高中數學直線與圓的方程知識點總結

1、高中數學直線與圓的方程知識點總結高中數學直線與圓的方程知識點總結WTDstandardizationoffice【WTD5AB-WTDK08-WTD2C】高中數學之直線與圓的方程一、概念理解：1、傾斜角：找：直線向上方向、x軸正方向；平行：=0；范圍：0180。2、斜率：找k：k=tan90；垂直：斜率k不存在；范圍：斜率kR。3、斜率與坐標：12122121tanxxyyxxyyk-=-=構造直角三角形數形結合；斜率k值于兩點先后順序無關；注意下標的位置對應。4、直線與直線的位置關系：222111:,:bxkylbxkyl+=+=相交：斜率21kk前提是斜率都存在特例-垂直時：0211=kk

2、xl不存在，則軸，即；斜率都存在時：121-=?kk。平行：斜率都存在時：2121,bbkk=；斜率都不存在時：兩直線都與x軸垂直。重合：斜率都存在時：2121,bbkk=；二、方程與公式：1、直線的五個方程：點斜式：)(00 xxkyy-=-將已知點kyx與斜率),(00直接帶入即可；斜截式：bkxy+=將已知截距kb與斜率),0(直接帶入即可；兩點式：),(2121121121yyxxxxxxyyyy-=-其中，將已知兩點),(),(2211yxyx直接帶入即可；截距式：1=+byax將已知截距坐標),0(),0,(ba直接帶入即可；一般式：0=+CByAx，其中A、B不同時為0用得比擬多

3、的是點斜式、斜截式與一般式。2、求兩條直線的交點坐標：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可3、距離公式：兩點間距離：22122121)()(yyxxPP-+-=點到直線距離：2200BACByAxd+=平行直線間距離：2221BACCd+-=4、中點、三分點坐標公式：已知兩點),(),(2211yxByxAAB中點),(00yx：)2,2(2121yyxx+AB三分點),(),(2211tsts：)32,32(2121yyxx+靠近A的三分點坐標)32,32(2121yyxx+靠近B的三分點坐標中點坐標公式，在求對稱點、第四章圓與方程中，經常用到。三分點坐標公式，用得較少，多見于大題難題。5.直

4、線的對稱性問題已知點關于已知直線的對稱:設這個點為Px0，y0,對稱后的點坐標為Px，y，則pp的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp的中點坐標在已知直線上。三、解題指導與易錯辨析：1、解析法坐標法：建立適當直角坐標系，根據幾何性質關系，設出點的坐標；根據代數關系點在直線或曲線上，進行有關代數運算，并得出相關結果；將代數運算結果，翻譯成幾何中“所求或所要證實。2、動點P到兩個定點A、B的距離“最值問題：PBPA+的最小值：找對稱點再連直線，如右圖所示：PBPA-的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊；22PBPA+的最值：函數思想“轉換成一元二次函數，找對稱軸。3、直線必過點：含有一個參數-y=

5、(a-1)x+2a+1=y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0=必過點(-2,3)含有兩個參數-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0聯(lián)立方程組求解=必過點(-1/7,3/7)4、易錯辨析：討論斜率的存在性：解題經過中用到斜率，一定要分類討論：斜率不存在時，能否知足題意；斜率存在時，斜率會有如何關系。注意“截距可正可負，不能“錯以為截距就是距離，會丟解；求解直線與坐標軸圍成面積時，較為常見。直線到兩定點距離相等，有兩種情況：直線與兩定點所在直線平行；直線過兩定點的中點。圓的方程1.定義：一個動點到一個定點以定長繞一周

6、所構成的圖形叫做圓，其中定點稱為圓的圓心，定長為圓的半徑.2.圓的方程表示方法：第一種：圓的一般方程022=+FEyDxyx其中圓心?-2,2EDC，半徑2422FEDr-+=.當0422FED-+時，方程表示一個圓，當0422=-+FED時，方程表示一個點?-2,2ED.當0422FED-+時，方程無圖形.第二種：圓的標準方程222)()(rbyax=-+-.其中點),(baC為圓心，r為半徑的圓第三種：圓的參數方程圓的參數方程：?+=+=sincosrbyrax為參數注：圓的直徑方程：已知0)()(),(),(21212211=-+-?yyyyxxxxyxByxA3.點和圓的位置關系：給定

7、點),(00yxM及圓222)()(:rbyaxC=-+-.M在圓C內22020)()(rbyax-+-?M在圓C上22020)()rbyax=-+-?M在圓C外22020)()(rbyax-+-?4.直線和圓的位置關系：設圓圓C：)0()()(222rrbyax=-+-；直線l：)0(022+=+BACByAx；圓心),(baC到直線l的距離22BACBbAad+=.rd=時，l與C相切；rd時，l與C相交；，rd時，l與C相離.5、圓的切線方程：一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.十分地，過圓222ryx=+上一點),(00yxP的切線方程為2

8、00ryyxx=+.(注:該點在圓上，則切線方程只要一條)若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則?+-=-=-1)()(2110101RxakybRxxkyy，聯(lián)立求出?k切線方程.注：過圓外的點引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只要一個解，那么另外一條切線必定是垂直于X軸的直線。6.圓系方程：過兩圓的交點的圓方程：假設兩圓方程為：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過兩圓的交點圓方程可設為：x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0過兩圓的交點的直線方程：x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E

9、2y+F2=0兩圓的方程相減得到的方程就是直線方程7.與圓有關的計算：弦長的計算：AB=2*R2-d2其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離AB=1+k2*X1-X2其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個根過圓內的一點的最短弦長是垂直于過圓心的直線圓內的最長弦是直徑8.圓的一些最值問題圓上的點到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑圓上的點到直線的最長距離=圓心到直線的距離加上半徑假設Px，y是在某個圓上的動點，則x-a/y-b的最值能夠轉化為圓上的點與該點a，b的斜率問題，即先求過該定點的切線，得到的斜率便是該分式的最值。假設Px，y是在某個圓上的動點，則求x+

10、y或x-y的最值能夠轉化為：設T=x+y或T=x-y，在圓上找到點(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。9.圓的對稱問題已知圓關于已知的直線對稱，則對稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關于該直線對稱后得到的圓心坐標即可。若某條直線無論其怎樣移動都能平分一個圓，則這個直線必過某定點，且該定點是圓的圓心坐標圓錐曲線橢圓橢圓：平面內到兩定點距離之和等于定長定長大于兩定點間距離的點的集合1、定義：12122(2)PFPFaaFF+=第二定義：(01)PFceeda=或22221(0)yxabab+=；3、參數方程cossinxayb=?=?為參數幾何意義：離心

11、角4、幾何性質：只給出焦點在x軸上的的橢圓的幾何性質、頂點(,0),(0,)ab、焦點(,0)c、離心率(01)ceea=；相切0?=斷定方法：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式判定根的個數8、橢圓切線的求法1切點00 xy已知時，22221(0)xyabab+=切線00221xxyyab+=22221(0)yxabab+=切線00221yyxxab+=2切線斜率k已知時，22221(0)xyabab+=切線ykx=22221(0)yxabab+=切線ykx=9、焦半徑：橢圓上點到焦點的距離22221(0)xyabab+=0raex=左加右減22221(0)yaabab+=0raey=下加上減

12、雙曲線1、定義：122PFPFa-=第二定義：(1)PFceeda=2、標準方程：22221(0,0)xyabab-=焦點在x軸22221(0,0)yxabab-=焦點在y軸參數方程：sectanxayb=?=?為參數用法：可設曲線上任一點P(sec,tan)ab3、幾何性質頂點(,0)a焦點(,0)c222cab=+離心率cea=1e準線2axc漸近線22221(0,0)xyabab-=byxa=或22220 xyab-=22221(0,0)yxabab-=byxa=或22220yxab-=4、特殊雙曲線、等軸雙曲線22221xyaa-=e=漸近線yx=、雙曲線22221xyab-=的共軛雙

13、曲線22221xyab-=-性質1：雙曲線與其共軛雙曲線有共同漸近線性質2：雙曲線與其共軛雙曲線的四個焦點在同一圓上5、直線與雙曲線的位置關系相離0?斷定直線與雙曲線位置關系需要與漸近線聯(lián)絡一起0?=時能夠是相交可以以是相切6、焦半徑公式22221(0,0)xyabab-=點P在右支上0rexa=左加右減點P在左支上0()rexa=-左加右減22221(0,0)yxabab-=點P在上支上0reya=下加上減點P在上支上0()reya=-下加上減7、雙曲線切線的求法切點P00(,)xy已知22221(0,0)xyabab-=切線00221xxyyab-=22221(0,0)yxabab-=切線

14、00221yyxxab-=切線斜率K已知22221xyab-=222()bykxakbka=-8、焦點三角形面積：122cot2PFFSb=?為12FPF拋物線1、定義：平面內與一定點和一定直線的距離相等的點的集合軌跡2、幾何性質：P幾何意義：焦準距焦點到準線的距離設為P標準方程：22(0)ypxp=22(0)ypxp=-圖像：范圍：0 x0 x對稱軸：x軸x軸頂點：0，00，0焦點：,02p,02p-離心率：1e=1e=準線：2px=-2px=標準方程：22(0)xpyp=22(0)xpyp=-圖像：范圍：0y0y對稱軸：y軸y軸定點：0，00，0焦點：0，2p(0,)2p-離心率：1e=1

15、e=準線：2py=-2py=3、參數方程222xptypt?=?=?t為參數方程?22(0)ypxp=4、通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦橢圓：雙曲線通徑長22ba拋物線通徑長2P5、直線與拋物線的位置關系1相交有兩個交點或一個交點2相切有一個交點；3相離沒有交點6、拋物線切線的求法1切點P00(,)xy已知：22(0)ypxp=的切線；00()yypxx=+2切線斜率K已知：22(0):2pypxpykxk=+此類公式填空選擇或解答題中部分可作公式直接應用附加：弦長公式：ykxb=+與曲線交與兩點A、B則解題指導：軌跡問題：(一)求軌跡的步驟1、建模：設點建立適當的坐標系，設曲線上任一點px，

16、y2、立式：寫出適條件的p點的集合3、代換：用坐標表示集合列出方程式fx，y=04、化簡：化成簡單形式，并找出限制條件5、證實：以方程的解為坐標的點在曲線上二求軌跡的方法1、直接法：求誰設誰，按五步去直接求出軌跡2、定義法：利用已知或幾何圖形關系找到符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義3、轉移代入法：適用于一個動點隨另一曲線上的動點變化問題4、交軌法：適用于求兩條動直線交點的軌跡問題。用一個變量分別表示兩條動直線，然后聯(lián)立，消去變量即可。5、參數法：用一個變量分別表示所求軌跡上任一點的橫坐標和縱坐標，聯(lián)立消參。6、同一法：利用兩種思維分別求出同一條直線，再參考參數法，找到軌跡方程。弦長問題：|A

17、B|=4)(k1(212212xxxx-+。弦的中點問題：中點坐標公式-注意應用判別式。.求曲線的方程1曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數法解決。例11994年全國已知直線L過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A-1，0和點B0，8關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，能夠用待定系數法。設出它們的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0).設A、B關于L的對稱點分別為A/、B/，則利用對稱性可求得它們的坐標分別為：A/12,11222+-+-kkkk，B/1)1(8,116222+-+kkkk。由于A/、B/均在拋物線上，代入，

18、消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=251+,p=552.所以直線L的方程為：y=251+x,拋物線C的方程為y2=554x.2曲線的形狀未知-求軌跡方程例31994年全國已知直角坐標平面上點Q2，0和圓C：x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數0,求動點M的軌跡方程，并講明它是什么曲線。分析：如圖，設MN切圓C于點N，則動點M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面幾何知識可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，將M點坐標代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.當=1時它表示一條直線；當1時，它表示圓。這種方法叫做直接法。.研究圓錐曲線有關的問題1有關最值問題例6(1990年全國)設橢圓中心為坐標原點，長軸在x上，離心率，已知點P0，23到這個橢圓上的點的最遠距離是7，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點P的距離等于7的點的坐標。分析：最值問題，函數思想。關鍵是將點P到橢圓上點的距離表示為某一變量是函數，然后利用函數的知識求其最大值。設橢圓方程為12222=+byax，則由e=23得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.設Q(x,y)是橢圓上任意一點，則:|PQ|=22)23(-+yx=49433)23(4422222+-=-+-byy