矩陣論及其應(yīng)用-1 chapter1課件

1、Matrix Theory武文佳上海電機學(xué)院數(shù)理教學(xué)部矩陣論課程：矩陣論（Matrix Theory）學(xué)時： 36學(xué)時 （36 Lectures）教材：矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用（第版）邱啟榮 主編 考核方式：閉卷筆試矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用參考資料矩陣與計算工具：MATLAB教學(xué)參考書：矩陣論學(xué)習(xí)指導(dǎo)邱啟榮 中國電力出版社，2010矩陣論，清華大學(xué)出版社，2004。作業(yè)：課后習(xí)題作業(yè)，論文，報告。成績分配： 平時成績40%（作業(yè)+上機） 考試成績60%課程簡介矩陣論是數(shù)學(xué)的重要分支，隨著計算機的發(fā)展，矩陣?yán)碚撛陔娮有畔ⅰC械、電力、管理、金融、保險等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。矩陣論-全國工科研究生必修課知識基礎(chǔ)：

2、線性代數(shù)，高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)包含矩陣的基本知識，如定義，矩陣的初等變換，線性方程組，向量組，秩，相似矩陣，特征值，特征向量，二次型等課程內(nèi)容線性空間線性變換Jordan標(biāo)準(zhǔn)形向量與矩陣的范數(shù)矩陣分析矩陣函數(shù)及其應(yīng)用矩陣的分解廣義逆矩陣預(yù)備知識 微積分 線性代數(shù) 常微分方程 Matlab 編程 所需知識線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí)1.初等行(列)變換2.初等變換 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 ， 則齊次線性方程組沒有非零解-只有零解.4. 線性方程組的向量表示則方程組的向量表示為線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí)5. 矩陣的秩-A中非零子式的最高階數(shù)初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階

3、梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí) 線性方程組解的判定準(zhǔn)則 定理：線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí)則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)（3）設(shè)在向量組A中能選出r個向量滿足：線性無關(guān),（i）向量組A中任意 r+1 個向量(如果有的話)都線性相關(guān).（ii）則稱向量組 是向量組 A的一個極大線性無關(guān)向量組（簡稱極大無關(guān)組）（4）線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí)線性無關(guān)；（i）那么稱部分組 為向量組 A的一個設(shè) A為一個向量組，A的部分組 滿足：（ii）A的任意向量都能由 線性表示。極大無關(guān)組的等價定義:極大無關(guān)組。注:（1）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。（2）向量組的極大無關(guān)組一般

4、不是唯一的。（3）任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí) 現(xiàn)在把n維向量抽象成集合中的元素，撇開向量及其運算的具體含義，把集合對加法和數(shù)量乘法的封閉性及運算滿足的規(guī)則抽象出來，就形成了抽象的線性空間的概念，這種抽象將使我們進一步研究的線性空間的理論可以在相當(dāng)廣泛的領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用 事實上，線性空間的理論與方法己滲透到自然科學(xué)與工程技術(shù)的許多領(lǐng)域，同時對于我們深刻理解和掌握線性方程組理論和矩陣代數(shù)也有非常重要的指導(dǎo)意義。 1.1 集合與映射一、集合二、映射一、集合 把一些事物匯集到一起組成的一個整體就叫做集合；常用大寫字母A、B、C 等表示集合；當(dāng)a是集合A的元素時，a 屬

5、于A，記為： ； 當(dāng)a不是集合A的元素時，就說a不屬于A，記作： 1、定義組成集合的這些事物稱為集合的元素 用小寫字母a、b、c 等表示集合的元素 集合的表示方法：描述法、列舉法 描述法：給出這個集合的元素所具有的特征性質(zhì).列舉法：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來.例1例2 Mx | x具有性質(zhì)P Ma1，a2，an約定：空集是任意集合的子集合. 空集：不含任何元素的集合，記為 注意： 集合間的關(guān)系 如果B中的每一個元素都是A中的元素，則稱B是A的子集，記作 ，（讀作B包含于A）當(dāng)且僅當(dāng) 如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱 A與 B相等，記作AB .AB當(dāng)且僅當(dāng) 且 集合間的運算 交：

6、； 并： 顯然有，和：設(shè)A，B是兩個集合，集合稱為A與B的和集。集合的和與集合的并有什么區(qū)別?注意:稱為A與B的積。積：設(shè)A，B是兩個集合，集合 某個集合A到自身的映射也稱為A的一個變換。A在下的象的集合記作注意：1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的集合；2）對于A中的每一個元素x，B中必有一個唯一確定的元素與之對應(yīng)；3）一般說來，B中的元素不一定都是A中元素的象；4）A中不同元素的象可能相同。映射的積，1-1映射(雙射)例判斷下列映射的性質(zhì)1）Ma,b,c、M1, 2,3：(a)1，(b)1，(c)2 （不是單射，也不是滿射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，MZ，：(n)|

7、n|1,（是滿射，但不是單射） （雙射）例題第二節(jié)線性空間的定義與性質(zhì) 線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣 線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作向量空間，進而通過研究向量空間來解決實際問題一、線性空間的定義一.線性空間的定義 設(shè)V 是一個非空集合, P 是一個數(shù)域, 在集合V 中 的和，記為 ；在P與V的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法：即在V中都存在唯一的一個元素與它們對應(yīng)，稱為 的數(shù)量乘積，記為 如果加法和數(shù)量乘法還滿足下述規(guī)則，則稱V 為數(shù)域P上的線性空間：定義了一種代數(shù)運算，叫做加法:

8、 即對在V 中都存在唯一的一個元素與它們對應(yīng)，稱為如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那么 就稱為數(shù)域 上的向量空間（或線性空間）線性空間的概念是集合與運算二者的結(jié)合：判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間 說明凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，稱為線性運算同一個集合，定義兩種不同的線性運算，則構(gòu)成不同的線性空間（）一個集合，如果定義的加法和數(shù)乘運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性例 實數(shù)域上的全體 矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，記作 線性空間的判定方法通常的多項式加

9、法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律例1.2.4 給定記按 中的加法和數(shù)乘運算， 都是 上的線性空間。 例5 正弦函數(shù)的集合對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間是一個線性空間.一般地在通常的函數(shù)加法和數(shù)乘運算下構(gòu)成線性空間。定理1.2.1 零向量唯一任意向量的負向量唯一二、線性空間的性質(zhì)定義1.2.2 在線性空間V中，兩個向量 的差為 ，記作定理1.2.2 對任意向量 任意數(shù) 有：線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等.線性空間是一個集合對所定義的加法及數(shù)乘運算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運算線性空間是二維、三維幾何空間及 維向量空

10、間的推廣，它在理論上具有高度的概括性.小結(jié)1.3 維數(shù) 基與坐標(biāo)一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系 二、線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo) 三、基變換與坐標(biāo)變換如何把線性空間的全體元素表示出來？線性空間中是否有類似于幾何空間的坐標(biāo)系問題？線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西數(shù)發(fā)生聯(lián)系,使其能用比較具體的數(shù)學(xué)式子來表達？怎樣才能便于運算？問題基的問題（basis）問題坐標(biāo)（coordinate）問題一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系 1、有關(guān)定義設(shè)V 是數(shù)域 P 上的一個線性空間（1）和式 的一個線性組合稱為向量組（2） ，若存在 則稱向量 可經(jīng)向量組 線性表出；使若向量組中每一向量皆可經(jīng)向量組 線性表

11、出，則稱向量組可經(jīng)向量組 線性表出； 若兩向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組為等價的 （3），若存在不全為零的數(shù) ，使得 則稱向量組線性相關(guān)；（4）如果向量組 不是線性相關(guān)的，即只有在時才成立， 則稱線性無關(guān) （1）單個向量 線性相關(guān) 單個向量 線性無關(guān) 向量組線性相關(guān) 中有一個向量可經(jīng)其余向量線性表出. 2、有關(guān)結(jié)論（2）若向量組線性無關(guān)，且可被向量組線性表出，則 若 與 為兩線性無關(guān)的等價向量組，則 （3）若向量組線性無關(guān)，但向量組 線性相關(guān)，則 可被向量組 線性表出，且表示法唯一二、線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)注3零空間的維數(shù)定義為0.注1 線性空間的基不唯一, 即對n維線性空間來說,

12、 其中任意n個線性無關(guān)的向量組都可以作為該線性空間的一組基. 但維數(shù)唯一。注2 線性空間的基也就是線性空間的一個極大無關(guān)組.注4當(dāng)一個線性空間V中存在任意多個線性無關(guān)的向量時，則稱V為無限維的.例如：所有實系數(shù)多項式所成的線性空間Rx是無限維的。因為：對任意的正整數(shù)n，都有n個線性無關(guān)的向量常見線性空間的自然（標(biāo)準(zhǔn)）基為n維的， 線性空間Pn x 是n+1維的，且 1，x，x2，xn1，xn為Pn x的一組自然基 就是 的一組基稱為 的自然基（標(biāo)準(zhǔn)基）. 證:首先，1，x，x2，xn1 ，xn是線性無關(guān)的 1，x，x2，xn1 ，xn為Pn x的一組基，從而， Pn x是n+1維的.其次， 可

13、經(jīng) 1，x，x2，xn 線性表出 注：在基1，x，x2，xn下的坐標(biāo)就是此時，1，xa，(xa)2，(xa)n1，(xa)n也為Pn x的一組基證明：1，xa，(xa)2，(xa)n1，(xa)n是線性無關(guān)的 又對 ，按泰勒展開公式有 即,f(x)可經(jīng)1，xa，(xa)2，(xa)n線性表出.1，xa，(xa)2，(xa)n為Pn x 的一組基 在基1，xa，(xa)2，(xa)n下的坐標(biāo)是 例1.3.9 所有二階實矩陣組成的集合 ，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域 上的一個線性空間對于 中的矩陣 一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。但坐

14、標(biāo)表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標(biāo)表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標(biāo)所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。更進一步，原本抽象的“加法”及 “數(shù)乘”經(jīng)過坐標(biāo)表示就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)乘。 例1.3.10 求 的極大線性無關(guān)組。 解：向量組在自然基因此的極大線性無關(guān)組為例1.3.11、求 中的多項式組 的秩和一個極大線性無關(guān)組。（一）、向量的形式書寫法 （二）、基變換（三）、坐標(biāo)變換 三、基變換與坐標(biāo)變換在n維線性空間V中，任意n個線性無關(guān)的向量都可取作線性空間V的一組基V中任一向量在某一組基下的坐標(biāo)是唯一確定的，但是在不同基下的坐標(biāo)一般是不同的因此在處理一些問題是時，如何選擇適當(dāng)?shù)幕刮?/p>

15、們所討論的向量的坐標(biāo)比較簡單是一個實際的問題問題：同一向量在不同基下的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系，即隨著基的改變，向量的坐標(biāo)是如何變化的？（一）向量的形式書寫法 1、V為數(shù)域P上的 n 維線性空間， 為V 中的一組向量， ，若 則形式地記作約定向量矩陣則形式地記作 2、V為數(shù)域 P 上 n 維線性空間， ；為V中的兩組向量，若1、定義設(shè)V為數(shù)域P上n維線性空間，； 為V中的兩組基，若即， (二) 基變換則稱矩陣 為由基 到基 的過渡矩陣；稱 或 為由基 到基的基變換公式 通過過渡矩陣，建立了任意兩組基之間的關(guān)系引理 設(shè) 是一組線性無關(guān)的向量，A是一個n階矩陣，令則 線性無關(guān)的充要條件是A可逆。2、有關(guān)

16、性質(zhì)1）過渡矩陣都是可逆矩陣；反過來，任一可逆矩陣都可看成是兩組基之間的過渡矩陣2）若由基 過渡矩陣為A,則由基 過渡矩陣為A-1.3）若由基 過渡矩陣為A,由基 過渡矩陣為B，則由基 過渡矩陣為AB.事實上,若則有，若兩個基滿足關(guān)系式(三) 坐標(biāo)變換公式則有坐標(biāo)變換公式或兩組基的過渡矩陣-相應(yīng)坐標(biāo)之間的關(guān)系知道兩組坐標(biāo)，可求兩組基之間的過渡矩陣知道過渡矩陣，可研究兩組坐標(biāo)的關(guān)系證明習(xí)題思路（1）建立其與標(biāo)準(zhǔn)基的關(guān)系，標(biāo)準(zhǔn)基已知，通過研究過渡矩陣，證明其為基。（2）求坐標(biāo)，已知 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基的坐標(biāo)，則通過過渡矩陣，求解。關(guān)鍵：標(biāo)準(zhǔn)基 過渡矩陣，則2）顯然，則1.4 線性子空間一.線性子空間的定義

17、二.子空間的交與和1、線性子空間的定義1.4.1設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，集合 若W對于V 中定義的加法和數(shù)乘也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間, 則稱W 為V 的一個線性子空間，簡稱為子空間注： 線性子空間也是數(shù)域P 上一線性空間，它也 任一線性子空間的維數(shù)不能超過整個空間的有基與維數(shù)的概念. 維數(shù).一、線性子空間2、線性子空間的判定 ，若W對于V中兩種運算封閉，即 則W是V的一個子空間 證明：要證明W也為數(shù)域P上的線性空間，即證 W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則 定理1.4.1：設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，集合 一、線性子空間 ， .且對 ， 由數(shù)乘運算封閉，有 ，即W中元素的負元素就是它在V中

18、的負元素，4）成立就是V中的零元， 3）成立由于 ，規(guī)則1）、2）、5）、6）、7）、8）是顯然成立的下證3）、4）成立 由加法封閉，有 ,即W中的零元一、線性子空間一、線性子空間一、線性子空間一、線性子空間也為V 的子空間，設(shè)V1、V2為線性空間V 的子空間，則集合 二、子空間的交與和1.定理1.4.2稱之為V1與V2的交空間.2.定理1.4.3設(shè)V1、V2為線性空間V 的子空間，則集合 也為V 的子空間，稱之為V1與V2的和空間.稱其為V的由 所生成的子空間，定義：V為數(shù)域P上的線性空間， 則子空間 ，記作 稱 為 的一組生成元.3.一個重要的子空間生成子空間或記作 二、子空間的交與和有關(guān)

19、結(jié)論（性質(zhì)）二、子空間的交與和定理1.4.5的充要條件為與等價二、子空間的交與和二、子空間的交與和有關(guān)結(jié)論（性質(zhì)）定理1.4.6線性空間的維數(shù)等于向量組的秩。證明設(shè)的秩為r,并設(shè)為它的一個極大線性無關(guān)向量組，則與等價，所以，均有有關(guān)結(jié)論（性質(zhì)）定理1.4.7（基擴充定理）設(shè)W是n維線性空間V的一個r維子空間，是W的一個基，則V中存在n-r個向量使得為V的一個基。特別地，n維線性空間V中任意n個線性無關(guān)的向量都可以取作基。(證明：用數(shù)學(xué)歸納法，此處略)它擴充為P4的一組基，其中例 求 的維數(shù)與一組基，并把解：對以為列向量的矩陣A作初等行變換二、子空間的交與和由B知，為 的一個極大故，維 3，就是

20、 的一組基.無關(guān)組.二、子空間的交與和則 線性無關(guān)，從而為P4的一組基.二、子空間的交與和例1.4.9、已知 求 的子空間 的基與維數(shù)。 二、子空間的交與和二、子空間的交與和定理1.4.8設(shè) 為線性空間V的兩個子空間，則推論1.4.2：設(shè) 為 n 維線性空間V的兩個子空間，若 ，則 必含非零的公共向量. 即中必含有非零向量.故為非零子空間，必含有非零向量.二、子空間的交與和三、子空間的交與和-直和設(shè) 為線性空間V的兩個子空間，若和是唯一的，和就稱為直和，記作 中每個向量的分解式(一)、直和的定義注:若有 則 分解式 唯一的，意即 三、子空間的交與和-直和三、子空間的交與和-直和(二)、直和的判

21、定三、子空間的交與和-直和分解式唯一，即若1.定理1.4.9(1) 和是直和的充要條件是零向量則必有證：必要性. 是直和, 的分解式唯一.而0有分解式充分性. 故是直和. 設(shè)，它有兩個分解式有其中 于是 由零向量分解式唯一，且即 的分解式唯一. (二)、直和的判定2.定理1.4.9(2) 和是直和 則有 即 是直和. “”任取 證：“”若 于是零向量可表成 由于是直和，零向量分解式唯一， 故(二)、直和的判定證：由維數(shù)公式3.定理1.4.10 和 是直和 有，是直和.（由thm1.4.9得之）(二)、直和的判定總之，設(shè) 為線性空間V 的子空間，則下面四個條件等價:2）零向量分解式唯一1）是直和

22、 3）4）(二)、直和的判定4.定理1.4.11設(shè)U是線性空間V的一個子空間，稱這樣的W為U的一個余子空間(補空間). 則必存在一個子空間W，使 (二)、直和的判定一、歐氏空間的定義二、歐氏空間中向量的長度三、歐氏空間中向量的夾角.內(nèi)積空間（歐氏空間）四、正交向量組六、線性空間的同構(gòu)五、標(biāo)準(zhǔn)正交基問題的引入：性質(zhì)(如長度、夾角)等在一般線性空間中沒有涉及.其具體模型為幾何空間 、 1、線性空間中，向量之間的基本運算為線性運算，但幾何空間的度量長度：都可以通過內(nèi)積反映出來：夾角：2、在解析幾何中，向量的長度，夾角等度量性質(zhì)3、幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì).滿足性質(zhì)：當(dāng)且僅當(dāng) 時一、

23、內(nèi)積（歐氏）空間的定義1. 定義1.5.1設(shè)V是實數(shù)域 R上的線性空間，對V中任意兩個向量、定義一個二元實函數(shù)，記作 ，若（對稱性）（數(shù)乘）（可加性）（正定性） V為實數(shù)域 R上的線性空間; V除向量的線性運算外，還有“內(nèi)積”運算; 內(nèi)積（歐氏）空間 V是特殊的線性空間則稱 為 和 的內(nèi)積，并稱這種定義了內(nèi)積的實數(shù)域 R上的線性空間V為內(nèi)積（歐氏）空間.注：例1在 中，對于向量 所以 為內(nèi)積.這樣 對于內(nèi)積就成為一個歐氏空間.易證 滿足定義中的性質(zhì).1）定義 （1） 2）定義 所以 也為內(nèi)積.從而 對于內(nèi)積也構(gòu)成一個歐氏空間.由于對 未必有注意：所以1），2）是兩種不同的內(nèi)積.從而 對于這兩種

24、內(nèi)積就構(gòu)成了不同的歐氏空間.易證 滿足定義中的性質(zhì).例2 為閉區(qū)間 上的所有實連續(xù)函數(shù)所成線性空間，對于函數(shù) ，定義（2） 則 對于（2）構(gòu)成一個歐氏空間.證： 且若則從而 故 因此， 為內(nèi)積， 為歐氏空間.推廣： 2. 內(nèi)積的簡單性質(zhì)V為歐氏空間，2) 歐氏空間V中，使得 有意義.二、歐氏空間中向量的長度1. 引入長度概念的可能性1）在 向量的長度（模） 2. 向量長度的定義稱為向量 的長度.特別地，當(dāng) 時，稱 為單位向量. 3. 向量長度的簡單性質(zhì)3）非零向量 的單位化： （3） 設(shè)V為歐氏空間， 為V中任意兩非零向量， 的夾角定義為 1. 歐氏空間中兩非零向量的夾角定義1：三、歐氏空間中向量的夾角 零向量與任意向量正交.注： 即 .設(shè) 為歐氏空間中兩個向量，若內(nèi)積 則稱 與 正交或互相垂直，記作 定義2：例 已知 在通常的內(nèi)積定義下，求解： 又 通常稱為與的距離，記作四、正交向量組1）非零正交向量組必是線性無關(guān)向量組.3） 維歐氏空間中正交向量組所含向量個數(shù)2） 歐氏空間中線性無關(guān)向量組