無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂充要條件：部分和存在且極值唯一，即：氣=lim、七存在，稱級(jí)數(shù)收斂。n T8 ,k =1若任意項(xiàng)級(jí)數(shù)u收斂，u |發(fā)散，則稱u條件收斂，若 u |收斂，則稱級(jí)數(shù)工u nnnnnn = 1n = 1n =1n = 1n =1絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定條件收斂。.=s,工 v =bn=s,工 v =bn = 1vXn=1 nJ3.若有兩個(gè)級(jí)數(shù) u和 v , u u仲X n Jn u仲X n Jn=1則 （u 土v ） = Sb， n=1u收斂，v發(fā)散，則（u + v）發(fā)散。nnn n=1= 1=1若二者都發(fā)散，則 （un + vn）不確定， 如 1, （一1）發(fā)散，而（1一1）

2、=0收斂。n=1k=1 k=1k=1三個(gè)必須記住的常用于比較判斂的參考級(jí)數(shù):a）等比級(jí)數(shù)：芝arn =匚收斂 1c）對(duì)數(shù)級(jí)數(shù):b) P級(jí)數(shù):c）對(duì)數(shù)級(jí)數(shù):b) P級(jí)數(shù):1n ln p nn=2收斂，p 1發(fā)散，p 0) an (a 1) n! nn 由慢到快連續(xù)型ln x xa(a 0) ax(a 1) xx由慢到快 7.正項(xiàng)（不變號(hào)）級(jí)數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧 u1 1,發(fā)（實(shí)際上導(dǎo)致了 lim日 莉）n.s Unr+8 nnl = 1,單獨(dú)討論（當(dāng)日為連乘時(shí)）n TOC o 1-5 h z l1 1，收、柯西根值法lim皿 =1 1,發(fā)（當(dāng)r為某n次方時(shí)） n 1 = 1,單獨(dú)討論3.比階

3、法代數(shù)式u v nu收斂nu收斂，u發(fā)散n3.比階法代數(shù)式n nnnnnn=1n=1n=1n=1極限式lim un = A，其中:n T3 vnu和 v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。n極限式lim un = A，其中:n T3 vnu和 v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。n=1n =1是v的高階無(wú)窮小Tu是vn的同階無(wú)窮小T u的高階無(wú)窮小vvv nv收斂nu收斂，u發(fā)散nv發(fā)散。nnnnnn =1n=1n=1n=1=kv n u和v斂散性相同。n = 1n = 1vu nu收斂nv收斂，v發(fā)散nu發(fā)散。nnnnnn = 1n = 1n = 1n = 1力 1 i n +1 ；= lnn ux n n -1n=21 i n +

4、11=；=ln=x：n n -1 vn2，3n 21 哉f(shuō) 1 云/1 r 2 1 Jndx n 0 u =J ndx J n. xdx =_X ，0 1 + x2n 0 1 + x203 3n=1n 2也可選用基準(zhǔn)級(jí)數(shù)E1就可知原級(jí)3n=1 n 28、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧萊布尼茨判交錯(cuò)級(jí)數(shù)（任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的特例）limunT8 n 這是一個(gè)必要條件，如果不滿足，則 （-1）nun必發(fā)散， 是發(fā)散，要使用絕對(duì)收斂判別其斂散性。=0”=0 u2 u 1 n （-1）nu 收斂。 若只有不滿足，則不一定收斂還任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂使用絕對(duì)值，使之轉(zhuǎn)換為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，即絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散。任意項(xiàng)

5、級(jí)數(shù)判斂的兩個(gè)重要技巧:(a )微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。(b)k階無(wú)窮小試探法。在不能估計(jì)出通項(xiàng)的無(wú)窮小階次時(shí)，使用該試探法，9.幕級(jí)數(shù)黨an3f)nn=01.阿貝爾(Abel)定理如果級(jí)數(shù)Y axn當(dāng)x = x f x。0,因?yàn)閤 =0 n* ax 2 = 0顯然收斂點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在圓 n0 I 00n/n=0n=1域|x| |氣|外發(fā)散。由阿n=0貝爾(Abel)定理可見(jiàn)收斂點(diǎn)集或發(fā)散點(diǎn)集是分別連接成對(duì)稱連續(xù)區(qū)域，這一定理是引入冪級(jí) 數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據(jù)。注意，除x = x0 (x0。0)外，該定理并沒(méi) 有完全保證圓上每一點(diǎn)的斂散性，正

6、確理解阿貝爾定理是學(xué)好幕級(jí)數(shù)的關(guān)鍵。如推論：如果Ya*不是僅在x = 0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)確 n=0定的正數(shù)A存在，使得：當(dāng)|x|v R時(shí)，幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)|x| R時(shí)，幕級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)x = R與x = -R時(shí)，幕級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，我們稱R為若。產(chǎn)的收斂半徑。n=110 .冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域已知 # a (已知 # a (x 一 x )n，n=0若 p = limnT8an+an或p = lim邑；則根據(jù)比值判斂法有: nT8limnT8limnT8an+1anx x = p x x 1收斂 n lx x = R =lim收斂。000 pn

7、* an+1收斂半徑R :a收斂半徑R :anan+11 =limp nsR = +8n全平面收斂，R = 0 n只有一個(gè)收斂點(diǎn)x = 0,p 0p=0p = +8收斂區(qū)間收斂區(qū)間(x0 R, x0 + R):級(jí)數(shù)在 |x - xj,(1 x)2n =1 1 1e = = fv0 n!1 (n +1)!X 1) 擋=ln(1 x)n=(1 =(+1 二(n +1)!n=1e1 =、，n!n=0n=1幕級(jí)數(shù)求和方法函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和方法一般先求收斂域，然后逐次積分或微分，利用上述10各泰勒級(jí)數(shù)結(jié)論進(jìn)行零部件組裝數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和方法構(gòu)造輔助幕級(jí)數(shù)法。付立葉級(jí)數(shù)1.周期函數(shù)展開(kāi)成付里葉級(jí)數(shù). f (x)為在

8、/, l上周期為21的周期函數(shù)，則f ( x)=與 + (a2 jn=f ( x)=與 + (a2 jn=1n冗 n兀、cos-x + b sm-x),=l Jl f (x)sin m xdx.特別地，當(dāng)l =兀時(shí)f ( x)f ( x) = a0 + (a2n=1cosnx + b sinnx) 其中=1兀.1兀f (x)sin nxdx兀兀f ( x) cos nxdx冗.當(dāng)f (x)是偶函數(shù)a = | ja = | j1 f (x)cos dxa = in f (x)cos nxdxn 兀o=-jl f (x )sin 四 dxlol2=一 j兀 f (x )sin nxdxf (X)

9、= 1 s 乙 cos 維2 o n ln=1l =兀 n f (x) = a +、a cosnx2o nn=1當(dāng)f (X)是奇函數(shù)f (x) = b sin 陽(yáng) nln=1l =k n f (x)=工b sinnxn = 12 .非周期函數(shù)展開(kāi)成付里葉級(jí)數(shù)方法如果非周期函數(shù)f (x)只是定義在區(qū)間0, l或0, 一，兩種區(qū)間可以令t = -x相互轉(zhuǎn)換， l為了利用付里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，必須將f (x)拓展，其方式有兩種，即：(1)偶拓展 令F(x) = j f0 - x -l，使F(x)成為-l, l上的周期偶函數(shù)，展開(kāi)后取f (-x)-l x 00 x l上的函數(shù)值即為f (x )的付里葉展開(kāi)。(2)奇拓展 令F(x) = j f0 x l，使F(x)成為-l, l上的周期奇函數(shù)，展開(kāi)后f (-x)-l x 0取0 x l上的函數(shù)值即為f (x)的付里葉展開(kāi)。狄利克雷收斂定理設(shè)函數(shù)f (x)在-l, l上