高考預(yù)測數(shù)學(xué)秋季文科第講復(fù)數(shù)算法推理與證明教師版刪解析

1、第 13 講 復(fù)數(shù),算法, 推理與證明 復(fù)數(shù) 學(xué)問結(jié)構(gòu)圖 學(xué)問梳理 1數(shù)系擴充的歷史： NZQRC 2復(fù)數(shù)的概念：形如 a bi 的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中 a , b R , i 中意 i21其中 a 叫做復(fù)數(shù)的實部, b叫做復(fù)數(shù)的虛部當(dāng)且僅當(dāng) b0 時,它是實數(shù)；當(dāng) b0 時,它是虛數(shù)；當(dāng) a0 且 b0 時,它是 純虛數(shù) 3復(fù)平面內(nèi) x 軸叫做實軸, y 軸叫做虛軸； x 軸的單位是 1 , y 軸的單位是 i 4 z1 abi , z2 c di （ a , b, c , d R）, 2 b z1 ac 2 c bd 2 dbc 2 c ad 2 d就 z1 z2 a bc ； z1 a bi

2、 ； z1 2 adz1 z2 a c bd i ； z1z2 ac bd ad bc i ； z2 本講分成三小節(jié),第一節(jié)復(fù)習(xí)復(fù)數(shù),有兩道例題,涉及復(fù)數(shù)的四就運算與幾何意義,總體 難度不大,要留意復(fù)數(shù)與實數(shù)運算上的區(qū)分高考對復(fù)數(shù)要求不高,最多涉及一道題,且 會出在選擇或填空的前兩道題的位置上,對復(fù)數(shù)的學(xué)問點不必深究 第 1 頁,共 20 頁經(jīng)典精講 尖子班學(xué)案 1【鋪 1】 （2022 朝陽一模文 1）復(fù)數(shù) 2 1 i 等于（ ） ab i2A 2 B 2C 2i D 2i 如 a 2ii bi ,其中 a , b R , i 為虛數(shù)單位,就 【解析】 C 3【例 1】 （ 2022 崇文一

3、模文 10） 假如復(fù)數(shù) 2 mi1 mi （其中 i是虛數(shù)單位）是實數(shù),就實數(shù) m a 的取 假如 z 1ai 為純虛數(shù),就實數(shù) a 等于（ ） 1ai A 0B 1C 1 D 1 或 1 如復(fù)數(shù) z 中意 1 i z 1ai ,且復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于其次象限,就實數(shù) 值范疇是（ ） A a1B 1a1C a1D a1 或 a 1（ 2022 全國文 3）已知復(fù)數(shù) z 1 3i,就 z =（ ） 2 3i A 14B 12C 1 D 2 【解析】 1 D A B 第 2 頁,共 20 頁【例 2】 如 i 是虛數(shù)單位,就 i 2 2i 3 3i 8 8i S ,必有 xy S ”,

4、 運算以下各式的值： 4 1 i 2022 i, 1 4 3i 對于復(fù)數(shù) a ,b,c ,d ,如集合 S a ,b ,c ,d 具有性質(zhì)“對任意 x ,y a1就當(dāng) b21 時, b c d 等于（ ） 2 c bA 1 B 1C 0D i 如 a,b 為非零實數(shù),就以下四個命題都成立： a10 a 2 b a22 ab bb2 a如 ab,就 ab如 a2ab ,就 a 對于任意非零復(fù)數(shù) a,b ,上述命題仍舊成立的序號是 【解析】 4 4i 1 4 i 4i ； 1 34 3i 88 3i 1 , 13i31 ,假如明白了復(fù)數(shù)的三角形 i2022 事實上, 13 2i1 , 13i322

5、222式,這些結(jié)論是很明顯的,也是要把握的,現(xiàn)在復(fù)數(shù)要求不高,可以依據(jù)同學(xué)的程度選擇 介紹 B 第 3 頁,共 20 頁目標(biāo)班學(xué)案 1【拓 2】 對任意復(fù)數(shù) z x yi x,y R , i 為虛數(shù)單位,就以下結(jié)論正確選項（ ） A z z 2 y 2 B z 2 x 2 y C z z 2x D z x y 【解析】 D【備選】 （ 2022 四川理 16） 設(shè) S 為復(fù)數(shù)集 C 的非空子集,如對任意 x , y S ,都有 x y , x y , xy S ,就稱 S 為封 閉集以下命題： 集合 S a bi | a , b 為整數(shù), i 為虛數(shù)單位 為封閉集； 如 S 為封閉集,就確定有

6、 0 S； 封閉集確定是無限集； 如 S 為封閉集,就中意 S T C 的任意集合 T 也是封閉集 其中真命題是（寫出全部真命題的序號） 【解析】 【備選】 （ 2022 上海文 19）已知復(fù)數(shù) z abi （ a , b R）（ i是虛數(shù)單位）是方程 2 x 4 x 5 0 的 根復(fù)數(shù) wu 3i uR 中意 wz 2 5 ,求 u 的取值范疇 【解析】 2 , 6 第 4 頁,共 20 頁已知復(fù)數(shù) z 2 a 1 a 1i ,如 z 是純虛數(shù),就實數(shù) a 等于（ ） A 2 B 1 C 1D 1【解析】 B 算法 學(xué)問結(jié)構(gòu)圖 本小節(jié)復(fù)習(xí)算法與程序框圖,算法是新課標(biāo)新增的考點,可能會在小題中

7、顯現(xiàn),屬于簡潔 題本小節(jié)不涉及算法語句與算法案例的內(nèi)容,共兩道例題難點在循環(huán)結(jié)構(gòu)上,有時會 與其它學(xué)問點結(jié)合考查,主要是統(tǒng)計與數(shù)列的學(xué)問 第 5 頁,共 20 頁經(jīng)典精講 尖子班學(xué)案 2【鋪 1】 （ 2022 豐臺一模文 3）在下面的程序框圖中,如 x 5 ,就輸出 i 的值是（ ） , A 2 B 3 C 4 D 5 （ 2022 崇文一模文 12）某程序框圖如以下圖, 該程序運行后輸出 M , N 的值分別為 開頭 輸入 x i = 0 x = 3 x - 2 i = i + 1 x 109 NY 輸出 i 終止 【解析】 C 89 , 144 考點：程序框圖 【例 3】 （ 2022

8、東城一模文 5）按如以下圖的程序框圖運算,如輸入 x 6 ,就輸出 k 的值是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 第 6 頁,共 20 頁（ 2022 西城一模文 6）閱讀如以下圖的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,輸出的結(jié)果為（ ） ） A 13 21 B 21 13 C 813 D 13 8（ 2022 遼寧卷文 5）假如執(zhí)行下面的程序框圖, 輸入 n6 ,m 4 ,那么輸出的 p 等于（ A 720 B 360 C 240 D 120 第題 第題 第題 【解析】 B ； D ； B 考點：程序框圖與其它內(nèi)容結(jié)合 【例 4】 在數(shù)列 an 中, a1 1 , an an 1 n , n 2 為

9、運算這個數(shù)列前 10 項的和,現(xiàn)給出該問題 算法的程序框圖（如以下圖） ,就圖中判定框（ 1）處合適的語句是（ ） A i 8 B i 9 C i 10 D i 11 已知某程序框圖如以下圖,就執(zhí)行該程序后輸出的結(jié)果是（ ） A 1 B 1 C 2 D 12 假如執(zhí)行下面的程序框圖,輸入 x 2 , h ,那么輸出的各個數(shù)的和等于（ ） A 3 B C 4 D 第 7 頁,共 20 頁開頭 i=0 ,a=0, s=0 1 是 輸出 s 否 i= i+1 終止 a=a+i s=s+a 第題 第題 第題 【解析】 C A B 開頭 輸入 N , a1 , a2 , . , aN k=1, S=0,

10、 T=0 目標(biāo)班學(xué)案 2否 A=ak 是 k = k +1 【拓 2】 某店一個月的收入和支出總共記錄了 N 個數(shù)據(jù) a1 ,a2 , , aN ,其中收入記為正數(shù),支出記為負(fù)數(shù)該店用下邊的程 序框圖運算月總收入 S 和月凈盈利 V ,那么在圖中空白的 k N 是 否 判定框和處理框中, 應(yīng)分別填入以下四個選項中的 （ ） 輸出 S,V A A 0 ,V S T B A 0 ,V S T 終止 C A 0 ,V S T D A 0 ,V S T 【解析】 C第 8 頁,共 20 頁（ 2022 石景山一模文 6） 已知程序框圖如以下圖,就該程序框圖的功能是（ ） A求數(shù)列 1的前 10 項和

11、n NnB求數(shù)列 1的前 10 項和 n N2n C求數(shù)列 1的前 11 項和 n NnD求數(shù)列 1的前 11 項和 n N2n 【解析】 B 推理與證明 學(xué)問結(jié)構(gòu)圖 學(xué)問梳理 1合情推理包括歸納推理（從特殊到一般）和類比推理（特殊到特殊） 2演繹推理是由概念的定義或一些真命題,依照確定的規(guī)律規(guī)章得到正確結(jié)論的過程演繹推理的主 要形式是三段論,包括大前提,小前提,結(jié)論演繹推理中,當(dāng)前提為真時,結(jié)論必定為真 第 9 頁,共 20 頁3直接證明是從命題的條件或結(jié)論動身,依據(jù)已知的定義,公理,定理,直接推證結(jié)論的真實性常 用的直接證明方法有綜合法和分析法 4反證法不是直接證明結(jié)論,而是否定這個命題的

12、結(jié)論,在此基礎(chǔ)上,運用演繹推理,導(dǎo)出沖突,從 而確定結(jié)論的正確性其中的沖突主要指：與假設(shè)或已知沖突；與數(shù)學(xué)的公理,定理,定義等沖突 或與公認(rèn)的簡潔事實沖突 本小節(jié)復(fù)習(xí)推理與證明,共兩道例題例 5 主要復(fù)習(xí)合情推理中的歸納推理與類比推理, 涉及到一點演繹推理中的三段論,明白即可例 6 主要講反證法（分析法和綜合法在第 6講不等式與數(shù)列中已經(jīng)講過, 這里就不在講了, 僅在例 6 后的備選放了一道題供老師選用） , 學(xué)案中的鋪墊是關(guān)于反證法的正確否定結(jié)論的 本節(jié)總體比較簡潔,學(xué)問點比較零碎,但是沒有太多需要復(fù)習(xí)記憶的結(jié)論或?qū)W問點,所以 例題數(shù)量支配較多,個別題難度比高考要求的大,如例 解留意文科的推

13、理與證明不涉及數(shù)學(xué)歸納法 經(jīng)典精講 考點：合情推理與演繹推理 5 的,可以依據(jù)課堂情形選擇講 【例 5】 已知等差數(shù)列 an 中,有 a11 a12 a20 a1 a2 30 a30 ,就在等比數(shù)列 bn 中,會 10 有類似結(jié)論 baMO Lc N圖 1 圖 2 以下是關(guān)于復(fù)數(shù)的類比推理： 復(fù)數(shù)的加減法運算可以類比多項式的加減法運算法就； 由實數(shù)確定值的性質(zhì) x 22 x 類比得到復(fù)數(shù) z 的性質(zhì) 2 z 2 z ； z2 0 ,就 z1 z2 ； 已知 a , b R ,如 ab0 ,就 ab 類比得已知 z1 , z2 C ,如 z1 由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義

14、其中推理結(jié)論正確的序號是 x0 0 ,那么 x x0 是函 有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù) f x ,假如 f 數(shù) f x 的極值點,由于函數(shù) f x 3 x 在 x 0 處的導(dǎo)數(shù)值 f 00 ,所以, x 0 是函數(shù) D 結(jié)論正確 f x 3 x 的極值點以上推理中（ ） A大前提錯誤 B 小前提錯誤 C推理形式錯誤 （ 2022 福建文 16）觀看以下等式： cos2 2 2cos 1 ； 1 ； 1 cos4 4 8cos 2 8cos 1 ； cos6 6 32cos 4 48cos 2 18cos 1； cos8 8 128cos 6 256cos 4 160cos 2

15、32cos cos10 10 mcos 8 1280cos 6 1120cos 4 ncos 2 p cos 可以估量, mn p 【解析】 10 b11 b12 b20 30 b1 b2 b30 nn2 S4 2 S1 2 S2 2 S3 ； 第 11 頁,共 20 頁 A 962 【備選】 （ 2022 崇文一模文 14） 對于集合 N 1,2,3 , ,n 的每一個非空子集,定義一個“交替和”如下：依據(jù)遞減的次 序重新排列該子集,然后從最大數(shù)開頭交替地減,加后繼的數(shù),例如集合 1,2,4 ,6 ,9 的 交替和是 964216,集合 5 的交替和為 5 當(dāng)集合 N 中的 n2 時, 集合

16、 N 1 ,2 的全部非空子集為 1, 2, 1,2 ,就它的“交替和” 的總和 S2 12 2 1 4 ,就當(dāng) n3時, S3 ；依據(jù) S2 , S3 , S4 ,猜想集合 N1 ,2 ,3 , ,n 的每一個非 空子集的“交替和”的總和 Sn n 1 【解析】 12； n 2 【備選】 中 學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系,比如“相等關(guān)系” ,“平行關(guān)系”等等假如集合 A 中元素之間的 一個關(guān)系“ ”中意以下三個條件： 自反性：對于任意 aA ,都有 aa ； 對稱性：對于 a ,b A ,如 ab ,就有 ba ； 傳遞性：對于 a ,b ,c A ,如 a b ,b c ,就有 a c 就稱“ ”

17、是集合 A 的一個等價關(guān)系例如： “數(shù)的相等”是等價關(guān)系,而“直線的平行” 不是等價關(guān)系（自反性不成立） 請你再列出兩個等價關(guān)系： 第 12 頁,共 20 頁【解析】 圖 形的全等,圖形的相像,非零向量的共線,命題的充要條件等等 尖子班學(xué)案 3【鋪 1】 用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于 60 度”時,假設(shè)正確選項） （ A假設(shè)三內(nèi)角都不大于 60 度B假設(shè)三內(nèi)角都大于 60 度60 度C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于 60 度D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于 命題“關(guān)于 x 的方程 ax 0 a 0 的解是唯獨的”的結(jié)論的否定是（ ） A無解 B 兩解 C至少兩解 D無解或至少兩解 【解

18、析】 B D目標(biāo)班學(xué)案 32【鋪 2】 已知 x1 0 ,x1 1,xn 1 xn xn 2 3 n N 試證：數(shù)列 xn 或者對任意 n N ,n 2 都滿 3xn 1足 xn xn 1 ,或者對任意正整數(shù) n 都中意 xn xn 1 當(dāng)此題用反證法證明時,假設(shè)應(yīng)為（ ） A假設(shè)對任意正整數(shù) n , 有 xn xn 1B假設(shè)存在正整數(shù) n , 使 xn xn 1C假設(shè)存在正整數(shù) n , 使 xn xn 1 且 xn xn 1D假設(shè)存在正整數(shù) n , 使 xn xn 1 xn xn 1 0 【解析】 D 考點：證明 第 13 頁,共 20 頁【例 6】 設(shè) a , b , c 都是正數(shù),就 a

19、a1, b 1, c 1三個數(shù)（ ） 2 x a ,b ,c bc aA都大于 2B 都小于 2C至少有一個不大于 2D至少有一個不小于 2 如 a ,b,c 均為實數(shù),且 2 x 2 y , b 22 y 2z , c 32 z 6求證： 中至少有一個大于 0 【解析】 D（用反證法） 假設(shè) a ,b,c 都不大于 0 ,即 a 0 ,b 0 ,c 0 ,就有 abc 0 , 而 ab c 2 x 2y 2 y 2 z 2 z 2x 2362 x 1 2 y 1 2 z 1 32362 x 1 2 y 1 2 z 1 3 x 2 1 , y 2 1 , z 2 1 均大于或等于 0 , 3

20、0 , ab c 0 ,這與假設(shè) abc 0 沖突, 故 a ,b ,c 中至少有一個大于 0 【備選】 已 知 a ,b ,c R , a b c 0 , ab bc ac 0 , abc 0 利用反證法證明： a 0 ,b 0 ,c 0 abc 0 知 a,b ,c 必為兩負(fù)一正 【解析】 如 結(jié)論不成立,即 a ,b ,c 不同時為正數(shù)就由 不妨設(shè) a 0 ,b 0 ,c 0 于是 c ab 0 , a b0 , 第 14 頁,共 20 頁ab bc ac ab c a b ab a b a b a2ab b2ab23 b 4 2 0 , 2與已知沖突,故結(jié)論成立 【備選】 ABC 的三

21、個內(nèi)角 A , B , C 成等差數(shù)列,它們所對的邊分別記為 a ,b ,c , 求證： 113 f n 塊區(qū) abb c abc 【解析】 要 證 1b1a3c ,即需證 aabbc abc 3 ab c bb c 即證 c ba1 ab c 又需證 cb c a a b a bb c ,需證 2 c a2ac b2 ABC 三個內(nèi)角 A , B , C 成等差數(shù)列 B 60 由余弦定理,有 b22 c a22ca cos60 ,即 b22 c a2ac c2 a2ac 2 b成立,命題得證 平面上有 n 個圓,其中每兩個都相交于兩點,每三個都無公共點,它們將平面分成 域,有 f 122 ,

22、 f 2D4 , f 3 8 ,就 f n 的表達式為（ ） A 2n nB 2n n1n2n32 C n n 2 【解析】 C歸納推理不愿定能得到正確結(jié)論,對于不明白中間過程的歸納推理,最好能多寫幾項,否就 歸納得到的一般情形不愿定正確,假如能明白遞推過程,那么歸納的精確率就高許多了 考慮 f 4 ,第 4 個圓與前面 3 個圓都相交,共多 出 6 個交點, 每 2 個相鄰的交點將平面多分成 第 15 頁,共 20 頁一部分,故共多出 6 個部分,從而 f 4 86 14 ,故只有 C 正確 n1 個圓分別相假如不用歸納推理,可以考慮 f n 與 f n 1 的關(guān)系第 n 個圓會與前面 交,

23、 共多出 2n 1 個交點,故多將平面劃分 2n 1 個部分,即 f n f n 1 2 n 1 運用疊加法得 f n f 1 212n 1 nn 1 ,故 f n n2n2 真題再現(xiàn) （ 2022 北京文 2）復(fù)數(shù) i212i A i B iC 43iD 43i5555【解析】 A 開頭 輸入 A （ 2022 北京文 6）執(zhí)行如以下圖的程序框圖, 如輸入 A 的值為 2 , P=1, S=1 否 就輸出的 P 值為 SA A 2B 3 是 輸出 P P=P+1 C 4D 5 S=S+ 1 P 終止 【解析】 C第 16 頁,共 20 頁實戰(zhàn)演練 【演練 1】在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) z 1i（ 是

24、虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（ i） iA第一象限 B 其次象限 C第三象限 D 第四象限 【解析】 C 【演練 2】 i 是虛數(shù)單位,如 12i abi a , b R ,就 a b 的值是（ ） 1iA 1B 2C 2 D1 22【解析】 C 開頭 【演練 3】（ 2022 湖南文 12） 如圖是求實數(shù) x 的確定值的算法程序框圖,就判定框中 輸入 x 否 可填 1是 【解析】 x 0 或 x 0. 或 x 0 或 x 0. 輸出 x 輸出 -x 終止 第 17 頁,共 20 頁開頭 【演練 4】如圖是一個算法的程序框圖,如該程序輸出的結(jié)果為 4,就 i=1 否 輸出 S 5T=0 判定框中應(yīng)填入的條件是（ ） S=0 A T 4. B T 4. 是 C T 3. D T 3. i =i+ 1 【解析】 B T=T+1 終止 【演練 5】觀看以下等式： 3 1231 2 2 , S = S+ 1 T i 3 1233 32 1 2 3 , 3 13 23 33 42 1 23 4 , , 依據(jù)上述規(guī)律, 第四個等式 為 在平面上,如兩個正三角形的邊長比為 1: 2 ,就它們的面積比為 1: 4 類似地,在空間中, 【解析】 如兩個正四周體的棱長比為 1: 2 ,就它們的體積比為 3 1 3 2 3 3