chapt09冪級(jí)數(shù)解法、本征值問題(4學(xué)時(shí))

1、第九章 冪級(jí)數(shù)解法 本征值問題9.1二階常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法9.1.1冪級(jí)數(shù)解法理論概述 用球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系對(duì)拉普拉斯方程、波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程進(jìn)行變量分離，就出現(xiàn)連帶勒讓德方程、勒讓德方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數(shù)方程用其他坐標(biāo)系對(duì)其他數(shù)學(xué)物理偏微分方程進(jìn)行分離變量，還會(huì)出現(xiàn)各種各樣的特殊函數(shù)方程它們大多是二階線性常 微分方程1不失一般性，我們討論復(fù)變函數(shù)的線性二階常微分方程 （9.1.1）其中 z為復(fù)變數(shù)， z0為選定的點(diǎn)，C0, C1 為復(fù)數(shù).2說明：這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用冪級(jí)數(shù)解法解出所謂冪級(jí)數(shù)解法，就是在某個(gè)任意點(diǎn)Z0的鄰域上，把待求的解表

2、為系數(shù)待定的冪級(jí)數(shù)，代入方程以逐個(gè)確定系數(shù)冪級(jí)數(shù)解法是一個(gè)比較普遍的方法，適用范圍較廣，可借助于解析函數(shù)的理論進(jìn)行討論求得的解既然是級(jí)數(shù)，就有是否收斂以及收斂范圍的問題. 盡管冪級(jí)數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應(yīng)用于微分方程的求解問題中3如果方程（9.1.1）的系數(shù)函數(shù) 和在選定的點(diǎn)的鄰域 中是解析的，則點(diǎn)方程（9.1.1）的常點(diǎn). 如果選定的點(diǎn) 是或的奇點(diǎn)，則點(diǎn) 叫作方程（9.1.1）的奇點(diǎn) 叫作1方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn)概念42. 常點(diǎn)鄰域上的冪級(jí)數(shù)解定理定理9.1.1 若方程（9.1.1）的系數(shù) 和為點(diǎn)的鄰域中的解析函數(shù)， 則方程在這圓中存在唯一的解析解 滿足初始條件，其中是任意給定的復(fù)常數(shù)，5故可

3、以把它表示為此鄰域上的泰勒級(jí)數(shù). 既然線性二階常微分方程在常點(diǎn)的鄰域上存在唯一的解析解， （9.1.2）其中為待定系數(shù) 6為了確定級(jí)數(shù)解（9.1.2）中的系數(shù)，具體的做法是以 （9.1.2）代入方程（9.1.1），合并同冪項(xiàng)，令合并后的系數(shù)分別為零，找出系數(shù)之間的遞推關(guān)系， 最后用已給的初值，來確定各個(gè)系數(shù) 從而求得確定的級(jí)數(shù)解 下面以階勒讓德方程為例，具體說明級(jí)數(shù)解法的步驟 79.1.2常點(diǎn)鄰域上的冪級(jí)數(shù)解法 勒讓德方程的求解注： （參考書上9.1節(jié)內(nèi)容，特別是書上226-228頁內(nèi)容由分離變量法得到了勒讓德方程，下面討論在 鄰域上求解階勒讓德方程 8故方程的系數(shù) 在 ，單值函數(shù) ，均為有限

4、值，它們必然在解析 9是方程的常點(diǎn)根據(jù)常點(diǎn)鄰域上解的定理，解具有泰勒級(jí)數(shù)形式：（9.1.3） 泰勒級(jí)數(shù)形式的解，將其代入勒氏方程可得系數(shù)間的遞推關(guān)系 （9.1.4）10因此，由任意常數(shù) 可計(jì)算出任一系數(shù) 偶次項(xiàng)的系數(shù):奇次項(xiàng)的系數(shù) 11將它們代入解的表達(dá)式中，得到勒讓德方程解的形式 (9.1.7)其中分別是偶次項(xiàng)和奇次項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)12不是整數(shù)時(shí) 無窮級(jí)數(shù)，容易求得其收斂半徑均為1 時(shí)， 發(fā)散于無窮 是非負(fù)整數(shù) 遞推公式（9.1.4） 是偶數(shù)時(shí)， 是一個(gè)n次多項(xiàng)式，但函數(shù) 為在 處發(fā)散至無窮的無窮級(jí)數(shù) 是奇數(shù)時(shí)， 是次多項(xiàng)式，而仍然是在處無界的無窮級(jí)數(shù) l 是負(fù)整數(shù)時(shí) 一個(gè)是多項(xiàng)式，另一個(gè)是無界

5、的無窮級(jí)數(shù) 13所以不妨設(shè) 導(dǎo)出這個(gè)多項(xiàng)式的表達(dá)式 ,是非負(fù)整數(shù)（因在實(shí)際問題中一般總要求有界解） 把系數(shù)遞推公式（9.1.4）改寫成 (9.1.8)于是可由多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)來表示其它各低階項(xiàng)系數(shù)14取多項(xiàng)式最高次項(xiàng)系數(shù)為 (9.1.9)15這樣取主要是為了使所得多項(xiàng)式在 處取值為1，即實(shí)現(xiàn)歸一化. 可得系數(shù)的一般式為 (9.1.10)因此，我們得出結(jié)論：16是非負(fù)偶數(shù)時(shí)，勒讓德方程有解 （9.1.11）是正奇數(shù)時(shí)，勒讓德方程有解17 (9.1.12)對(duì)上述討論進(jìn)行綜合，若用 表示不大于 的整數(shù)部分，用大寫字母寫成統(tǒng)一形式解（9.1.13）18是非負(fù)整數(shù)時(shí)，勒讓德方程的基本解組 中只有一個(gè)

6、多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式 ，也稱為第一類勒讓德函數(shù)； 另一個(gè)是無窮級(jí)數(shù)，這個(gè)無窮級(jí)數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù)， 記為大寫的 可以得出它們的關(guān)系（9.1.14）19經(jīng)過計(jì)算后， 可以通過對(duì)數(shù)函數(shù)及勒讓德多項(xiàng)式 表示出，所以第二類勒讓德函數(shù)的一般表達(dá)式為 (9.1.15)特別地20可以證明這樣定義的 ，其遞推公式和 的遞推公式具有相同的形式而且在一般情況下勒讓德方程的通解為兩個(gè)獨(dú)立解的線性疊加21但是在滿足自然邊界（即要求定解問題在邊界上有限）的形式容易看出，它在端點(diǎn) 處是無界的，故必須取常數(shù) 從而勒讓德方程的解就只有 第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式： 22綜合可得如下結(jié)論：（1）當(dāng) 不是整數(shù)時(shí)

7、，勒讓德方程在區(qū)間上無有界的解 （2）當(dāng) 為整數(shù)時(shí)，勒讓德方程的通解為 ，其中 稱為第一類勒讓德函數(shù)（即勒讓德多項(xiàng)式）， 稱為第二類勒讓德函數(shù). 23為整數(shù)，且要求在自然邊界條件下(即要求在 有界解的情況下)求解，則勒讓德方程的解只有第一 類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式因?yàn)榈诙惱兆尩潞瘮?shù) 在閉區(qū)間 上是無界的249.1.3 奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法：貝塞爾方程的求解前一章分離變量法中，我們引出了貝塞爾方程，本節(jié)我我們來討論這個(gè)方程的冪級(jí)數(shù)解法按慣例，仍以 表示自變量，以 表示未知函數(shù)，則 階貝塞爾方程為 (9.1.18)25其中， 為任意復(fù)數(shù)，但在本節(jié)中 由于方程的系數(shù)中出現(xiàn) 只限于取實(shí)數(shù)。 項(xiàng)，不妨

8、暫先假定 故 為 的奇點(diǎn)。 下面介紹奇點(diǎn)鄰域的冪級(jí)數(shù)解法：貝塞爾方程的求解26設(shè)方程（9.1.18）的一個(gè)特解具有下列冪級(jí)數(shù)形式： (9.1.19）其中，常數(shù) 和 可以通過把 和它的導(dǎo)數(shù) 代入（9.1.18）來確定 27將（9.1.19）及其導(dǎo)數(shù)代入（9.1.18）后，得化簡(jiǎn)后寫成要使上式恒成立，必須使得各個(gè) 次冪的系數(shù)為零， 從而得下列各式： 28 (9.1.20) (9.1.21)(9.1.22)由（9.1.20） 得 ；代入（9.1.21），得 現(xiàn)暫取 ，代入（9.1.22）得 29 (9.1.23)因?yàn)?，由（9.1.23）知： 都可以用 表示，即3031由此知（9.1.19）的一般項(xiàng)

9、為是一個(gè)任意常數(shù)，令 取一個(gè)確定的值，就得（9.1.18） 的一個(gè)特解我們把 取作 這樣選取 與后面將介紹的貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關(guān)。 32 運(yùn)用下列恒等式 使分母簡(jiǎn)化，從而，使（9.1.19）中一般項(xiàng)的系數(shù)變成 （9.1.24）以（9.1.24）代入（9.1.19）得到貝塞爾方程（9.1.18）的一個(gè)特解33用級(jí)數(shù)的比值判別式（或稱達(dá)朗貝爾判別法）可以判定 這個(gè)級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上收斂這個(gè)無窮級(jí)數(shù) 所確定的函數(shù)，稱為 階第一類貝塞爾函數(shù)，記作 (9.1.25）34至此，就求出了貝塞爾方程的一個(gè)特解 另外，當(dāng) 即取負(fù)值時(shí)，用同樣方法可得貝塞爾方程（9.1.18）的另一特解 （9.1.26）比較（9.

10、1.25）與（9.1.26）可見，只需在（9.1.25）的右端把 換成 ，即可得到（9.1.26）故不論 是正 數(shù)還是負(fù)數(shù)，總可以用（9.1.25）統(tǒng)一地表達(dá)第一類貝塞爾函數(shù)35討論：(1)當(dāng) 不為整數(shù)時(shí)，例如 為分?jǐn)?shù)階貝塞爾函數(shù)： 等,當(dāng) 時(shí)， 36故這兩個(gè)特解 與 是線性無關(guān)的，由齊次線性常微分方程的通解構(gòu)成法知道，（9.1.18）的通解為 （9.1.28）其中， 為兩個(gè)任意常數(shù) 根據(jù)系數(shù)關(guān)系，且由達(dá)朗貝爾比值法故級(jí)數(shù) 和 的收斂范圍為 37(2)當(dāng) 為正整數(shù)或零時(shí)（注:以下推導(dǎo)凡用 即表整數(shù)）， 故有（9.1.27）稱 為整數(shù)階貝塞爾函數(shù)易得 38需注意在取整數(shù)的情況下， 和 線性相關(guān)，

11、這是因?yàn)? 可見正、負(fù) 階貝塞爾函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)因子 這時(shí)貝塞爾方程的通解需要求出與之線性無關(guān)的另一個(gè)特解 39我們定義第二類貝塞爾函數(shù)（又稱為諾依曼函數(shù)）為 是一個(gè)特解，它既滿足貝塞爾方程，又與 線性無關(guān) 40其中， 為歐拉常數(shù)可以證明是貝塞爾方程的特解， 且與 線性無關(guān)的.41綜述：（1）當(dāng) ，即不取整數(shù)時(shí)，其貝塞爾方程的通解可表示為（2）不論 是否為整數(shù)，貝塞爾方程的通解都可表示為其中 為任意常數(shù)， 為任意實(shí)數(shù) 429.2 施圖姆劉維爾本征值問題 從數(shù)學(xué)物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程往往還附有邊界條件，這些邊界條件可以是明確寫出來的，也可以是沒有寫出來的所謂自然邊界條件滿足這些邊界條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定值這些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相應(yīng)的非零解叫做本征函數(shù)（特征函數(shù)、固有函數(shù)求本征值和本征函數(shù)的問題叫做本征值問題. 43常見的本征值問題都可以歸結(jié)為施圖姆(J.C.F. Sturm)劉維爾(J.Liouville)本征值問題，本節(jié)就討論具有普遍意義的施圖姆劉維爾本征值問題1521施圖姆劉維爾本征值問題定義 9.2.1施圖姆劉維爾型方程 通常把具有形式 （9.2.1）44的二階常微分方程叫作施圖姆劉維爾型方程，簡(jiǎn)稱施劉型方程 研究二階常微分方程的本征值問題時(shí)，對(duì)于一般的二階常微分方程 通常乘以