北郵概率統(tǒng)計課件44矩與協方差矩陣

1、矩是隨機變量的更為廣泛的一種數字特征，前面介紹的數學期望及方差都是某種矩.第四節(jié) 矩與協方差矩陣 一. 矩 定義:設 和 是隨機變量則稱它為 的 階原點(1).(2).若 存在，簡稱 階矩。矩，若 存在，則稱它為 的 階中心矩。 9/15/2022(3).若 存在，則稱它為和 的 階混合矩。(4).若 存在，則稱它為和 的 階混合中心矩。注：數學期望 是隨機變量 的一階顯然：原點矩；方差 是隨機變量 的二階中心矩；協方差 是隨的二階混合中心矩。機變量 和9/15/2022二. 協方差矩陣將它們排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1, X2）的協方差矩陣.這是一個對稱矩陣定義:若二維隨機變量（X1,

2、X2）的四個二階中心矩都存在，分別記為：9/15/2022 類似可定義 n 維隨機變量( X1, X2, , Xn ) 的 協方差矩陣.為( X1, X2, , Xn ) 的協方差矩陣都存在，則稱矩陣：i, j = 1, 2, n若注：9/15/2022f ( x1, x2, , xn )則稱 X 服從 n 元正態(tài)分布.C 是( X1, X2, , Xn ) 的協方差矩陣.|C| 是它的行列式， 表示 C 的逆矩陣.X 和 是 n 維列向量， 表示 X 的轉置. 設 =( X1, X2, , Xn )是一個 n 維隨機向量，若 它的概率密度為： n 維正態(tài)分布的概率密度的定義.其中：推導過程見

3、教材P1359/15/2022n 元正態(tài)分布的四條重要性質X = ( X1, X2, , Xn ) 服從 n 維正態(tài)分布的充 分必要條件是：對一切不全為零的實數： a1, a2, , an ， ( X1, X2, , Xn ) 的任意線性組合：a1X1+ a2 X2+ + an Xn 均服從一維正態(tài)分布.(1).(2).若 X = ( X1, X2, , Xn ) 服從 n 維正態(tài)分布， Y1, Y2, ，Yk 是 Xj（j = 1, 2, n）的線性函數，則 ( Y1, Y2, ，Yk ) 也服從多維正態(tài)分布.這一性質稱為正態(tài)變量的線性變換不變性.9/15/2022若 X = ( X1, X

4、2, , Xn ) 服從 n 維正態(tài)分布， 則它的每一個分量 Xj（j = 1, 2, n）都服從(3).正態(tài)分布；反之，若 X1, X2, , Xn 都服從正態(tài)分布，且相互獨立，則 ( X1, X2, , Xn ) 服從 n 維正態(tài)分布。設 ( X1, X2, , Xn ) 服從 n 維正態(tài)分布，則：(4).“ X1, X2, , Xn 相互獨立 ” 與 “ X1, X2, , Xn 兩兩不相關 ”是等價的。上述的四條性質在后續(xù)的“隨機過程”與“數理統(tǒng)計”課程中會經常用到。9/15/2022設隨機變量 X 和 Y 相互獨立，且 X N ( 1, 2 ),Y N (0, 1 ).故: X 和 Y 的聯合分布為正態(tài)分布，X 和 Y 的任 意線性組合是正態(tài)分布.X N ( 1, 2 ), Y N ( 0, 1 )，且 X 與 Y 獨立D( Z ) = 4D( X ) + D( Y ) = 8 + 1 = 9E( Z ) = 2E( X ) - E( Y ) + 3 = 2 + 3 = 5 即： Z N ( E(Z)，D(Z) )例試求