微積分基礎(chǔ)(國(guó)家開放大學(xué))-第1章-第1節(jié)-函數(shù)概念

1、第1章 函數(shù)、極限、連續(xù) 1.1 函數(shù)的概念1.1.1 常量與變量1.1.2 函數(shù)的定義1.1.3 函數(shù)的特殊性質(zhì)1.1.4基本初等函數(shù)1.1.5復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)11.1.1 常量與變量微積分是研究函數(shù)變化規(guī)律的學(xué)科，故我們先關(guān)注一下研究過程中的常量與變量。常量:在研究過程中始終保持不變的量變量:在研究過程中發(fā)生變化即可以取不同的量例如:密閉容器內(nèi)的氣體加熱,氣體的體積和氣體的分子個(gè)數(shù)保持一定,是常量;氣體的溫度和壓力是變量.常量與變量是相對(duì)而言的，并非確定不變的。所謂函數(shù)關(guān)系是指幾個(gè)變量之間的某種確定的特殊聯(lián)系方式。2常用區(qū)間表示方法：全體實(shí)數(shù)的集合記為R，全體自然數(shù)的集合記為N。其它常見

2、的實(shí)數(shù)集合表示方法如下：閉區(qū)間：a,b=x| axb開區(qū)間：(a,b)=x| axb半開區(qū)間：(a,b=x| ax b, a,b)=x| a xb注：以上a,b均滿足a、bR,且ab,此時(shí)，這類區(qū)間稱為有限區(qū)間;又當(dāng)a、b中有一個(gè)為時(shí),稱無窮區(qū)間;顯然R=(- ,+ )。a的鄰域U(x0,)： U(x0,)=(x0-, x0+)，即|x-a|0；得原函數(shù)的定義域?yàn)閤|1x4；14得原函數(shù)的定義域?yàn)閤|2x2；15解要使函數(shù)有意義，必須使ax30，當(dāng)a0時(shí)，ax30的解集為，不符合函數(shù)的定義，故不是函數(shù).課后思考題16分段函數(shù)求定義域示例例3解f(x)的定義域?yàn)椋?, 217幾個(gè)特殊函數(shù)：符號(hào)函

3、數(shù)1-1xyo18幾個(gè)特殊函數(shù)：取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過x的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線19幾個(gè)特殊函數(shù)：狄利克雷函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)1xyo20幾個(gè)特殊函數(shù)：取最值函數(shù)yxoyxo211.1.3 函數(shù)的特殊性質(zhì)一.單調(diào)性二.奇偶性三.有界性四.周期性通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解函數(shù)的基本特性22函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)時(shí),單調(diào)減少當(dāng)時(shí),單調(diào)增加設(shè)函數(shù) f (x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于區(qū)間 I ( I D )內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1、x2 ,當(dāng) x1 x2時(shí),（1）恒有f (x1) f (x2)，則稱函數(shù)y=f (x)在區(qū)間 I 上為

4、遞增函數(shù)（2）恒有f (x1) f (x2)，則稱函數(shù)y=f (x)在區(qū)間 I 上為遞減函數(shù)（3）恒有f (x1) f (x2)，則稱函數(shù)y=f (x)在區(qū)間 I 上為不減函數(shù)（4）恒有f (x1) f (x2)，則稱函數(shù)y=f (x)在區(qū)間 I 上為不增函數(shù)遞增函數(shù)、遞減函數(shù)分別稱為嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)和嚴(yán)格單調(diào)減少函數(shù)，不減函數(shù)和不增函數(shù)分別稱為單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)。有時(shí)，為敘述簡(jiǎn)單起見，對(duì)于嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）函數(shù)也稱為單調(diào)增加（減少）函數(shù)。23當(dāng)堂測(cè)查疑缺 1231.已知函數(shù)f(x)x2，則()A.f(x)在(，0)上是減函數(shù)B.f(x)是減函數(shù)C.f(x)是增函數(shù)D.f(x)在(，

5、0)上是增函數(shù)D242.函數(shù)y 的減區(qū)間是()A.0，) B.(，0C.(，0)，(0，) D.(，0)(0，)解析函數(shù)y 的定義域?yàn)?，0)(0，)，但是其在定義域上不單調(diào)，它有兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間，應(yīng)該寫為(，0)，(0，).C123253.下列函數(shù)f(x)中，滿足對(duì)任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1f(x2)的是()A.f(x)x2 B.f(x)C.f(x)|x| D.f(x)2x1B12326函數(shù)的奇偶性設(shè)定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若xD,有f (-x) = f (x)成立,則稱f (x)在D上為偶函數(shù);若xD,有f (-x) = -f(x)成立,則稱f (x)在D上為奇函數(shù).偶函數(shù)(關(guān)于y軸對(duì)稱)

6、yxox-x奇函數(shù)(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)yxox-x27函數(shù)奇偶性示例如:(1)奇函數(shù)(2)偶函數(shù)(3)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)(4)既非偶函數(shù)又非奇函數(shù)28 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例如圖，給出了偶函數(shù)yf(x)的局部圖象，試比較f(1)與f(3)的大小.解f(3)f(1)，又f(3)f(3)，f(1)f(1).f(3)f(1).29反思與感悟本題有兩種解法，一種是通過圖象觀察，f(3)f(1)，選用偶函數(shù)定義，得f(3)f(1)；另一種方法是利用偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性.30 跟蹤訓(xùn)練如圖，給出了奇函數(shù)yf(x)的局部圖象，則f(4)_.解析f(4)f(4)2.231函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù) f (x)在D上有定義.如

7、果存在一正數(shù)M,使不等式 | f (x)|M 對(duì)任一xD都成立,則稱f (x)在D上有界;如果這樣的M不存在，則稱f (x)在D上無界。M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX32函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈,若存在常數(shù)T 0,使得對(duì)每一個(gè)xD,有 x+T D,且總有f (x+T)= f (x)成立，則稱f (x)是D上的周期函數(shù)， 滿足上式的最小正數(shù)T（如果存在）稱為函數(shù)f (x)的周期。注意：通常說周期函數(shù)的周期是常指其最小正周期.33 1.1.4基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)： y = C (C是常數(shù))冪函數(shù)： y = x (是常數(shù))指數(shù)函數(shù)： y = ax (a是常數(shù)且a0,

8、a1) 特別: y = ex對(duì)數(shù)函數(shù)： y = logax (a是常數(shù)且a0,a 1) 特別: y = lnx三角函數(shù)： y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx反三角函數(shù)：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx y=arcsecx y=arccscx以上六類16種函數(shù)稱為基本初等函數(shù)。思考(那些是基本初等函數(shù)?)： y=sin3x, y=3x, u=lnv, y=2x, s=5, y=1/x34冪函數(shù)35指數(shù)函數(shù)36對(duì)數(shù)函數(shù)37正弦函數(shù)38余弦函數(shù)39正切函數(shù)40余切函數(shù)41正割函數(shù)42余割函數(shù)431.5 復(fù)合

9、函數(shù)和初等函數(shù)一.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)本身就是普通的函數(shù),在這里加上前綴修飾詞“復(fù)合”，是強(qiáng)調(diào)它們與其它一些函數(shù)的關(guān)系。44復(fù)合函數(shù)定義:若函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)閁,而函數(shù)u=g(x)的定義域?yàn)閄,且u=g(x)的值域包含在U中，則對(duì)X中的每一個(gè)x，通過u都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，即y是x的函數(shù), 記為： y=f g(x)。這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，其中u稱中間變量。注意：不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的；復(fù)合函數(shù)也可由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成(可以理解為函數(shù)間的一種運(yùn)算)。難點(diǎn)：熟練分解復(fù)合函數(shù)45二.初等函數(shù)初等函數(shù)是微積分研究的主要對(duì)象之一，我們必須對(duì)它們有較清楚的認(rèn)識(shí)。究竟那些函數(shù)是初等函數(shù)？它們有那些性質(zhì)？46初等函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成并且可以用一個(gè)式子表示的函數(shù).簡(jiǎn)單函數(shù)：基本初等函數(shù)、或由基本初等函數(shù)只經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)。注意：一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但可用初等函數(shù)來研究它們。初等函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象，我們應(yīng)該非常熟悉它們，要求能正確將它們分解還原為基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù)。47初等函數(shù)分解示例分解下列復(fù)合函數(shù)：(1)(2)(3)(4)48冪指函數(shù)設(shè)y=f (x)g(x) (其中f (x)