高等數學教案第一章

1、學習必備 歡迎下載第一章 微積分的理論基礎內容及基本要求：1、懂得函數的概念 2、懂得復合函數的概念,明白反函數的概念 3、把握基本初等函數的性質及其圖形 4、會建立簡潔實際問題中的函數關系式 5、懂得極限的概念 （對極限的 N、 定義可在學習過程中逐步加深懂得）6、把握極限的四就運算法就 7、會用兩個重要極限求極限 8、 解無窮小、無窮大,以及無窮小的階的概念；會用等階無窮小求極限 9、 懂得函數在一點連續(xù)的概念 10、明白間斷點的概念,并會判定點的類型 11、明白初等函數的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（介值定理和最大、最小值定理）學習重點： 函數概念；復合函數概念；極限概念；極限四就運算

2、法就；兩個重要極限；函數連續(xù)概念；學習難點 ：極限概念；第一節(jié) 函數一. 函數的概念及其表示法1.函數的定義 設 x 與 y 是變量 , D 是給定的一個數集 . x D , y 依據肯定的法就總有確定的數值與之對應 ,就稱 y 是 x 的函數 ,記作 y f x .其中 D 為函數的定義域 , x 是自變量, y 是因變量 . 0 x 處的函數值記為f0 x,即y0fx0. ,對應的函數值總是只有一Wy|yfx,xD稱為函數yfx 的值域 . 單值函數與多值函數: 假如自變量在定義域內任取一個值時個,這種函數稱為單值函數,否就稱為多值函數.本書一般指單值函數. 2.定義域的求法D1實際問題由

3、實際意義確定:如自由落體運動xx01 gt 22,就其定義域為t0. 2數學式子由算式有意義的自變量的一切實數值所確定:如y12 x,其定義域為1,1. 3.函數的圖形建立直角坐標系后|,點x,y的集合 C : Cx,yyfx,xD稱為函數yfx 的圖形 . 學習必備歡迎下載4.特殊函數1肯定值函數 : yxx ,xx,0 xsgnx. x,0 .2符號函數 : ,1x,02,52. .如絕ysgnx0,x0,1x0 .3取整函數 : y x表示不超過 x 的最大整數 .如1,124分段函數 :在自變量的不同范疇中,用不同式子表示的同一個函數稱為分段函數對值函數 ,取整函數 ,符號函數都是分段

4、函數.兩個不同式子的分界點稱為分段函數的分段點. 二. 線性函數的基本屬性1.轉變量 對于函數 y f x ,當自變量在其定義域內從一點 x 變?yōu)楫愑?x 的點 x 時,相應地,函數值從 0y 變?yōu)?y ,我們稱 x x 0 為自變量 x 在 x 處的轉變量,簡稱為自變量的轉變量, 記作 x x 0 x,稱 y y 0 為函數 y f x 在 0y 處相應的轉變量,簡稱為函數的轉變量,記作2.勻稱變化與非勻稱變化yyy 0fxfx0. 對線性函數,無論自變量x 從哪里開頭變化,只要它的轉變量一樣大,就函數的轉變量也一樣大；換句話說,線性函數隨自變量的變化是勻稱的,即y x. 三. 復合函數與反

5、函數1. 復 合 函 數設 函 數yfu的 定 義 域 為D , 函 數u x在D2上 有 定 義 , 而W 2u|ux,xD2,且W 2D1,那末 ,對xD2通過函數ufx有確定的 u 與之對應 ,對于這個 u 通過yfu有確定的y 與之對應 ,從而得由yu,ux復合而成的復合函數,記作yfx,而 u 為中間變量 . yarcsinu, 留意1不是任二個或二個以上的函數都復合成一個復合函數.如ux22就不能復合成一個復合函數學習必備歡迎下載. 2 任一復合函數都可以分解成一些簡潔函數的復合 .此點在求復合函數的導數時很重要 .如函數 y ln tan x可分解成 : y ln u , u t

6、an v , v x .2 22.反函數 設函數 y f x 定義域為 D ,值域為 W .對 y W ,總 x D , s . x 與 y 對應,這樣就確定了一個以 y 為自變量的函數 x ,稱為 y f x 的反函數 ,記作 x y ,也記作 y f 1 x .相對于反函數 y f 1 x ,原先函數 y f x 稱為直接函數 . 留意 1單值函數的反函數不肯定是單值函數 ;但當直接函數 y f x 不僅單值且單調時,其反函數 y f 1 x 必為單值函數 . 2 y f x 和 y f 1 x 的圖形關于直線 y x 對稱 . 四. 初等函數與雙曲函數1.基本初等函數1.冪函數 :yx,

7、是常數 . . secx ,ycscx .2.指數函數 :yax,a0 ,a1,特殊地 :yex. 3.對數函數 :ylogax ,a0,a1,特殊地 :ylnx留意 :指數函數與對數函數互為反函數. 4.三角函數 :ysinx,ycosx,ytanx,ycotx ,y5.反三角函數 :yarcsinx ,yarccosx ,yarctanx,yarccotx. 2.初等函數由常數與基本初等函數經過有限次四就運算和有限次復合所構成的并且用一個式子表示的函數 ,稱為初等函數 .如ylntanx,ylnx1x2.2都是初等函數 . 3.雙曲函數與反雙曲函數1.雙曲函數雙曲正弦:shxex2ex,D

8、,奇函數,圖形過原點且關于原點對稱. 在,內,當 x時,shx學習必備x e歡迎下載時, shxy1ex. y1 2,當 x2雙曲余弦 :chxex2ex,Dx,偶函數 ,圖形關于 y 軸對稱 .在,0 內,在0,內. x時,chxy1ex,當 x時, chxy1ex. .在22雙曲正切 :thxshxexe,D,.奇函數 ,圖形過原點且關于原點對稱chxexex,內,且thx1,當 x時 ,thx1; 當 x時, thx1.即y1為thx 的兩條水平漸進線. 性質 : sh xyxshxchychxshy,ch xychxchyshshxshy ,ch2x2 sh1 ,sh 2x2shxch

9、x,ch2xch2x2x. 2.反雙曲函數反雙曲正弦 :yarshxlnx1x2,單值 . ,1 y0 . 反雙曲余弦 :,主值xyarchxlnxx21 反雙曲正切 :1ln1x x. yarthx21函數舉例 : 例 1 設fx 1xx2,求f nx fffx. x解f2xffx2fxx f1x2221xx2; 1f22x11x例 2 f3x ff2xx2,nx1x2. 13xnx1 xx2設fx x . 1,求fx2解fx1 xx1ftt22,即fxx22. ,2x例 3 設fx x e2,fx1x,且x0,求x 及其定義域 . 解fx ex 2,所以fx 學習必備.又歡迎下載0,所以e

10、2x x 由1 得e2x 1xx , 1x0,即x 的定義域為ax0. b對稱ab,就fxe2x 1x,1 2x ln 1x ;由2得例 4 設yf,x,的圖形關于直線x與x為周期函數 . 即f證明fxf2 axf x 關于xa對稱 關于xb對稱 f2b2axfxfx2 ba, x為周期函數 . 五.函數的參數表示與極坐標表示1.函數的參數表示把 y 與x的函數關系通過變量t 間接地表示為t 稱為參變量,也稱為xx t,tDyy t,上式稱為 y 與 x 函數關系的參數表示式,也稱為此曲線的參數方程,參數；2.函數的極坐標表示 在平面上選取一條具有起始點 O （稱為極點）和長度單位的半直線 O

11、x,稱為極軸,這樣在此平面上就建立了極坐標系；對平面上任一點 P,將線段OP的長度記為,成為極徑, 極軸 Ox 到射線 OP 的轉角記作,稱為極角； 假如限制 0 2, ,0,那么平面上除極點 O 外任一點 P 便有唯獨的有序數組 , 與其對應； 反之, 任給一數組 , ,以 為極角,為極角,必有唯獨的點與之對應；因此,我們把 , 稱為點 P 的極坐標；點 P 的直角坐標x,y與極坐標,之間有如下關系y2x,tanx2cosyysinx學習必備 歡迎下載其次節(jié) 數列的極限一. 數列1.數列無限多個數有次序地排成一列x1,x2,xn,第n項x 稱為數列的一般項.數列稱為數列 ,記為nx.數列中的

12、每一個數稱為數列的項xn也可看作自然數n 的函數 : x nfn,nN. 在幾何上 ,數列xn也可看作數軸x 上的一系列點 . 2.子數列設數列xn. 在xn中 第一次抽取nx1, 其次次抽取xn2,n2n 1,第 k 次抽取xnk,得新數列,xnk. x1n,xn 2,xn k稱為數列nx的子 數列二. 數列的極限 :lim nxnA .1.引例 :劉徽的割圓術 . 2.數列極限的定義設數列xn1.觀看當 n 無限增大時 ,數列的項的變化趨勢.詳細寫出來是 : A0,此n,11,1,1,1,1,2345n當 n 無限增大 即要多大就有多大時 ,一般項1 無限接近 要多近就有多近 n于常數時稱

13、數列1 n的極限為零 ,或數列1收斂于零 .由此有n定義 描述性定義 xn當 n 無限增大時, 數列xn與常數 A 無限接近 ,稱數 A 為數列xn的極限 ,或稱數列收斂于 A .記作lim nxnA .,或xnA , n. 下面我們對數列1來詳細分析 : n要使1 與 nA0的距離小于1,即101A學習必備0歡迎下載1. 11nnn10就n110,取N10,當n10時,101,即從第 11 項開頭 ,全部項與A0的n10距離小于1 10. , 要 使1A1011, 就n100. 取N100, 就 當取1100nnn100nN1 0 0 時, 1 n01,即從第 101 項開頭 ,全部項與A0

14、的距離小于1. 100100 1 1 1 1 10 ,要使 A n .取 N , 就當 n N 時 , 0 .即從n nN 1 項開頭 , 全部項與 A 0 的距離小于 . 用精確的數學語言 ,有定義 給定數列 x n 和常數 A : 0 , N N 0 ,當 n N 時,有xn A成立 ,就稱常數 A 為數列 x n 的極限 ,或稱數列 x n 收斂于常數 A ,記為lim xn A . ,或 xn A , n . n假如數列沒有極限 ,就稱數列是發(fā)散的 . 留意 1 反映了數列 x n 中項 x 與常數 A 的接近程度 .由于 可以任意小 ,此時xn A 反映了 x 與常數 A無限接近 要

15、多近就有多近 ,不是越來越近 . 2 N N 反映了數列 x n 中與常數 A 接近的項的范疇 ,即從 N 1 項 x N 1 開頭 ,所有項與 A 的距離小于 .因此 N 是 的函數 .一般地 , 越小 ,就 N 越大 . 3 lim xn A . 主要是對于給定的 ,能夠找到一個 N,使得 x N 1 , x N 2 , , x n , 與 An的距離小于 ,而前 N 項 x 1 , x 2 , , x N 是否與 A 的距離小于 沒有任何影響 . 4 N 是否存在才是關鍵 ,不必找最小的 N . 5 lim n xn A . 的幾何意義 : 由定義 : 0 , N N 0 ,當 n N

16、時,有xnAxnA學習必備歡迎下載, ,AUA ,即xN1,xN2,xn,全部落在 A 的鄰域內 . A適當例 1 證明lim nnn1 n11. 分析 :由注 3的思路 :0 從不等式xnA解出 n ,從而確定 N . 證明0 ,要使x nAnn1n111n就n1.取N1,就當nN時,有xnA所以lim nnn1n11. 有時 ,由xnA解出 n 是特別麻煩 .由注 4可知 ,此時可將不等式xn放大 不能太大 ,即xnAfn g n 放大后gn仍可小于. 由gn解出 n ,從而確定 N .就當nN時,有xnAfn gn 故lim nxnA .注:這里的適當放大意思是xnAf ng n 例 2

17、 證明lim nn2na21 . 證明0 ,要使xnAn2na21n2a2nn此時直接解出n 很難 .將xnA適當放大 , xnAn n2a22n a2an所以na2,取Na2即可 . 學習必備歡迎下載就n或如下放大 : | a|x nAnanann|a|.取N即可 . 三. 收斂數列的性質定理 1極限唯獨性定理 假如數列xn,就其極限必唯獨. 0.就證明設lim nxnA .nlimxnnB.AB.取B2A. B2A. 由lim nxnA .就N10,當N1時,有xnA由nlimxnB,就N20,當nN2時,有xnBB2A. 取NmaxN1N2,就當nN時 ,有xnAB2A,xnBB2A.解

18、得xnB2A,沖突 . xnB2A.定理 2（有界性）收斂數列必有界.但有界數列不肯定收斂. 證明設lim nxnA .就給定0,N0,當nN時,有xnAx nx nA AxnAAA0, 1不存在 為什么 .見取Mmaxx 1,x2,xN,A0.就對任意的 n ,有xnM即數列xn必有界 . 反之 ,數列1 n1是有界的 由于1n1M1,但lim n1n下面的說明 . 定理 3（保號性）設lim nanA ,學習必備歡迎下載N,使得nN,恒有A0 A0 ,就anq0 anq0其中 q 為某一正常數；例 3求lim x 2x2x315.2lim x 23xlim x 250 ,.3x解lim x

19、 2x23x5lim x 2xlim x 2x 23lim x 2xlim x 25223253lim x 2x2x315lim x 2x3lim x 2123173xlim x 2x23x533三. 數列極限的有理運算法就定理 4：設lim na nA ,lim nb nB ,就limcanncliman.nn.1 lim na nb nAB ; 2 lima nb nAB ; 3 limanA,其中B.0b nB推論 1 假如liman存在,而c為常數,就常數因子可以提到極限記號外面. 就lim nanlim na推論 2 假如lim na n存在,而n是正整數,四. 數列極限的判定法就1

20、.夾逼準就準就 假如數列 x , ny n 及 nz 滿意以下條件 : 1 y n x n z n n ,1 2 3, 2 lim n y n a , lim n z n a ,那末數列 x 的極限存在 , 且 nlim xn a . 證：y n a , z n a ,0 ,N10 ,N20,使得學習必備歡迎下載當nN 1 時恒有y na,當nN2時恒有z n,a,取NmaxN1N2,上兩式同時成立, 即ayna,azna,當nN時,恒有aynx nzna,即xna成立,lim nxna .n1n.求lim nn111例 4：2n222解：n11nn2nn21n2nn21又lim nnnnli

21、m n111,12lim nnn1lim n111,1n2n2由夾逼定理得lim n11n12n1n1 .n2222.單調有界準就假如數列xn滿意條件x 1x 2x nxn1,就稱此數列單調增加；或者x 1x 2x nxn1,稱此數列單調削減準就單調有界數列必有極限. 幾何說明 : x 1x2x3xnxn1AMx 的極限存在.例 5：證明數列xn333n 重根式證：明顯xn1xn,xn是單調遞增的;33 ,又1x33 ,假定xk,3x k13x k3xn是有界的;lim nx n存在.學習必備歡迎下載x n13x n,x213xn,Alim n2 x n1lim n3x n,n2 A3A ,解

22、得A1213,113舍去 2五.子數列及其與數列的關系定理 5數列與子數列關于收斂的關系 假如lim nxnA .就其任一子數列xnk必收斂 ,且limk x n k A .注1逆否命題 :假如數列 x n 的某一子數列發(fā)散或某兩個 或兩個以上 子數列收斂 ,但極限不同 ,就數列 x n 必發(fā)散 . n 1例 6 證明數列 1 是發(fā)散的 . 證明 取兩個子列 : 2k 1 2k 1奇子列 : 1 ,明顯 lim k 1 1 .又2k 2k偶子列 : 1 ,明顯 lim k 1 1 . 2k 1 2k n 1由于 lim k 1 1 lim k 1 1 ,所以 lim n 1 不存在 . 2假如

23、數列 x n 的奇子列與偶子列均收斂于同一極限 ,就數列 x n 必收斂 . 學習必備 歡迎下載第三節(jié) 函數的極限主要爭論 :在自變量的某一變化過程中,函數是否與一常數無限接近,即1lim x x 0fx A; 2lim xfx A. 一.自變量趨于變大時函數極限的概念lim xfxA.即自變量 x 無限接近時,fx 無限接近于A. . . x包括 x和 x. 定義1設fx當xM時有定義 .,0X0,當xX時,有fx A成立 ,就 A 稱為fx當 x的極限 ,記為lim xfxA或fxA ,x2設f x 當xM時有定義 . ,0X0,當xX時,有xfx A成立 , 就 A 稱為fx當 x時的極

24、限 ,記為x limfx A或fxA ,3 設fx當xM時有定義 . 0,X0,當xX時,有x. fx A成立 , 就 A 稱為fx當 x時的極限 ,記為lim xfx A或fxA ,注:1 lim xfx A的幾何意義 : 2 lim xfx Ax limfx x limfx A. 3 lim xfx A,就yA為曲線yf x 的水平漸進線 . 例 1 證明lim xsinx0. x證明0 ,要使fx Asinx0sinx1xxx就x1.取X1,就當xX時,有sinx0 x即lim xsinx0. 學習必備歡迎下載x例 2 求lim xarctan x. ,x limarctanx2,所以l

25、im xarctanx不存在 . 解x lima r c t a n2同理x limarccotx,0 x limarccotx,所以lim xarccotx不存在 . 記住 :lim xsinx ,lim xcosx均不存在 .0 x 時,fx無限接近于 A . 二. 自變量趨于有限值x 時函數的極限x lim x 0fxA,即自變量 x 無限接近定義0 0定義 設 f x 在 U x 0 內有定義 . 0 , 0 ,當 x U x 0 , 時,有f x A成立 ,就 A 稱為 f x 當 x x 0 時的極限 ,記作lim f x A 或 f x A , x 0 x . x x 0注1由極

26、限的定義知 , f x 當 x x 0 時是否有極限與 f x 在 x 處是否有定義無關 . 2 反映了 f x 與 A 的接近程度 .由于 0可以任意小 ,故 f x 與 A 可無限接近 . 3 0 反映了自變量 x 與 x 的接近程度 . 4給定 0,問題是是否存在 0 .假如 存在 ,就當 x 0 x 時 f x 以 A 為極限 ;否就 , f x 的極限不存在 .因此 ,只要確定一個 ,而不必找出最大的 .一般地 ,假如越小 ,就 也越小 . 5 的求法是由不等式 f x A 接出 x x 0 g 不是解 x ,取 g 即可.同數列極限 ,假如 f x A 解 x x 0 較困難 ,可

27、將 f x A 適當放大 ,即f x A h x 0 x 再解出 x x 0 . 6幾何意義 :當0 xx 0學習必備x歡迎下載,即 x0 U0,時 , 有fx AAfx A. 7明顯有x lim x 0cc ,x lim x 0 xx 0. 例 3 證明2 lim xx 1 x12. 1處無意義 ,但極限存在 . 1證明fxx21在xx10,要使fxAx212x12x1x4401, 即x1取,當0 x1時 ,有2 x12x1即2 x lim x 1 x12. 1例 4 證明lim x 4xx40. 證明0 ,要使fx Axx40 xx4解出x4幾乎不行能 將fx Axx4適 當 放 大 ,

28、怎 么 放 呢 . 因 為x4時 , 不 妨 設03x5,x4.從而x,fx Axx4x34解得x43.取min1 3,就當0 x4時 ,有fxAx即lim x 4xx40. 左、右極限 : x lim x 00fx A,x lim x 00fx A. 1左極限 : xlim x 00fx A或f學習必備0 歡迎下載x0A0,0 ,當x0 x0時,有fx A成立 . ,就x lim x 0fx 不2右極限 : xlim x 00fx A或fx00 A0,0 ,當0 xx0時,有fx A成立 . 3左、右極限與函數極限的關系: lim x x 0fx Axlim x 00fx lim x x 0

29、0fx A. 注:假如fx在0 x處的左、 右極限至少有一個不存在或都存在但不相等1 .存在 .該結論常常用來爭論分段函數在分段點的極限是否存在. 例 5 求符號函數fxsgnx當x0時的極限lim x 0sgnx. ,1x,0解fxs g n x0 ,x0,x0為fxsgnx的分段點 . ,1x0 .f0 x lim 0sgnxx lim 01,1f0 x lim 0sgnxx lim 01由于f0f0 ,所以lim x 0sgnx不存在 . 三. 函數極限的性質與運算法就 1.性質1. 唯獨性定理如limfx存在 ,就極限唯獨 .2 . 局部有界性定理如在某個過程下,f x 有極限 ,就存

30、在過程的一個時刻,在此時刻以后fx有界 . 3. 局部保號性定理假如x lim x 0fx A,且A0或A0,就存在0 Ux 0,當 x.0 Ux 0時,有證明設A0,取A 2,就fx0或f x 0 時 ,有0 ,當0 xx 0A 2fx 3Afxfx AA0. 22A 2,就A00,當 x注:假如取Ux 0Ux0時,有fx2學習必備 歡迎下載4 .保序性設x lim x0fxx ,A,x lim x 0gxB . 如,0 xU0 x 0,有fxgB.就A推論：設lim x x0fxx .A,lim x x 0gxB,且AB就0,xU0 x0,有fxg5.夾逼準就假如當xU0 x 0或xM時,

31、有 1 gx fxhx,2x lim x 0 xgx A,x lim x 0 xhxA ,那末limx x 0 xfx 存在 , 且等于 A. 2.運算法就定理 1設limfxA ,limgxB,就limgx .留意 :1 運用該公式時x fx與limfx gxABlimfxgx的極限必需同時存在,否就顯現錯誤 . xx limexx limx如x limx e,x limx, 但x limx e是錯誤的 ,雖然結論是正確的. f1xlimf2xlimfm. 2該結論可推廣到有限個函數的情形.即limf1xf2xfmxlim定理 2 設limfxA ,limgxB,就gx. limfxgxAB

32、limfxlim留意 :1也必需留意定理的條件.如lim x 0 xsin1lim x 0 xlim x 0sin10 xx是錯誤的 ,雖然結論是正確的. x limexx limx ex lim100 xx是錯誤的 .結論為xlimex. x學習必備.即歡迎下載2該結論也可推廣到有限個函數的情形limf1xf2xfmxlimf1x limf2x limfmx. 3特殊情形 : limCfxClimfx,limfxnlimfxn. . 定理 3設limfxA,limgxB0,就limfxAlimfx . gxBlimgx留意 :定理的條件B0,否就顯現錯誤 .如lim x 0sinxlim x

33、 0sinxlim x 0sinxxlim x 0 x0是錯誤的 .事實上lim x 0sinx1. xlim xxsinxlim xsinxlim xsinxlim xsinx1lim x1 x0 x是錯誤的 .事實上 ,當 x時,xsinx是無界函數 ,而不是無窮大 . 由于數列極限是函數極限的特殊情形,故以上的運算法就對數列極限也是成立的推論 1假如limfx 存在,而c為常數,就limcfx climfx.常數因子可以提到極限記號外面. 推論 2假如limfx 存在,而n是正整數,就limfxnlimfxn.四.例題 現在運用極限的運算法就可求一些簡潔函數的極限 . 1.有理函數的極限

34、 1有理整函數的極限設P nx anxnan1xn1a 1xa0,an0,就x lim x 0P nxP nx 0. 2有理分函數fxP nx的極限Q mx b 1xb 0,bm0. Qmxb mxmb m1xm1就x lim x 0fxx lim x 0P nxQ mx0,由商的極限知Qmx由于lim x x 0P nx P nx 0,x lim x 0Q mx 當Qm0 x0時, x lim x 0fx學習必備歡迎下載P nx0. x lim x 0P nxQmxQmx0 當 P n x 0 0 , Q m x 0 0 時, lim x x 0 QP n m x x QP mn x x0

35、0 0 , x lim x 0 Q P nm xx . 當 P n x 0 0 , Q m x 0 0 時 ,先分解因式 ,約去極限為零的公因子 ,再依據 、兩種情形求極限 . 例 6 lim x 3 x x2 39 lim x 3 x 13 16 .2例 7 lim x 1 x 2 2 x5 x 34 , 由于 lim x 1 x2 x 5 x3 40 P n x 3 lim x f x lim x Q m x . a當 m n 時n n 1P n x a n x a n 1 x a 1 x a 0lim x f x lim x Q m x lim x b m x mb m 1 x m 1b

36、 1 x b 0a n 1 a 0lim xb am nb m x1 xb n0m b am n. x xb當 m n 時n n 1P n x a n x a n 1 x a 1 x a 0limx f x limx Q m x limx b m x mb m 1 x m 1b 1 x b 0a n a n 1 a 0lim x m nx m n 1x m 0 0 . xb m b m 1 b 0m b mx xc當 m n 時 ,由2有Q m x P n x lim x P n x ,0 lim x Q m x . 綜上有l(wèi)im xP nx,0nnm ,a nb m,m ,Q mx ,nm

37、.例 8 x lim2 x15x153 105 2. 學習必備歡迎下載x5 2.雜例例 9 x lim3x2s i n x0. 211 2. 3. x1例 10 lim nnn1nlim nnnnlim n11113. n例 11 lim n13n2 n1 n lim nn23nlim nn3 n3n3例 12 lim n2n1n 31lim n2 2 32 3n113033. 2nn 3n01x1 2. 例 13 x limx x21xx limx2x1xx lim111x1例 14 x limx x21xx limx2x1xx lim111x2由以上知lim xxx21x 不存在 . x1

38、 x1例 15 lim x 1x2xxlim x 14 xx x1lim x 1x x1x1 2 xxx2x例 16 lim x 1x11x2 1lim x 1xx12lim x 1x111 2. 221五. 復合函數的極限定理設lim x x 0 x a,且x0 ,x0 Ux0,又lim u af uA,就lim u af u A換成在定理中l(wèi)im x x 0uxu A. 或lim xx, 而把fxlim u aflim x x 0 x lim x x 0 x a換成,將lim uf u A,結論仍成立 . 例 17 lim x 1x2xxtxlim t 1t4t學習必備2歡迎下載3. li

39、m t 1ttt11t1例 18 x limsinx1sinx2x limxc o sxx12xs i nx1ux. , 22由于cosx1x1,且1ux1lim u 0sin02xx limsinx1x limsin21x21所以原式 =0. 例 19 lim x 031x1t61xlim t 1t31lim t 1t2tt13. 1x1t2112六. 兩個重要極限1.lim x 0sin xx1 .0 型 0另一個 x; 1與lim xsinx0的區(qū)分 ,x0留意x2令t1,就該極限變形為l i m tts i n 1t1. x3一般地 ,有常用情形 limsinfx1, xxxxx11.

40、1s i n xx .2fx其中l(wèi)imfx0. lim x 0s i n x例 20 lim x 0sinxsinxxs i n例 21 lim x 1sin 1x lim x 11sin 1x lim x 1xx1x11例 22 lim x 01xx2cosxlim x 0 x21xsinxcosx2lim x 01cos1sinxsinx1xsinxcosxxx2x2lim x 01x學習必備1歡迎下載.21114.2sin2xsin3例 23 221x2xlim xs i n x 1x2 c o s xx0lim xsinxx2xcosx2022.lim x 11xe,1 型. fx,就

41、t0.所以0 .lim t 01t11e. 1.x留意1等價形式 :令t1,xtx2lim x 0 11x1 ,0型. xe ,limfx3一般形式 : lim1f1x例 24 求lim x11x. lim x11x1 lim x11xex解: 方法一lim x 11xlim x 11xxxxx方法二lim x 11 xxlim x11xtxlim t 1x1 ttlim t1t1 tt1e1.x例 25 lim xx21 1x2lim x 1x1t21lim t 11 t2121x2x222lim t11 tt211 t2 e1e2.12 e1 ee .留意對 1型,可用下面簡便方法運算:

42、設limux1 ,limvx,就limuxvxelimux 1v x . 例 26 lim x 111xelim xx11elim x 1xx2xxx2例 27 lim x2 x1x2lim e xx 2x211 lim e x2x 2x 21x21.x21學習必備 歡迎下載第四節(jié) 無窮小量與無窮大量一. 無窮小量及其階的概念1.無窮小量的概念假如在自變量x 的某一變化過程中,fx 的極限為零 ,就稱f x在自變量 x 的變化過程中為無窮小量 .由此定 義設fx在0 x 0 或xM 時 有 定 義 .0 ,0 或X0, 當U0 xx 0或xX時,有f x , 就稱fx當x0 x或 x時為無窮小

43、量 ,記作x lim x 0fx 0或lim xfx 0 . 如lim x 0 xsin10,就xsin1當x0時為無窮小量 . xx時與數 0 無 ,它不能小于任lim xsinx0,就sinx當 x時為無窮小量 . xx留意 :區(qū)分無窮小量與很小的數:無窮小量是函數fx當xx0或 x限接近 , fx的函數值可能等于0 也可能不等于0;很小的數是一個確定的數意給定的正數. 2.無窮小量與極限的關系定理x lim x 0 xfxAfx Ax,其中l(wèi)imx x 0 xx 0. 3.無窮小量的性質取性質 1有限個無窮小量的和仍是無窮小量. 證明設x lim x 0 x 0,x lim x 0 x0

44、,即0 , 10,當0 xx01時,有2; 20,當0 xx02時 ,有2. min1,2,就當0 xx0時,有22.# 性質 2有界函數與無窮小量的乘積仍是無窮小量. 如lim x 0 x0,sin11,就lim x 0 xsin10. xx證明設fx在0 Ux0,1學習必備f歡迎下載,x0 Ux0,1.lim x x 0g x 0,就內有界 ,即x M取minM,020,當0 x0 xx 02時 ,有gx M. 2,就當0 x時,有1,fx gxfx gx MM.# 由性質 2 可得 1常數與無窮小量的乘積仍是無窮小量 . 2有限個無窮小量的乘積仍是無窮小量 . 但請留意 : 1無限個無窮

45、小量的和不肯定是無窮小量. . 2無限個無窮小量的乘積不肯定是無窮小量4.無窮小量的比較定義 :設,是同一過程中的兩個無窮小,且0.;1 假如lim0 ,就說是比高階的無窮小,記作o 2 假如limC C0 ,就說與是同階的無窮小;特殊地假如lim,1就稱與是等價的無窮小;記作; 3 假如limkCC,0k0 ,就說是的k 階的無窮小例 1證明:當x0 時,4xtan3x 為x 的四階無窮小.解：lim x 04xtan3x4lim x 0tanx34 ,x4x故當x0 時,4xtan3x 為x 的四階無窮小.例 2當x0時,求tanxsinx關于x 的階數.解：lim x 0tanx3sin

46、xlim x 0tanx1cosx1,xx2 x2tanxsinx為x 的三階無窮小.常用等價無窮小:當x0時,sinxx,arcsinxx,tanxx,arctanxx,ln1x x,ex1x ,1cosx1x2.2用等價無窮小可給出函數的近似表達式學習必備歡迎下載: limx,1lim,cosx0 ,即x2oo ,于是有o.1例如sinxox1x2.2二.無窮小的等價代換定理 等價無窮小替換定理：設,且lim存在,就lim. lim.證： limlimlimlimlimlim.例 3求lim x 0tan22x.1cosx解: 當x0 時 ,1cosx12 x,tan2x2x .2原式li

47、m x 02x2= 8 1x22留意 : 不能濫用等價無窮小代換.對于代數和中各無窮小不能分別替換例 4求lim x 0tanx3sinx.sin2 x錯解 : 當x0 時,tanxx,sinxx .原式lim x 0 xxx=0 23解: 當 x0時,sin2x2x,tanxsinxtanx 1cosx13x,2原式lim x 01x31.2x3162例 5求lim x 0tan5xcosx1.x3xox ,1cosx1x2o2 x.sin3x解: tanx5xox,sin3.2原式lim x 05xox1x2o x2lim x 05o x 1 2 o x x o x252xx33xox3x

48、三.無窮大量 1. 定義假如當xx0或 x時,f學習必備歡迎下載,就稱f x當xx0或 x時x可以無限增大為無窮大量 .即0 就稱作定 義設f x 在0 x0 或xM 時 有 定 義 . M0,0 或X0, 當Uxx 0或xX時,有fx M, fx當x0 x或 x時為無窮大量 ,記作x lim x 0 xfx. 注:1區(qū)分無窮大量和很大的數. 2無窮大量并不表示函數的極限存在,僅表示函數的性態(tài)或變化趨勢 . 3如fx M改為fxM,就稱fx當x0 x或 x時為正無窮大量,記x lim x 0 xfx. fx如fx M改為fxM就稱fx當x0 x或 x為負無窮大量 ,記作x lim x 0 xf

49、x. 4 x lim x 0 xfx ,就fx在0 Ux 0或xX時為無界函數 ;但反之不然 . 如fx xsinx在,內 無 界 取xkk,就fx kK,k, 但2xsinx當 x時不是無窮大量.取xkk,就fx 0. 5幾何上 ,lim x x 0fx 表示直線xx0是曲線yf x 的鉛直漸進線 . 6x limx e,x limx e0,令x1,就t lim 0e1,t lim0e10. ttt2.無窮大量與無窮小量的關系當fx0時,limfx0limf1.即. x 無窮大量的倒數是無窮小量,無窮小量的倒數是無窮大量. 兩個無窮小的商不肯定是無窮小,可以是無窮小 ,無窮大 ,常數 ,由此

50、產生了無窮小的比較第五節(jié)連續(xù)函數一. 函數的連續(xù)性概念與間斷點的分類學習必備 歡迎下載1.函數的連續(xù)性概念就稱1定義設yfx在Ux0內有定義 .假如 0, 當lim x 0ylim x 0 fxx fx 0, yfx在x 處連續(xù) . 所以由于xx0 x,故xx0 x,當x0時,就xx0. yfx0 xfx0fxfx 0fxfx0y,從而x lim x 0fx fx 0.由此有定義設yfx在Ux0內有定義 .假如lim x x 0fx fx 0.即fx 當xx0時的極限等于該點的函數值就稱yfx在x 處連續(xù) . 0 ,定 義 _語 言 設yfx在Ux0內 有 定 義 .0 xx 0時,有就稱fx

51、f0 xyfx在x 處連續(xù) . 2左連續(xù)、右連續(xù)就稱定義1設fx在x0 x0上有定義 .假如0y0 fx 00 xlim x 00fxfx 0或lim xyfx在x 處右連續(xù) . 就稱2設f x 在x0,x0上有定義 .假如0y0 fx 00 xlim x 00fx fx 0或lim xyfx在x 處左連續(xù) . 函數留意fx在0 x 處連續(xù)fx在0 x 處既左連續(xù)又連續(xù).該結論主要用于爭論分段fx在分段點x 處的連續(xù)性 . 學習必備 歡迎下載2.連續(xù)函數假如fx 在開區(qū)間a ,b內每一點均連續(xù),就稱fx在a,b內連續(xù) . a ,b稱為上連fx的連續(xù)區(qū)間 . a,b假如fx在開區(qū)間a,b內連續(xù)

52、,且在 a 處右連續(xù) , b 處左連續(xù) ,就稱fx在續(xù). a,b稱為fx的連續(xù)區(qū)間 . 幾何上 ,連續(xù)函數的圖形是一條連續(xù)不斷的曲線. aarccos x ,1x,1例 1 設fxb ,x,1,求a,b使得fx在x1處連續(xù) . x2,1x1.解fx在x1 處連續(xù) ,就f10 xlim 10aarccos xa,f10 xlim 10 x210, 且f1 b.所以a0 .b ,解得a,b0.b例 2 證明ycosx在,內連續(xù) . 證明x,就yfxxfxcosxxcosx, 所以lim x 0ylim x 0cos xx cosx2lim x 0sin2x2xsinx22lim x 0sinxxs

53、inx, 22,所以由于0sinxx0, x0 ,所以lim x 0sinx0.又sinxx12222lim x 0y0即ycosx在,內連續(xù) . 3. 間斷點及其分類0: 設fx在Ux 0內有定義 .假如fx滿意以下三種條件之一1在xx0處無定義 ; 2在x 處有定義 ,但x lim x 0fx 不存在 ; 3 在x 處有定義 ,且x lim x 0fx 學習必備歡迎下載fx 0. 存在 ,但lim x x 0fx 就稱fx在x 處不連續(xù) ,點0 x 稱為f x 的不連續(xù)點或間斷點. : 依據在間斷點函數的不同性質狀態(tài),可將間斷點分成以下兩大類1.第一類間斷點左、右極限都存在的間斷點,稱為第

54、一類間斷點. 1可去間斷點假如x 是fx的間斷點 ,且fx00 fx 00,就x 是f x的可去間斷點 . 明顯 ,假如定義fx 0lim x x 0fx ,就fx在x 處連續(xù) . 例 3 fxx21在x1處無定義 ,點x1為fx 的間斷點 .但2 x lim x 1 x12. x11假如補充定義f 1 2,即fx x21 ,1x,1x就fx在x,2x1 .1處連續(xù) . 2跳動間斷點例 4 假如x 是fx的間斷點 ,且fx00 fx 00,就x 是fx的跳動間斷點 . 爭論fxsgnx在x0處的連續(xù)性 . 解x0為fxsgnx的分段點 ,從而f0 ,1f01.由于x的間斷點 ,且為第一類的跳動

55、間斷點. f0f0 ,所以x0 為fxsgn2 .其次類間斷點函數的不是第一類間斷點的任何間斷點,稱為函數的其次類間斷點. 在的例 5 fxt a n x,x2是其間斷點 ,且limtanxx2所以xf2是fxtanx的其次類間斷點,也稱x2是fxtanx的無窮間斷點 . lim x 01 s i nx不存在 , fxsin1例 6 ,x0是其間斷點,且x0fx x 時 ,x1,1 內無限振蕩,故x0為fxsin1的其次類間斷點,也稱x0為fxsin1xx振蕩間斷點 . 例 7 設fxx3.求x31fx學習必備f歡迎下載的間斷點 ,并指出間斷點的類型；2 x的連續(xù)區(qū)間 . 解1明顯x3為f x

56、 的間斷點 .又30 xlim 30nx31, f30 xlim 30 x3,1fx3x3所以x3為fx的第一類跳動間斷點. . 1x22的連續(xù)性 ,如有間斷點 ,并指出2 fx的連續(xù)區(qū)間為,3 3 ,例 8 爭論fx lim n1x221x222xxx間斷點的類型 . 當x解fx lim n1x22 1112 11n11x22lim n11 112n, x 1xxx2x1x20時,fx1x2211121. x當xf1xf0 10 時 ,明顯fx0.所以fx,1x0 ,0 ,x.0明顯x在0,0,內連續(xù) .又lim x 0fx1f0 x0為fx的第一類可去間斷點.假如重新定義所以就fx在x0處連續(xù) . 二. 連續(xù)函數的運算法就與初等函數的連續(xù)性 1. 連續(xù)函數的運算法就也在由極限的運算法就,有在x 處連續(xù) ,就函數fxgx,fxgx ,fxgx0定理假如fx,gxgx 0 x 處連續(xù) . 定理反函數的連續(xù)性如 果yfx在 區(qū) 間Ix學習必備歡迎下載x