概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章3

1、3.5兩個隨機變量函數(shù)的分布 設(X, Y)是二維隨機向量，z = (x, y)是一個已知的二元函數(shù)，如果當(X, Y)取值為(x, y)時，隨機變量 Z 的取值為z = (x, y), 則稱Z是二維隨機向量 (X, Y)的函數(shù)，記作Z = (X, Y).問題: 已知(X, Y)的分布, 求Z = (X, Y)的分布.一、離散型隨機向量函數(shù)的分布例1概率解例2Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,X, Y 相互獨立證明由前面的例題可知例3例4設X和Y相互獨立，XB(n1,p),YB(n2, p),求Z=X+Y 的分布. 我們可以按照前面的方法來求解，也可以換一種方法.回憶第二章對服從二項分布

2、的隨機變量所作的直觀解釋:若X 是在n1次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率都為p，則X B(n1, p). 若Y是在n2次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率都為p, 則Y B(n2,p).Z=X+Y是在n1+ n2次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗中A出現(xiàn)的概率都為p，則Z=X+Y B(n1 + n2, p).于是Z是以(n1+n2，p)為參數(shù)的服從二項分布的隨機變量，即Z B(n1+n2, p). 從問題的背景出發(fā)得到的結果更直接，更容易理解.更一般地，設全班有n個同學，在相同條件下獨立重復進行同一個試驗，每次試驗成功的概率是p. 若第 i個

3、同學做了mi次試驗，其中試驗成功的次數(shù)是Xi. 全班同學一共進行了m= m1+ m2+ mn次試驗.設Z表示全班同學試驗成功的總次數(shù)，Z= X1+ X2+.+ Xn，則ZB(m, p).已知(X,Y) f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布. 若Z為連續(xù)型隨機變量，則在 f Z(z) 的連續(xù)點處二、連續(xù)型隨機向量函數(shù)的概率分布 解例5X,Y相互獨立，設Z的分布函數(shù)和概率密度分別為解1由概率密度的定義，故設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，它具有概率密度f (x,y)，求Z=X+Y的概率密度.已知(X,Y) f(x, y)，求Z=X+Y的概率密度.解2由概率密度的定義，故設(X,Y)是二維連

4、續(xù)型隨機變量，它具有概率密度f (x,y)，則Z= X+Y為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為又若 X 和 Y 獨立，(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為fX(x)，fY(y)，則這兩個公式稱為fX 和 fY 的卷積公式，記為 已知X, Y 相互獨立且均服從N(0,1)分布，求Z=X+Y的概率密度.解例6證明概率積分若X和Y 獨立，具有相同的分布N(0,1)，則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0, 2). 有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.例7解設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的概率密度均為求Z = X+Y的概率密度.被積函數(shù)的非零域 xzO10(10,10)(10,20)20

5、 xzO10(10,10)(10,20)20M=maxX,Y, N=minX,Y的分布例8 設相互獨立的兩個隨機變量 X, Y 具有同一概率分布，解M=maxX,Y, N=minX,Y的分布 設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y).求M=max(X,Y) 及 N=min(X,Y)的分布函數(shù).FM(z) = P(Mz) = P(max(X,Y)z) = P(Xz,Yz) = P(Xz) P (Yz) = FX(z) FY(z). 類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù).FN(z) =P(Nz)=P(min(X,Y) z) =1 P(min(X,Y) z) =1-P(Xz,Yz) =1- P(Xz)P(Yz) =