《高等數(shù)學(xué)》PPT課件-第一章極限

1、二、極限2.1 極限的定義2.1.1 數(shù)列極限截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”數(shù)列的定義例如單調(diào)性 單擊任意點(diǎn)開(kāi)始觀察數(shù)列的極限觀察結(jié)束通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:直觀定義當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)a，稱a是數(shù)列xn的極限. 或者稱數(shù)列xn 收斂于a, 記為 或發(fā)散 如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.說(shuō)明 發(fā)散有 不存在(非無(wú)窮大)； ；+； .常用結(jié)論公式1.常數(shù)列的極限等于它本身.注 當(dāng) 時(shí)， 不存在.1.唯一性定理1收斂數(shù)列的極限唯一.收斂數(shù)列的性質(zhì)2.有界性例如有界無(wú)界(2)定理2 收斂的數(shù)列必定有界.注意逆否命題必成立：無(wú)界列必定發(fā)散.逆命題不成立：有界列不

2、一定收斂.數(shù)列有界是收斂的必要條件(不充分).【數(shù)列極限】 整標(biāo)函數(shù)【函數(shù)的極限】有兩大類情形2.1.2 函數(shù)極限【直觀定義】在x時(shí)，函數(shù)值f (x)無(wú)限接近于一 個(gè)確定的常數(shù)A ,稱A為f (x)當(dāng)x時(shí)的極限.記作兩種特殊情況定理例如自變量xx0有限值時(shí),函數(shù) f(x) 的極限1.【引例】 函數(shù)在處的極限為函數(shù)在處的極限為函數(shù)在處的極限為yAxxx0時(shí)函數(shù)f(x)的極限是否存在,與f (x)在x0處是否有定義并無(wú)關(guān)系.結(jié)論2.【直觀定義】在x x0時(shí)，函數(shù)值f (x)無(wú)限接近于一 個(gè)確定的常數(shù)A ,稱A為f (x)當(dāng)x x0 時(shí)的極限.記為3.【單側(cè)極限】【例如】右極限 當(dāng)xx0且x x0時(shí)

3、，函數(shù)值f (x)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A ,稱A為f (x)當(dāng)x x0 時(shí)的右極限.注意 函數(shù)的左、右極限與函數(shù)的極限是三個(gè)不同的概念, 但三者之間有如下重要定理: 左極限 當(dāng)xx0且x x0時(shí)，函數(shù)值f (x)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A ,稱A為f (x)當(dāng)x x0 時(shí)的左極限.左右極限存在但不相等,例1證極限存在定理注 一般而言, 分段函數(shù)的極限要分左右極限考察.2.1.3函數(shù)極限的性質(zhì)1.唯一性定理22. 有界性局部3. 保號(hào)性定理32.2 極限運(yùn)算法則定理推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論22.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量定義:極限為零的變量稱為無(wú)窮小.2.3.1無(wú)窮小例如,注意（

4、1）無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:意義（1）將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小); 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2 在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論1 在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小2.3.2無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大注意（1）無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（3）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量

5、,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.2.3.3無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理4 在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限2.3.4 無(wú)窮小量的比較定義:意義：用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式例如,常用等價(jià)無(wú)窮小:等價(jià)無(wú)窮小代換定理(等價(jià)無(wú)窮小代換定理)證例解若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無(wú)窮小因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，而不會(huì)改變?cè)降臉O限2.4 極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則注意:準(zhǔn)則 I和準(zhǔn)則 I稱為夾逼準(zhǔn)則.例1解由夾逼定理得2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:2.5 兩個(gè)重要極限(1)例解(2)對(duì)數(shù)列有例解小結(jié)：2.6 求極限方法舉例例1解小結(jié):解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例2解例3(消去零因子法)例4解(無(wú)窮小因子分出法)小結(jié):無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.例5解先變形再求極限.例6解例7解左右極限存在且相等,1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2、極限求