歐拉公式與閉曲面分類課件

1、歐拉公式與 歐拉公式與閉曲面分類 第一節(jié) 拓?fù)渥儞Q與拓?fù)洳蛔兞康诙?jié) 多面體的歐拉公式第三節(jié) 拓?fù)渌枷氲囊恍?yīng)用第一節(jié) 拓?fù)渥儞Q與拓?fù)洳蛔兞恳?、拓?fù)渥儞Q二、幾個最簡單的拓?fù)洳蛔兞恳还P畫問題 平面上由曲線段構(gòu)成的一個圖形能不能一筆畫成，使得在每條線段上不重復(fù)？例如漢字“日”、“中”都是可以一筆畫出來的，而“田”和“目”則不能一筆畫成。你知道如何畫嗎？一、拓?fù)渥儞Q第一節(jié) 拓?fù)渥儞Q與拓?fù)洳蛔兞?顯然，通常的幾何方法在一筆畫問題上是沒有用的，因為“圖形能不能一筆畫成”和圖形中線段的長度、形狀等幾何概念沒有關(guān)系，要緊的是線段的數(shù)目和它們之間的關(guān)系，也就是說一筆畫問題的關(guān)鍵是圖形的整體結(jié)構(gòu)。 例如圖1-1

2、中的(a）和(b）都是“日”字的變形，都能一筆畫出；c），d）和e）都是“田”字的變形，都不能一筆畫出。第一節(jié) 拓?fù)渥儞Q與拓?fù)洳蛔兞?圖形的拓?fù)湫再|(zhì)或拓?fù)洳蛔兞渴菆D形在同胚映射下不變的性質(zhì)。因此兩個圖形若同胚就必須具有相同的拓?fù)湫再|(zhì)或拓?fù)洳蛔兞浚环粗?，若兩個圖形的拓?fù)洳蛔兞坎煌?，那么它們就一定不會同胚。二、幾個最簡單的拓?fù)洳蛔兞?、連通性與連通支的個數(shù) 從直觀上說連在一起的圖形是連通的，如果圖形由幾個不相連接的部分組成的，則圖形是不連通的，組成圖形的互不連接部分的數(shù)目稱為連通支的個數(shù)。 第一節(jié) 拓?fù)渥儞Q與拓?fù)洳蛔兞?對平面區(qū)域來說，任一封閉曲線都能連續(xù)地變形或收縮成這個區(qū)域內(nèi)的一個點，我們把具有

3、這種性質(zhì)的區(qū)域稱為單連通的。 不是單連通的區(qū)域稱為多連通的。如果沿半徑把上面圖形中的區(qū)域（）切開（如圖）得到的區(qū)域是單連通的，區(qū)域（）稱為是雙連通的。 第一節(jié) 拓?fù)渥儞Q與拓?fù)洳蛔兞?、割點與割點的個數(shù) 注意：割點和非割點的概念是一個拓?fù)湫再|(zhì)，也就是說割點在同胚映射下的象點仍然是割點，非割點在同胚映射下的象點也仍然是非割點，從而一個圖形中割點的個數(shù)是一個拓?fù)洳蛔兞?，非割點的個數(shù)也是拓?fù)洳蛔兞俊?在一個圖形上有這樣的點，去掉該點后，余下的是一個不連通的圖形，即連通支個數(shù)多于一個,具有這樣性質(zhì)的點稱為圖形的割點。例如圖中的（）. 第一節(jié) 拓?fù)渥儞Q與拓?fù)洳蛔兞?思考：下列圖形各有幾個割點？第一節(jié) 拓?fù)?/p>

4、變換與拓?fù)洳蛔兞?3、點的指數(shù) 設(shè)一個圖形是由有限條弧組成的，是這個圖形的點，從點引出的該圖形的弧的個數(shù)，叫做點在該圖形中的指數(shù)。 第一節(jié) 拓?fù)渥儞Q與拓?fù)洳蛔兞?注意：與前面類似，借助于指數(shù)的概念可以證明一些圖形是不同胚的。 第二節(jié) 多面體的歐拉公式一、歐拉公式的發(fā)現(xiàn) 由若干個平面多邊形圍成的封閉的立體叫多面體。若多面體在它的每一個面所決定的平面的一側(cè)，它就叫凸多面體。一個多面體，如果它的表面能同胚于一個球面，就稱為簡單多面體。 多面體的頂點數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，請對于上述諸多面體分別計算的值。 設(shè)簡單多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)及面數(shù)分別為、及，則-，這就是著名的關(guān)于簡單多面體的歐拉公式。 多面體V

5、EFVE+F(a)46446+4=2(b)58558+5=2(c)69569+5=2(d)8126812+6=2(e)8137813+7=2(f)1632161632+16=0(g)7128712+8=3 第二節(jié) 多面體的歐拉公式 由每一個多面體的頂點和棱所組成的圖形都是一個空間網(wǎng)絡(luò)，而且這個空間網(wǎng)絡(luò)還滿足：（3） 沒有孤立的頂點，也沒有 自由的頂點 （4）是連通的。 我們將用平面網(wǎng)絡(luò)來證明歐拉公式，有兩種思路： 第二節(jié) 多面體的歐拉公式1、剖分成三角形2、樹形證明過程：1、變成平面網(wǎng)絡(luò)，只需證明VE+F=1， 圖（a-b） ；2、剖分成三角形，圖（b-c） ；3、去掉平面網(wǎng)絡(luò)的邊界（圖（c-

6、d）；4、去掉PQR之類的三角形，保留PR，圖d-e；5、再去掉一個三角形，此時VE+F=1，圖e-f。第一種思路：以立方體為例，具體證明過程如圖所示。 第二節(jié) 多面體的歐拉公式第二種思路： 一個連通網(wǎng)絡(luò)，若不包含任何由一串棱組成的封閉折線，也就是它的棱不組成任何環(huán)路，則稱為一個樹形。 注意：樹行中V-E=1。證明思路：簡單多面體平面網(wǎng)絡(luò)樹形 第二節(jié) 多面體的歐拉公式證明過程：1、變成平面網(wǎng)絡(luò)，只需證明VE+F=1， 圖（a-b） ；2、抹去4和5兩個區(qū)域的公共棱，合并成一個區(qū)域，VE+F的值不變，圖（b-c）；3、按此方法，最后得到圖（g）。4、圖（g）為一個樹形，因此有VE+F=1。 第二

7、節(jié) 多面體的歐拉公式三、歐拉公式的應(yīng)用 歐拉公式的應(yīng)用非常廣泛，也可以滲透到許多其它學(xué)科之中，這里舉兩個比較重要的應(yīng)用。 應(yīng)用C60是由個原子組成的分子，它的結(jié)構(gòu)為簡單多面體形狀。這個多面體有個頂點，從每一個頂點都引出條棱，各面的形狀分別為五邊形或六邊形兩種。根據(jù)歐拉公式，我們可分別算出五邊形和六邊形面的個數(shù)。 可以設(shè)五邊形和六邊形的面各有個和個。 其頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù) 1/2（360） 。根據(jù)歐拉公式，可得：（）1/2（360） 第二節(jié) 多面體的歐拉公式另一方面，棱數(shù)也可以有多邊形的邊數(shù)來表示，即 1/2（5x+6y）=1/2（360） 由以上兩方程可解出：，。應(yīng)用 正多面體的種類 正多面體

8、是多面體的一種特殊情形，要求它的各頂點，各棱和各面的結(jié)構(gòu)相同，度量全等，而且還要求它的各個面都是正多邊形。 現(xiàn)在，我們應(yīng)用歐拉公式證明正多面體只有五種。 設(shè)正多面體的每個面是邊形，在每個頂點相遇的棱數(shù)是，于是必須有， ，為什么？ 可得：nF=2EF=2/n E 第二節(jié) 多面體的歐拉公式 1、當(dāng)時，由前面的等式得到 1/r-1/6=1/E 此時，只能取，三個值，分別求出，又可求出F=4，8，20，相應(yīng)的正多面體分別是正四面體，正八面體及正二十面體。 2、對于，得到 1/n-1/6=1/E同樣得到，相應(yīng)地，這些值分別對應(yīng)著正四面體，正六面體和正十二面體。 綜合來看，正多面體只有五種， 分別為：正四

9、、六、八、十二、二十面體。 第二節(jié) 多面體的歐拉公式第三節(jié) 拓?fù)渌枷氲囊恍?yīng)用哥尼斯堡七橋問題與一筆畫問題2、如果A是始點，B是終點，A的指數(shù)為奇數(shù)，B的指數(shù)也為奇數(shù)。同樣，中途點的指數(shù)也一定為偶數(shù)。AB1、如果A是始點，也是終點，A的指數(shù)為偶數(shù)。中途點的指數(shù)也一定為偶數(shù)。A第三節(jié) 拓?fù)渌枷氲囊恍?yīng)用 上一下二下一綜上所述：一筆畫定理 一個網(wǎng)絡(luò)能一筆畫的充分必要條件為它是連通的且奇頂點的個數(shù)為0或2 。哥尼斯堡七橋問題 第三節(jié) 拓?fù)渌枷氲囊恍?yīng)用 返回上兩張返回上一張一筆畫的具體路線：當(dāng)有兩個奇頂點時，從一個奇頂點出發(fā)，最后終止于另一個奇頂點，這樣的路線總可以找到；當(dāng)沒有奇頂點時，從任何一個頂點出發(fā)，最后還回到這個頂點，這樣的路線也總可以找到。一筆畫的路線問題該如何處理呢？第三節(jié) 拓?fù)渌枷氲囊恍?yīng)用 上二、將個大寫字母所表示的圖形（圖）按同胚進(jìn)行分組，使同一組內(nèi)各個圖形是同胚的，而不同組中的各圖形是不同胚的。2、就下面圖形驗證V-E+F=1。習(xí) 題3、一個簡單多面體的面都是三角形。 求證：F=2V44、已