快速數(shù)字仿真精品課件

1、快速數(shù)字仿真第1頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三仿真中對快速性的需求分為3個方面1）利用仿真技術(shù)進行控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計時，需要反復(fù)的對系統(tǒng)進行仿真運算，以獲得滿意的工程參數(shù)；2）在物理數(shù)學(xué)混合仿真時，由于實物系統(tǒng)介入仿真模型，要求仿真模型的時間比例尺與真實系統(tǒng)的時間比例尺完全相同，如果系統(tǒng)比較復(fù)雜或者方程個數(shù)很多，要在規(guī)定的時間內(nèi)完成一次系統(tǒng)中每個方程的計算，要求仿真的計算速度比較快；3）在復(fù)雜的控制系統(tǒng)中，常常需要在線對被控系統(tǒng)的狀態(tài)進行預(yù)測，以確定系統(tǒng)的控制策略，要求仿真模型的時間比例尺小于系統(tǒng)的運行時間比例尺，從而對仿真速度提出來更高的要求。第2頁，共33頁，

2、2022年，5月20日，10點24分，星期三一般的快速數(shù)字仿真算法有以下兩點要求1）每步計算量要?。?）算法要有良好的穩(wěn)定性，允許采用較多的計算步長，同時又能保證必要的計算精度。第3頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 替換法是快速仿真的主要算法之一，它建立在相匹配原理的基礎(chǔ)上。 何為相匹配？ 如果被仿真系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是穩(wěn)定的，則其仿真模型也應(yīng)該是穩(wěn)定的，并且二者的動態(tài)、穩(wěn)態(tài)特性一致。如果對于同一輸入信號，二者的輸出具有相一致的時域特性，或者二者具有相一致的頻率特性，則稱仿真模型與原系統(tǒng)模型相匹配。 第4頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替

3、換法 一般快速仿真提高了對速度的要求，而合理地降低了對計算精度的要求。因此，對于控制系統(tǒng)中最常見的用傳遞函數(shù)G(s)描述的數(shù)學(xué)模型，如果能夠根據(jù)相匹配原理，直接將高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成與之相匹配、每步計算量較小、允許采用較大步長且具有合理精度的仿真模型G(z) ，就可以利用G(z)對應(yīng)的差分方程進行快速仿真。第5頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 連續(xù)系統(tǒng)最常見的數(shù)學(xué)模型是傳遞函數(shù)G(s) 。一般情況下，將G(s)轉(zhuǎn)換成與之對應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)的方法有兩種。 一種是由G(s)求出脈沖過渡函數(shù)g(t) ，然后按照公式(5.1)求出G(z) 。式中，

4、T為采樣周期。 另一種是將G(s)展開成部分分式形式，然后通過查Z變換表求得G(z) 。對于高階系統(tǒng)，采用這兩種轉(zhuǎn)換方法都不很容易。因此，應(yīng)該設(shè)法找到一個直接將G(s) 轉(zhuǎn)換成G(z)的簡便方法。第6頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法1替換法的基本思想2雙線性變換法3雙線性變換法步驟4雙線性變換法特性分析5雙線性變換法仿真實例第7頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法1替換法的基本思想 根據(jù)控制理論，s域和z域之間的準(zhǔn)確映射關(guān)系為（5.2）或（5.3）式中，T為采樣周期，亦為仿真計算時的步長。第8頁，共33頁，2022年，

5、5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 5.3式是超越方程，如果直接將傳遞函數(shù)中的變量s用它替換，得到G(z)的也將是超越方程，很難由Y(z)=G(z)U(z)得到一個關(guān)于變量u和y的線性差分方程，因此必須另辟蹊徑。 替換法就是解決上述問題的一類方法。其基本思想是，設(shè)法找到s域與z域之間的某種簡單的映射關(guān)系（5.4）然后將G(s)中的變量s用s=f -1(z)替換，從而得到與G(s)相對應(yīng)的G(z) 。 第9頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法2雙線性變換法 ln(z)可以展開成下列的無窮級數(shù)（5.5） 取該級數(shù)的第一項，則可以得到s域與z域之間一

6、種近似映射關(guān)系（5.6）或（5.7）第10頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法利用（5.7）式可以把G(s)轉(zhuǎn)換為G(z)。數(shù)學(xué)上稱這種變換方法為雙線性變換法（或Tustin法）。 雙線性變換法是否滿足相匹配原理呢？1） 穩(wěn)定性的匹配（5.8）第11頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三則 5.1 替換法（5.9） 由（5.9）式可知,雙線性變換法將左半s平面映射到z平面的單位圓內(nèi)。也就是說，如果原來系統(tǒng)的G(s)是穩(wěn)定的，則通過雙線性變換法得到的G(z)必然是穩(wěn)定的。第12頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三2.4

7、.2 替換法第13頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法2） 判斷雙線性變換后的穩(wěn)態(tài)增益不變設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（5.10）其穩(wěn)態(tài)增益為bn/an 。若將G(s)進行雙線性變換，有（5.11）顯然， G(z)的穩(wěn)態(tài)增益仍為bn/an 。第14頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法3） 雙線性變換法具有一定的精度設(shè)有方程（5.12）（5.13）將（5.6）式代入上式，得 （5.14）第15頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法由此可得差分方程（5.15）這和將AM2法（也稱為梯形法）應(yīng)用于（

8、5.12）式所得結(jié)果相同。第16頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法結(jié)論：雙線性變換法符合相匹配原理，是一種具有一定計算精度的絕對穩(wěn)定算法。雙線性變換法適合于以分子分母多項式形式描述的G(s)。 第17頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法例5.1 已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 （5.16）試采用雙線性變換法求出對應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)和差分方程，并對所得結(jié)果進行分析。 解 將（5.6）式代入上式，得脈沖傳遞函數(shù) （5.17）第18頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法于是，差分方程為（5.18）

9、 因為由（5.17）式可知，G(z)是穩(wěn)定的。 G(s)的分子多項式為1階，分母多項式為2階，而G(z)的分子、分母多項式的階次相同，均為2階。 G(s)的穩(wěn)態(tài)增益為0， G(z)的穩(wěn)態(tài)增益也為0。 第19頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 為了考慮雙線性變換法所得仿真模型的精度，除了可以在時域中進行討論外，也可以從頻域的角度進行分析。事實上,將 (5.19)分別代入（5.16）式和（5.17）式，可得 (5.20) (5.21)第20頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 取T=1s，分別求出（5.20）式和（5.2

10、1）式的幅頻特性和相頻特性，如表2.6所示。 表5.1 G(s)與G(z)的頻率特性比較 （rad/s）0.10.30.60.81.01.21.5幅頻特性連續(xù)系統(tǒng)模型0.099010.27520.44120.48780.500.49180.4615離散化模型0.09910.2770.4470.4930.4980.4760.417相頻特性連續(xù)系統(tǒng)模型78.5856.6028.0712.680-10.39-22.62離散化模型78.5756.3626.519.57-5.06-17.67-33.56 表5.1表明利用雙線性變換法得到的仿真模型既簡單，又有一定的精度。 第21頁，共33頁，2022年，

11、5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 3雙線性變換法步驟 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（5.22）采用雙線性變換法求取仿真模型的步驟如下： 將中的s 按（5.6）式替換得到，并整理成有理分式形式（5.23）第22頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 根據(jù)得到的G(z)，由Y(z)=G(z)U(z)，兩邊取Z反變換，得到便于計算機遞推計算的差分方程 (5.24)第23頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法4雙線性變換法特性分析 雙線性變換法是一種絕對穩(wěn)定的算法，允許采用大步長。 由于雙線性變換法是由（5.3）式取一次

12、項近似得到的，所以 得到的差分方程雖具有一定的精度，但當(dāng)取得太大時精度會降低。因此在選取時，主要應(yīng)考慮計算精度和仿真速度的需求。經(jīng)驗表明，若取(5.25)式中， 為被仿真系統(tǒng)的自然頻率，可以保證較好的仿真精度。第24頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法 雙線性變換法得到的差分方程的每項系數(shù)，都是預(yù)先一次計算確定的，在仿真遞推過程中不需要重新計算，因此仿真遞推的計算量較小。事實上，由（5.24）式可知，對于n階連續(xù)系統(tǒng)，每步計算量約為(2n+1)次乘法。所以，該法適合于快速仿真。 雙線性變換法中由G(s)到G(z)的轉(zhuǎn)換， 以及由G(z)到差分方程的轉(zhuǎn)換，都可

13、以很容易地編程實現(xiàn)。第25頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 5.1 替換法 雙線性變換法具有串聯(lián)性。如圖5.1所示， G1(s)和G2(s)相串聯(lián)。若令(5.26)（5.27）式中，G(s) ，G1(s), G2(s)分別是G(z) ，G1(z)，G2(z)的雙線性變換結(jié)果。圖5.1第26頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三 雙線性變換公式不僅可以方便地應(yīng)用于傳遞函數(shù)，也可以應(yīng)用于狀態(tài)空間模型。 雙線性變換后系統(tǒng)的階次不變，且分子、分母多項式具有相同的階次。事實上，將（5.6）式代入（5.22）式，有（5.28）5.1 替換法第27頁，共33頁，

14、2022年，5月20日，10點24分，星期三5.1 替換法 可見， G(z)的分子、分母多項式均為n次，即在分子上增添了(nm)個z= -1的零點。由此得到的差分方程是多步關(guān)系式（當(dāng)n1時）。由于被仿真系統(tǒng)一般僅給出在初始時刻t = 0處的系統(tǒng)的初始值，而在t 0以前各采樣點處的信息需要經(jīng)過變換求得，這就可能給雙線性變換法的應(yīng)用帶來一定的麻煩。 可以證明，雙線性變換后得到的脈沖傳遞函數(shù)頻率特性與原連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性在低頻段相差較小，在高頻段差別較大。這一點也可以從表5.1看出。所以，雙線性變換法主要用于有限帶寬的系統(tǒng)。第28頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三化簡得到解：

15、將 轉(zhuǎn)換成差分方程例51 已知一線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 求：利用圖士汀公式的仿真模型。第29頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三3.3 采樣控制系統(tǒng)的快速數(shù)字仿真 快速數(shù)字仿真目的：減小計算工作量，加快仿真速度，即：原來的T1（采樣周期）較小，現(xiàn)希望用一個較大的T1來仿真。 這時，需要數(shù)字控制器部分的仿真模型做必要的修改。這是因為當(dāng)離散部分仿真模型的采樣周期與原來的實際采樣周期不同時，會導(dǎo)致仿真模型與原型兩者脈沖傳函對應(yīng)著不同的零點、極點和終值，導(dǎo)致仿真結(jié)果與原來的實際情況不符，所以，必須修改仿真模型的脈沖傳函。 做法：只需對離散部分的仿真模型進行修改。第30頁，共33頁，2022年，5月20日，10點24分，星期三例： 若要求T1 =0.1，那么，仿真模型應(yīng)如何變化？ 解：確定差分模型原則，在控制系統(tǒng)的Z域分析中已經(jīng)知道，如果兩個脈沖傳函映射到S平面上時，具有相同的零、極點，且具有相同的穩(wěn)態(tài)值，則這兩個系統(tǒng)等價。 利用D(z)| T1 =0.04 和D(z) | T1 =0.1在S平面上的映射，具有相同的零、極點，同時穩(wěn)態(tài)值相同，得 第31頁，共33