定積分精品課件

1、關(guān)于定積分第一張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月一、換元法例1. 解: Newton-Leibniz公式, 若F (x) = f (x), 則對(duì)于第一換元法, 直接求出原函數(shù), 用N-L公式.第二張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月關(guān)于換元積分法有定理1. 設(shè) i) 函數(shù) f (x)在a, b上連續(xù),ii) 函數(shù)x=(t)在區(qū)間, 上有一個(gè)連續(xù)導(dǎo)數(shù); iii) 當(dāng) t , a (t) b, 且a = () , b =() 則(1)(1)的含意: 用新的變量的新的積分代替原積分限, 無需將原函數(shù)代回原變量.第三張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月證明: (1)式右、左均代表一

2、個(gè)數(shù), 我們驗(yàn)證這兩個(gè)數(shù)相等.由i)知f (x)在a, b上有原函數(shù).設(shè)為F(x), 又由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.和 ii) 知F(t)是 f (t)(t)在, 上的一個(gè)原函數(shù).由Newton-Leibniz公式有及從而(1)式成立.第四張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例2. 解: 令 x = asint.0tax = asintx第五張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月0taxax = asint0ta2x曲線下方圖形面積相等第六張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第七張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月注意定理1中條件 iii)的要求1 (t)的值域: a (t) b

3、2 端點(diǎn)對(duì)應(yīng): a = () , b =() x = a t = x = b t = 這兩個(gè)要求不能分割.定理1. 設(shè) i) 函數(shù) f (x)在a, b上連續(xù),ii) 函數(shù)x=(t)在區(qū)間, 上有一個(gè)連續(xù)導(dǎo)數(shù); iii) 當(dāng) t , a (t) b, 且a = () , b =() 則(1)第八張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月a asint a,值域不在區(qū)間0, a之內(nèi),第九張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月taaaaa第十張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例3. 解:第十一張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例4. (i) 若f (x)為偶函數(shù), 則(ii)

4、若f (x)為奇函數(shù), 則 aa aa第十二張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月證: (i)在第一個(gè)積分中(ii)由(i)的證明過程可知第十三張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例5. 若f (x)為定義在(, )上、周期為T的周期函數(shù), 且在任意有限區(qū)間上可積, 則aR,有y=cosxxy0第十四張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月證:而故等式成立.第十五張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例6. 證:特別地有第十六張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月二、分部積分法定理2. 設(shè)u(x), v(x)在a, b上可導(dǎo), 且u(x), v(x) R(a, b), 則有

5、分部積分公式(2)證: 由已知可得u(x)v(x), u(x)v(x)R(a, b), 而(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x)對(duì)上等式從a至b積分得由此即得公式(2).第十七張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例7. 解: 由公式得第十八張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例8. 解: 第十九張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例9. 解: 第二十張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月則而易求得則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)第二十一張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月值得注意的是由例6可知第二十二張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例1

6、0. 解: 由已知及分部積分公式得第二十三張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月由此即得第二十四張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第四節(jié) 反常積分定積分條件積分區(qū)間有限被積函數(shù)有界推廣定積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界第二十五張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月一、無窮積分1. 定義: 設(shè)函數(shù) f (x)在a, +)上有定義, b a, f (x)在a, b上可積, 若極限(1)存在, 稱函數(shù) f (x)在a, +)上的積分收斂, 記稱為函數(shù) f (x)在a, +)上的無窮積分.第二十六張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月若(1)式極限不存在, 稱 f (x)在a, +)上

7、的積分發(fā)散.abxy0y=f (x)第二十七張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例1. 解:= 1xy0y=ex1第二十八張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例2. 解: 考慮1bxy0第二十九張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例3. 使兩個(gè)帶電粒子從初始距離a分開到距離b所需能量由給出, 其中q1, q2是電荷的數(shù)量, k為常數(shù). 若q1, q2的單位為庫侖(C), a, b是米(m), E的單位為焦耳(J). k = 9109.一個(gè)氫原子由一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)電子組成, 它們帶有數(shù)值為1.61019 C的相反電荷. 求使氫原子激發(fā)(即使電子從其軌道移動(dòng)到離質(zhì)子無窮遠(yuǎn)處)的能量

8、. 假設(shè)電子和質(zhì)子之間的初始距離為玻爾半徑RB = 5.31011m.第三十張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解: 因?yàn)橛沙跏季嚯xRB移動(dòng)到最終距離的能量由廣義積分表示為第三十一張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月代入使用的單位(E的單位為J), 有這是移動(dòng)一個(gè)微塵粒離開地面0.00000001cm所需能量的量值, (換句話說不很大!)比較一下, 移動(dòng)彼此相距無窮遠(yuǎn)的兩個(gè)相同符號(hào)的1C的電荷到相距1m以內(nèi)所需要的能量大約等于使100萬頭大象離開地面15cm所需要的能量.第三十二張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月廣義積分被用作分離氫原子所需能量的模型是因?yàn)橥ㄟ^無窮大的距離與

9、通過很大的有限距離分離電子和質(zhì)子所需能量之間的差是可以忽略不計(jì)的. 而廣義積分可以在不知道最終距離的情況下計(jì)算出來.第三十三張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 其它情形意義若積分的上、下限為和將會(huì)怎么樣呢? 在這種情況下, 我們?cè)谀骋稽c(diǎn)分開原來的積分并將其記為兩個(gè)新的廣義積分的和.第三十四張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月可以某一(有)限數(shù) c 來定義若兩個(gè)新的廣義積分中任一個(gè)發(fā)散, 我們說原積分發(fā)散. 僅當(dāng)每個(gè)新的廣義積分都有有限值時(shí), 將其相加得到原積分的有限值.很容易證明上述定義不依賴于 c 的選擇.第三十五張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 收斂與發(fā)散判

10、別例4. 確定指數(shù) p 的值,使積分收斂或發(fā)散解：對(duì) p 1,第三十六張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月重要的問題是b的指數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù). 假如是負(fù)數(shù), 則當(dāng)b趨向無窮時(shí), bp+1趨向于0. 若指數(shù)為正數(shù),則bp+1當(dāng)b趨于無窮時(shí)無界增長. 因此, 若p+11則積分收斂,若p1時(shí)積分有值第三十八張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1 (比較判別法) 設(shè)(1) 當(dāng)(2) 當(dāng)?shù)谌艔?，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月xy0y=g(x)ay=f (x)第四十張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例5. 判斷解： 由于而由例4知收斂,故由定理1知原積分收斂.有時(shí)運(yùn)用下

11、面比較判別法的極限形式更為方便.第四十一張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2 若 (1) 當(dāng)0 l 1時(shí),積分(2) 當(dāng)0 M時(shí),xy0M第四十三張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例6. 判斷解: 由于故由定理2知原積分收斂.第四十四張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月xy0y=f (x)若積分則稱f (x) 在 a,+)上的積分絕對(duì)收斂；若積分則稱f (x)在a,+ )上的積分條件收斂.第四十五張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例7. 判別xy02345第四十六張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解: 由于又而收斂, 因此原積分絕對(duì)收斂.第四十七張，P

12、PT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定理4.充要條件是收斂.n0n+1xy0nn0+1n0+2注意到和式的幾何意義：第四十八張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月二、瑕積分有另一種形式的廣義積分, 積分區(qū)間可能是有限的但函數(shù)可能在區(qū)間的某些點(diǎn)無界. 比如, 考察在x=0有一垂直的漸近線,在曲線、x軸和直線x=0與 x=1之間的區(qū)域是無界的.xy與前面的廣義積分在水平方向趨于無窮大不同, 這一區(qū)域在垂直方向趨向于無窮大.第四十九張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月x1x1a現(xiàn)在令a0我們可以像前面一樣以相同的方式討論這個(gè)廣義積分: 對(duì)比0稍大的a值計(jì)算并看一看a從正的方向趨于0(記為a

13、0-)時(shí)出現(xiàn)什么情況.第五十張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月首先我們計(jì)算積分現(xiàn)在求極限:由于極限是有限的, 我們說廣義積分收斂, 并且第五十一張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月從幾何意義上來說,我們已經(jīng)計(jì)算出x=a和x=1之間的有限面積并得到a從右邊趨于0時(shí)的極限, 見圖7.19(b). 因?yàn)闃O限存在, 我們說積分收斂于2, 如果積分不存在, 我們就說廣義積分發(fā)散.x1x1a現(xiàn)在令a0第五十二張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月若 0, 函數(shù)f (x)在 (x0, )內(nèi)無界, 則稱點(diǎn)x0為f (x)的一個(gè)瑕點(diǎn), 例如: x=a是第五十三張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于202

14、2年6月定義2.設(shè)f(x)在(a, b上有定義, a為其瑕點(diǎn), 且 0, f (x)R(a+, b). 若極限存在. 稱其為f (x)在a, b上的瑕積分. 若(5. 2)式中極限存在, 則稱此瑕積分收斂, 極限值即為瑕積分值; 否則, 稱此瑕積分發(fā)散.此外我們還可類似定義:第五十四張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月我們同樣可以考慮因?yàn)楸环e函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)而并非端點(diǎn)趨于無窮大而使積分為廣義積分的情況. 在這種情形下, 我們將給定的積分分解為兩個(gè)(或更多)廣義積分, 使得被積函數(shù)僅在端點(diǎn)趨于無窮大. 下面是以上說法的更準(zhǔn)確的表述.第五十五張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月如果 f

15、 (x)是正的且當(dāng)x趨于區(qū)間a, b中某一點(diǎn)c時(shí), f (x)趨于無窮大, 則我們定義若兩個(gè)新廣義積分中的任一個(gè)發(fā)散, 則稱原積分發(fā)散, 僅當(dāng)兩個(gè)新的廣義積分都有有限值時(shí)我們將其相加得到原積分的有限值.第五十六張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.12xy第五十七張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解: 有麻煩的點(diǎn)是x=0, 而不是x= 1或x=2. 為處理這一情況, 我們將給定廣義積分分為兩個(gè)新的以x=0為其一個(gè)端點(diǎn)的廣義積分:第五十八張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月假如積分收斂, 我們現(xiàn)在能夠運(yùn)用前述的技巧來計(jì)算新的積分. 在這個(gè)例子中, 兩個(gè)積分都發(fā)散, 因?yàn)橐?/p>

16、此, 原積分發(fā)散.第五十九張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月很容易忽略因?yàn)楸环e函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部趨于無窮大而使積分為廣義積分的情況. 比如, 說就是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤.第六十張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解：當(dāng) p0 時(shí), 所求積分為通常的定積分, 且易求得積分值為a為其積分的瑕點(diǎn), 且例2.第六十一張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)p =1時(shí), a為瑕點(diǎn), 且第六十二張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)p 1時(shí)第六十三張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)于瑕積分同樣可引入絕對(duì)收斂與條件收斂的概念, 且有: 絕對(duì)收斂必收斂. 此外, 對(duì)瑕積分也有所謂比較判別法, 其極限形式是 (設(shè)x=a為f(x)在a, b上的唯一瑕點(diǎn)): 若其它類型的瑕積分也有類似結(jié)論.第六十四張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例3. 判別積分的斂散性, 若其收斂并求其值.第六十五張，PPT共七十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解: 易知x=0為函數(shù)ln si