自招實驗班春季講義-教師版第5講數(shù)列綜合

1、第講數(shù)列6體系測5數(shù)列42007 2010年（新課標2011第10，20 第講數(shù)列6體系測5數(shù)列42007 2010年（新課標2011第10，20 數(shù)列綜合在近五卷（理）考查1318ABC掌握不等式證明的主要方法并能熟練結(jié)合數(shù)列的基本性質(zhì)解決相關問題經(jīng)典精考點 ，n2，nZ對于調(diào)和數(shù)列a 1 n123【例1nn【】1112n1212312nn11n111 n12經(jīng)典精考點 ，n2，nZ對于調(diào)和數(shù)列a 1 n123【例1nn【】1112n1212312nn11n111 n12【備注】關于調(diào)和數(shù)列a 1 nnn2 1x3 1x4 ln1ln1 1 1 1111112341 1 11 1111234

2、x123n111 1 lnn1 1111 23n可以證明余項1 111 是收斂的23常數(shù)r0.577218，1 1 1 1 ln1n0.577218n1n3時ln1nn1 1n 1都是1 1 1 1 nn11利用導數(shù)容易證明n11n 1 ln1n，于是ln1n作為下界不如n1 1n 1nn對11 1 1 的最佳估計是由YoungRM1991nrlnn 111 1 1 1 rlnn 112224n 211利用導數(shù)容易證明n11n 1 ln1n，于是ln1n作為下界不如n1 1n 1nn對11 1 1 的最佳估計是由YoungRM1991nrlnn 111 1 1 1 rlnn 112224n 2

3、n其中r 常數(shù)，r 【例2已知點1, 1是函數(shù)f x a （a 0且a 1）的圖像上一點，等比數(shù)列 的前n項和 x3nf ncbn（bn 0的首項為c n項和Sn 滿足Sn Sn1 Sn Sn1（n2 （I）求數(shù)列an 和的前n項和為T ，問滿足T 的最小正整數(shù)n是多少1b nn n n1 11 】（I）a ，等比數(shù)列 的前n項和A c nn3 3qna 1對比等比數(shù)列的前nA 1n1q ，解得a 2 q1c1333c 11 因此數(shù)列 的通項公式為a 2 nn 3對于數(shù)列bn，當n2 由于Sn Sn1 Sn1 Sn1 Sn Sn Sn 而bn 0Sn 0，從而 Sn 0因此 Sn Sn1 1S

4、n1 S3 S2 SnS2 S1 S b c1，于是 S nnn 因此bn 2n2n n1 ,n2111n 12n （II）T nnn 111111 1111123 5 72n2n1 2n2n 1 11 因此bn 2n2n n1 ,n2111n 12n （II）T nnn 111111 1111123 5 72n2n1 2n2n 1 111 n22n 12nn1000 ，2009n2000n1000，9n1000，n1000 T n2n99于是滿足條件的最小正整數(shù)n112【拓1知數(shù)列ancn滿足條件：an為等差數(shù)列，a13 ，Sn為數(shù)列ann項和，S10 1201c a na求數(shù)列an 的通項

5、公m求數(shù)列c 的前n項和，并求使得T 對任意nN都成立的最大正整數(shù)mnnn令b 2n 1b1 b2 bn n(nNn設an的公差為d ，則由題意a1 3 S10 120【】 310109d 1202d 數(shù)列an 是首項為3，公差為2 的等差數(shù)列an 2n1 11122n2n3T 111 1 1 1122n2n 3n 111nn22n33(2n 6nnnn2 nT n ，n6n2 nnT ，nN1當n1時，T 取得最小n由題意，得m10mZ由題意得m92k 112 2 kk2 1 1 ，k 1，2，3，n22 2k1 111b22 k22 k22 kk222b1 b2 bn n22 11122n

6、22k 112 2 kk2 1 1 ，k 1，2，3，n22 2k1 111b22 k22 k22 kk222b1 b2 bn n22 11122n2n3易知cn 0，故Tn 是遞增數(shù)列，即Tn Tn1當n1Tn 【拓2】設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn ，已知2a2 a1 a3 ，數(shù)列 Sn是公差為d 的等求數(shù)列an 的通項公式設c mn3k m nmnk Sm Sn cSk 都成立，求c 的最大值【d 01)d a1 (n2a a a 3a S 3(S S )S ，3( a d)2 2 a 2d2 d111a 2 a d 111Sn d (n1)d nd,Sn n d 2 n2a

7、2d2 n1)2d2 2n1)d2，適合n1n故所求a 2n1)dn m2 Sm Sn cSk m d d ck d m n ck ， c22 22k9m2 又mn3k m n 2(m n mn) 9k 故c9 ，即c 9 ，2k22由 a d 及 S a n1)d d 0S n2d2n1于是，對滿足題設的mnk m n (m99Sm Sn (m n )d d d 222 Sk 22所以c9 2所以c 的最大值 9 2a 9 k m 3k 1n 3k 1mnk 2222 1S S (m2 n2)d2 d2k k 1 d2(9k2 4)22S S 1d2 2ak2 aS 于是，只要9k2 42a

8、k2，即當k k2a2所以滿足條件的c9，從而 9 22因此c 9 2an 4an 2 2 a 9 k m 3k 1n 3k 1mnk 2222 1S S (m2 n2)d2 d2k k 1 d2(9k2 4)22S S 1d2 2ak2 aS 于是，只要9k2 42ak2，即當k k2a2所以滿足條件的c9，從而 9 22因此c 9 2an 4an 2 2 nN5【拓3（2011 年昌平二模）已知數(shù)列a 滿足n1n 1 a n （）試問數(shù)列a 中 （kN ）是否仍是 knn 2 證明：對任意nN，都有不等式2b b 2（）令a nnn3an 4an 22a 4a 3a a【】n n n nn

9、 3 1 a n 1 的首項為 ，公差為 1 1 3n 3na a2222 n n2224因此a a kn3n3k 2 3k 9k2 21k42是a 中的項，設為a ，km9k2 21k3mk3k 6m49k 21k 10，mk k 1 222由于k , 3k7中至少有一個偶數(shù)，因此對任意正整數(shù)kmk3k 因此ak ak1仍是an中的1項2 23n2 5 23n12 n4322 2n4 2n5 2n4 2n6 2n5 2n5 2n4 2n2 22222而b 2 nn nn n n22bn 2bnn12625 32，b 2 11，2bn bnn2bn bnn12bn 32b 2 252bn b

10、nn2bn b2n2a a a a nnnn【例3【（I）akn2bn bnn12bn 32b 2 252bn b nn2bn b2n2a a a a nnnn【例3【（I）aknak1n1dk 1n1dkk 12 , 3d akn 1，因此數(shù)列d knn于是dm d1 m 1d2 d1，即dm 2md1 m1d2 p1 p2 2mm11（II）dm 2m1每組最后一個數(shù)下角標組成數(shù)列1 , 49 , 16 , pn 3 2n 1n 2npn2n1pn p12n112112m2 1于是前m 組中的所有數(shù)之和即2n 1 m4，于是c mm2對差比數(shù)列2m 2m 1，用錯位相減法求其前n項和Sn

11、212 32 52n3 2 2n22 1 23 3 24 52n2n3 2n12n2Sn Sn 2n122 2 2 1 2 k1 2 a21 mam1 （2011 年朝陽一模）n 個首項都是 1的等差數(shù)列， 設第 m 個數(shù)列的第 k （m , k 1 , 2 , 3 , n , n3，公差為dm ，并且a1n , a2n , a3n , ann （）證明dm p1d1 p2d2 （3mnp1 , p2 m的多項式p1 p2 （）當d1 1d3 3 時，將數(shù)列dm分組如下d1 , d2 , d3 , d4 , d5 , d6 , d7 , d8 , d9 , （每組數(shù)的個數(shù)設前m組中所有數(shù)之和為

12、cm cm 0，求數(shù)列2 m dm的前n項和Sn （）N 是不超過 20 n N （）Sn ， 求使得不等式1 S 6d N4n2n 22n 242n1 44n242n 2n32n1 2n32n1S 64n2n 22n 242n1 44n242n 2n32n1 2n32n1S 62n1 2n1nn2n122n1 2n12左邊是關于n 的遞增函數(shù)，設為 f n ，11，2n150，n2n279 當n5時，f n 1664；99n 6時f n12 27 12812199509911N5N20N 5 , 6 , 7 , 201（2011年海淀一模A：a1 , a2 , i1, 2 , 3 ,設bj

13、k1 k2 kj j 1 , 2 , 3g(m)b1 b2 bm nm (m1, 2 , 3, )an ，其中等于i的項有ki （）設A:1 2 1 4，求g1, g2, g3, g4, g5（）Aa1 a2 an n100g(m（I）A:1, 2 ,1, 【】（II）記cm gm，則cm cm1 cm gm1gmbm1 根據(jù)數(shù)列bm的定義，記maxa1a2anN則m N bm nmN bm n于是當m1N cm 0；當m1N cm 0這就意味著從第N 項起cm 是常數(shù)列，且該常數(shù)就是數(shù)列cm的最小值 nb1nb2nbN ib1 b2 gi122224504604k2 k3 kN k3 k4

14、kN k2 2k3 k2 k3 kN k3 k4 kN k2 2k3 N 1kNk12k2 3k3 NkNk1k2 k3 kNa1a2a3ann（兩種不同的求和方式知識點等差數(shù)列an中an0來確定n0，d 0，若1n nan0來確定n0，d 0，若1n n也可由前n項和公式S n a d n來確定nd2 2n22. 若首項a10，公比q1，若首項a1 0，公比0q1，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若首項a10，公比0q1，或首項a10q1，則數(shù)列為遞減數(shù)列；公比q 1，數(shù)列為常數(shù)列；公比q0經(jīng)典精考點 （2008在數(shù)列anbn中a12b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列bn，an1，bn1成等比數(shù)列nN

15、*【例4求a2a3a4及b2b3b4，由此猜測anbn的通項公式（不需要證明1115a1 a2 an 】由條件得2b a a ，a2 b 【n 由 猜測a n(n1，b n1)2nn由a2 b 0，b 0，b 0，b n12na1 0a2 0an1 2bn an an1 bnbn1 bn1 b1 2，b2 2 bn bn1 b 2由 猜測a n(n1，b n1)2nn由a2 b 0，b 0，b 0，b n12na1 0a2 0an1 2bn an an1 bnbn1 bn1 b1 2，b2 2 bn bn1 b 2n1n1，即b n12 nnan1 bnbn1 n1nan nn11 1 5a1

16、 n2時，由知an bn n1)(2n12(n1)n 1 1 11故a 223a a 1 11 1 11 1 12n 1 1 11 1 1 152n1 1】 2 8（2）n2 n3na1 a2 an 3n已知數(shù)列a 的前n項和nnan時63n1【11a1 . S1 S2 S1 . Sn 111 1 2 2 S1 S .2 n n2Sn n n2n 所以，當n1a1 a2 an 考點 1 nn【例5設b ，S b b b 證明：當n6時，S nnn】b ，S 1 nn【nn213nn211n 得，1S 1 1n121所以S 22 n2 n 1 成立，只需證明當n6n(n2) 1要證明當n6S n

17、3nn(n(n1)(nn(n令cn 】b ，S 1 nn【nn213nn211n 得，1S 1 1n121所以S 22 n2 n 1 成立，只需證明當n6n(n2) 1要證明當n6S n3nn(n(n1)(nn(n令cn (n6，則cn1 cn 02n所以當n6cn1 cn 因此當n6c c 68 3 1，于是當n6n(n2) 1 1 n綜上所述，當n6S n1（2009，且S 1a n，其中a 1，a 0已知數(shù)列a 的前n項和為*nnn1n2 求數(shù)列an的通項公設數(shù)列b 滿足為b 的前n項和求證1 b1 1，nnn2a 1，nN*2T n】 因為S 1a S 1a 1a ，故【n n1 n

18、n222a 2nN*由條件知0，所以由于a S 1aa a 1，故a 21 122于是a2m1 12m1 2m1a2m 22m1 2m所以a nnN*n12b 11，得2n 12b 11 由，nnnn2n2 2n故b n從而T b b b log 246 2 2n1n1 3 4 4 2Tn 2log2 log2 2n 12n11 3 1 3 4 log22n 因此2T log 2a 1 2 n2n 11 3 4 14 1log2 log2 2n12n2n 12n 1 3 1 3 4 1f n ，2n 12n1 3 2n24 1f n1 ，2n1 2n12n1 3 f n2n 2n22n4n2

19、8n2n2n12n 4 14 1log2 log2 2n12n2n 12n 1 3 1 3 4 1f n ，2n 12n1 3 2n24 1f n1 ，2n1 2n12n1 3 f n2n 2n22n4n2 8n2n2n12n 32n 4n2 8n故注意到f n0，所以f n1 f nfnf141，從而2a 1log f n0232a 1，nN*所以2T n24 4 2Tn 2log2 log2 2n 12n11 3 1 3 4 下面只需證明log2 log2(2an 2n11 3 2n2 5， 2n2n 3572n241 3 2n2 4 2n 14 4 5 nn4 4 2n11 3 2n1考

20、點 （2011 年東城高三期末） 已知集合 Aa1 , a2 , an中的元素都是正整數(shù)， 且【例6x y xy a a a x , yAx yn1 n1（）1 （）求n9 （）對于n9A0，因此1 1111【xy n n n1111注意，于a n 1 1 ，它是一個上界為1，下界為0，單調(diào)遞減的數(shù)列a n 利用a1 a2 an ap 的下界，可以得到ap p n n利 a a ap a n p11 n a pn ，于是n 25 ppn pp5，有n10n9 1a 251n1111注意，于a n 1 1 ，它是一個上界為1，下界為0，單調(diào)遞減的數(shù)列a n 利用a1 a2 an ap 的下界，可

21、以得到ap p n n利 a a ap a n p11 n a pn ，于是n 25 ppn pp5，有n10n9 1a 251，于是，可以令25nnn25n na11A1234 , 5 , 71017 , 511】已知正數(shù)數(shù)列anmnpqN mn pq*ap am ，a a1a 1a 1a 11mnpq1a試證明一定存在一個與a 有關的常數(shù)a ，使得n N* ，an】分析： 1 a a a 01 a 2aaaannnnn211 a n ap am mn pq k 1a 1a 1a 1kmnpq2于 是 b ，現(xiàn) 在 就 要 證 明 b ， 也 就是1 a n 2b 1aa而b2n m1a1

22、a1 a11a11a 11a1a nn 1nn1011aaa1時0 a1a1a1111,a11于是na,a112,a1011aaa1時0 a1a1a1111,a11于是na,a112,a1a 1 a2a,a1a 1 a2a, a取a,a 考點 （2011年西城高三期末）已知數(shù)列an，bn滿足bn an1 an ，其中n12 , 3（）若a1 1bn n，求數(shù)列an（）若bn1bn1 bn(n2，且b1 1b2 2（）記cn a6n1(n1，求證：數(shù)列cn【例7（）若數(shù)列an a n 1nn2】（）an a1 bk a1 k 1n 2kkbn1 bn的nN* 有b （nnnnncn1 cn a6

23、n5 a6n1 b6n1 b6n b6n1 b6n2 b6n3 b6n1221 1 1 7 n1（ii數(shù)列an6 個公差均為7的等差數(shù) 13 2a 6，11a 7 na 17 n這樣劃分后， 數(shù)列 an 就可以看做是6 個數(shù)列11 n 16n1 ，26n13 7na 67 na 37 n57 na1266n111，3a 7 na 17 n這樣劃分后， 數(shù)列 an 就可以看做是6 個數(shù)列11 n 16n1 ，26n13 7na 67 na 37 n57 na1266n111，36n46n56n7na1 77na1 67na1 47na1 27n a1 ，6n6n6n6n6n7n 121數(shù)列7nb

24、當且僅當b 7d 時為常數(shù)數(shù)列，而當b 7d 6n d當a1 的值6675746, 734 , 722 , 711,6666670 1 , 4 , 1 , 1 , 12162, 4 , 1 , 1 , 1時，因為組成數(shù)列an 6 另一方面，若2 n 1616 , 4 , 1 , 1 , 1綜上數(shù)列的首項a 應滿足的條件是211【1（20103）設等差數(shù)列an的前n項和為Sna111a4a66Sn n等于）】【設該數(shù)列的公差為d，則a4 a6 2a1 8d 2118d 6d 2所以S 11n n(n12n2 12nn6)2 36，所以當n6S nn2 a4 3，4d a 8d 2a52 【2（2

25、007(a的最小值是）設該數(shù)列的公差為d，則a4 a6 2a1 8d 2118d 6d 2所以S 11n n(n12n2 12nn6)2 36，所以當n6S nn2 a4 3，4d a 8d 2a52 【2（2007(a的最小值是）D】ab x y,cd (a(x (2 xy【3】已知數(shù)列a, b，其中a 1，數(shù)列a n項和n2a (nN1nnn2列bn滿足b12bn1 2bn 求數(shù)列an, bn的通項公 1 m8 11是否存在自然數(shù)m，使得對于任意nNn2，有14若存在，求出m因為S n2a (nN【】nn當n2時，Sn1 (n1) 2所以a (n1)22nnan n1所以(nnnna 1

26、12 n1n2n3211 a1所以a nn1nn4 3 n(n n1時，上式成立因為b1 2 , bn1 2bn 所以b是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故b 2nnn由b 2nn則11 1 21111112n2nb2n假設存在自然數(shù)m，使得對于任意nN, n2，有1 m8恒成立1114 m8 m82m161244所以存在自然數(shù)m，使得對于任意nN , n2有1 m8恒成立，此時，m的最小值為1114【演練4】等差數(shù)列an各項均為正整數(shù)a1 3，其前n 項和為Sn S10 120 求a ； 求 3 111nn設an的公差為d ，則d 為正整數(shù)【】由題意a 3 S 120 310109d 120，d 12數(shù)列an 是首項為3，公差為2 的等差數(shù)列an 2n1 Sn 35(2n1)