高數(shù)09-2多元函數(shù)的極限

1、 第 9 章 第 2 節(jié)2. 1 多元函數(shù)的極限2.2* 二次極限2.3 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù) 2.1 多元函數(shù)的極限定義 2.1(x0 , y0) 是 D 的聚點.若存在常數(shù) A ,使得當(x, y) D 并且存在相應的 0,時, 都有則稱 A 為記作設 f ( x, y ) 是定義在 D R2 上的二元函數(shù),使得對任意 0,或等價定義(用方鄰域):使得當時, 都有并且類似地, 可以定義三元函數(shù)以至于 n 元函數(shù)的極限.(x, y) D ,補充例 1用定義證明證因此注意到補充例 2 設證明證因此總有注意到并且當關于一元函數(shù)的極限的運算法則,例如四則運算,理,復合函數(shù)的極限等,

2、對于多元函數(shù)的極限仍然成立.例 2.2求極限解令因此于是由極限的四則運算的法則, 得夾擠定根據(jù)定義 ,于不同值或極限不存在，若動點 (x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,是否存在.則可以斷定函數(shù)的極限不存在.則有由于當 k 取不同值時, 極限不同 !故該極限不存在.函數(shù)趨例 2.3意味著動點以任意函數(shù) f ( x, y ) 都趨近于同一極限 A .討論極限解方式趨近于 時,因此,若動點 以不同方式趨近于 時,2.2* 二次極限在 2.1節(jié)討論的極限若對任意的類似地可以定義另一順序的二次極限:稱為二重極限.存在極限并且極限 存在,則稱 為先的二次極限(或稱為累次極限),

3、記作下面定義二次極限.時(1) 僅知其中一個存在或兩個存在,不能保證另一個(2) 如果它們都存在, 則三者相等.二重極限, 兩個二次極限相互之間的關系:也存在.由結論 (2) 知道,若兩個二次極限都存在, 但不相等, 則二重極限不存在.結論 (2) 需要證明, 但這里從略.這個結論有時可以用了判定二重極限不存在.例 2.4討論下列函數(shù)在點 (0, 0) 處的二重極限與二次極限:解(1) 當 時,所以當 時,根據(jù)結論 (2) ,二重極限兩個二次極限都存在但不相等.不存在.因為當 時,(2)所以不存在.由于所以極限極限 不存在,因為當 時,因此二重極限(3)由于而不存在,因此極限不存在,從而二次極

4、限不存在.類似地可知另一順序的二次極限因此二重極限由于也不存在.設則例 2.5略(用下面的補充例代替).補充例但由例 2.3 知道 在點 處的二重極限不存在 .2.3 多元函數(shù)的連續(xù)性 如果則稱在點處連續(xù). 如果函數(shù) f ( x, y ) 在 D 上各點處都連續(xù), 但 在點處不連 則稱為間斷點 .定義 2.2設 f ( x, y ) 是定義在 D R2 上的二元函數(shù),(x0 , y0) 是 D 的聚點,并且 (x0 , y0) D .在 D 上連續(xù).則稱 f ( x, y )若(x0 , y0) 是 D 的聚點,續(xù), 由常數(shù)和不同變量 (例如 x, y 等) 的一元基本初等函數(shù),經(jīng)過有限次四則

5、運算和有限次復合得到多元函數(shù)稱為多元初等函數(shù).結論:例如, 函數(shù)在平面上的其它點處是連續(xù)的.上除在圓周不連續(xù),又如,函數(shù)在點 (0 , 0) 處極限不存在, 故 (0 , 0) 為其間斷點.多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義,若 f ( x, y ) 在點 (x0 , y0) 處連續(xù),則成立這有時可以用來求極限.解例 5 求定理 2.1 - 定理 2.4 f ( x, y ) 在 D 上是一致連續(xù)的. f ( x, y ) 在 D 上可取得最大值和最小值.(3) 介值定理:(1) 有界性定理: (4) 一致連續(xù)性定理: 有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的性質. 證明 略 . 設 f ( x, y ) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則下面以二元函數(shù)為例, 敘