 輸入0（False），表示計算成功次數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率； 輸入1（True），表示計算成功次數(shù)小于或等 于指定數(shù)值的累積概率值。第三十四張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月連續(xù)

17、型隨機(jī)變量的概率分布第三十五張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)為X的概率密度函數(shù)。定義：如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x), 存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對于任意實數(shù)x有第三十六張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月概率密度函數(shù)1. 概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：（3）（4）若f(x)在點x處連續(xù)第三十七張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 概率密度函數(shù) f(x)表示X 的所有取值 x 及其頻數(shù)f(x)值(值, 頻數(shù))頻數(shù)f(x)abx第三十八張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 在平面直角坐標(biāo)系中畫出

18、f(x)的圖形，則對于任何實數(shù) a b，P(a X b)是該曲線下從a到 b的面積概率是曲線下的面積f(x)xab第三十九張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 密度函數(shù)曲線下的面積等于1 分布函數(shù)F ( x0 )是曲線下小于 x0 的面積f(x)xx0F ( x0 )第四十張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為2. 方差為第四十一張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布指數(shù)分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布正態(tài)分布均勻分布其他分布第四十二張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月均勻分布1. 若隨機(jī)變量X的概率

19、密度函數(shù)為稱X在區(qū)間a ,b上均勻分布數(shù)學(xué)期望和方差分別為xf(x)ba第四十三張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月均勻分布例題【例】設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)取值， 其概率密度為：aXb (ab)0其他試求：（1）分布函數(shù)F(x)；（2）期望值與方差第四十四張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月解：（1）xa時，f(x) = 0, 所以F(x) = 0axb時，xb時，F(xiàn)(x)=0 xaaxb1 xb第四十五張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)第四十六張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月正態(tài)分布 最重要的一種連續(xù)型分布； 在實際中應(yīng)用廣泛第四十七張，

20、PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月正態(tài)分布f(x) = 隨機(jī)變量 X 的頻數(shù) = 總體方差 =3.14159; e = 2.71828x = 隨機(jī)變量的取值 (- x ) = 總體均值定義：如果隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從正態(tài)分布，記作XN（,2）第四十八張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)f (x) 0，即概率密度曲線在x軸的上方正態(tài)曲線的最高點在均值，它也是分布的中位數(shù)和眾數(shù)每一特定正態(tài)分布通過均值和標(biāo)準(zhǔn)差來區(qū)分。 決定曲線的中心位置，決定曲線的陡緩程度。曲線f(x)相對于均值對稱，尾端向兩個方向無限延伸，且理論上永遠(yuǎn)不會與橫軸相交隨機(jī)變量的概率由曲線下的面

21、積給出第四十九張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)第五十張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，再查表對于負(fù)的 x ，可由 (-x) x得到對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即XN(0,1)，有P (a X b) b aP (|X| a) 2 a 1對于一般正態(tài)分布，即XN( , 2)，有第五十一張，PPT共五十七頁，創(chuàng)作于2022年6月【例】設(shè)XN(0，1)，求以下概率： (1) P(X 2)； (3) P(-1X 3)； (4) P(| X | 2) 解： (1) P(X 2)= 1-P(X 2)=1-0.9973= 0.02