【課件】橢圓的幾何性質-弦長探究 課件-2022-2023學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1、3.1.2 橢圓幾何性質探究 弦長人教版.高中二年級.數(shù)學素 養(yǎng) 目 標學 科 素 養(yǎng)1.根據(jù)弦長公式，能夠求出過特殊點的直線與橢圓所截的弦長(重點)2.能夠熟練運用點差法，計算與中點弦相關的問題.3.通過對橢圓中弦長問題的探究，讓學生進一步體會分類討論、類比、從特殊到一般的數(shù)學思想(重點、難點)1、直觀想象2、數(shù)學運算3、邏輯推理學習目標焦點位置x軸y軸方程圖形范圍對稱性頂點離心率復習：橢圓的簡單幾何性質：F1F2MxyOB2B1A1A2F1F2MxyOB2B1A1A21.什么是橢圓的通徑？2.橢圓的第二定義是什么？3.直線與橢圓相交的弦長公式？溫故知新 如圖示，若直線l與橢圓交于A, B兩

2、點，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元，得到關于x(或y)的一元二次方程，然后運用兩點間距離公式及根與系數(shù)的關系，即可求弦長，具體公式為：其中k為直線l的斜率, a是方程組消元后的一元二次方程的二次項系數(shù), 是判別式.弦長公式：OxyF2lF1ABExploration2探究2. 橢圓第二定義的相關結論探究3. 中點弦問題 3探究1. 橢圓上的點到中心的最短（最長）距離1探究1. 橢圓上的點到中心的最短（最長）距離 對于圓，我們知道圓上的點到中心的距離相等，那么對于橢圓，會有什么類似的結論？猜想：橢圓上的頂點到中心可能會出現(xiàn)最值.對于焦點在x軸上的橢圓方程 ，為了表示橢圓上的點，類比圓心在原點的圓的

3、參數(shù)方程，我們可以得到其所對應的的參數(shù)方程：法一：設橢圓上點A的坐標 ，橢圓中心O坐標（0，0），根據(jù)平面上兩點之間的距離公式，可得：拓展：若直線的斜率一定，則當直線過橢圓的中心時，弦長最大.小結: （1）橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點（最小值為短半軸長 ），到中心距離最大的點是長軸的兩個端點（最大值為長半軸長 ）.（2）根據(jù)橢圓的對稱性，可得：過橢圓中心的所有弦長中，最短弦長為 ，最長弦長為 .探究2. 橢圓第二定義的相關結論例1 動點M(x, y)與定點F(4, 0)的距離和M到定直線l : 的距離的比是常數(shù) 求動點M的軌跡.（特殊情形）解：OxyMHFld所以點M 的軌跡是長軸

4、長、短軸長為10、6的橢圓.證明： 平面內的動點M(x, y)到定點F(c, 0)的距離與它到定直線 的距離的比是常數(shù) 則點M的軌跡是橢圓.（一般情形）OxyMHFldlF橢圓的第二定義：（課本117頁）即點M 的軌跡是長軸長、短軸長分別為 的橢圓.橢圓的第二定義：（課本117頁）OxyMHFldlF 平面內的動點M(x, y)到定點F(c, 0)的距離與它到定直線 的距離的比是常數(shù) 則點M的軌跡是橢圓.其中，定點F(c,0)是橢圓的焦點； 定直線 叫做橢圓的準線； 常數(shù) 是橢圓的離心率.證明：說明：|PF1|, |PF2|稱為橢圓的焦半徑，此公式稱為焦半徑公式 .焦半徑公式：yxF2F1OP

5、焦半徑公式：yxF2F1OPyxF2F1OM近日點距離遠日點距離變式 1(高考題)把橢圓 的長軸AB分成8等分, 過每個分點作x軸的垂線, 交橢圓的上半部于P1、P2、. P7七個點, F是橢圓的一個焦點, 則 |P1F| + |P2F| + + |P7F| = _.OxyFP1BAP2P3P4P6P5P7解1: 解2: FB變式2 某月球探測器發(fā)射后順利進入了以月球求新為一個焦點的橢圓形軌道，近月點與月球表面的距離為100km,遠月點與月球表面的距離為400km.已知月球的直徑為3476km，則該橢圓軌道的離心率約為（ ）B過橢圓焦點的弦長問題: 綜上可得：對于過焦點的直線，當直線的斜率不存

6、在時，最短弦長為通徑 ；當直線的斜率為 0 時，最長弦長為長軸長 ，其余的焦點弦的長度介于兩者之間.小結:例2 如圖示, 一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面)的一部分, 過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分 . 已知BCF1F2 , |F1B|=2.8 cm, |F1F2|=4.5 cm. 試建 立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼? 求截口BAC所在橢圓的方程(精確到0.1 cm).解: 建立如圖所示的平面直角坐標系, 設所求橢圓方程為在RtBF1F2中，由橢圓的性質知，所以，所求的橢圓方程為 探究3 中點弦問題 : (點差法)OxyF2lF1PBA例3 過橢圓 內一點 引一條弦，使弦被P點平分，則這條弦所在直線l的方程為_.解: 變式3 (新課標全國卷) 已知橢圓E： 的右焦點為F(3,0), 過點F的直線交E于A, B兩點. 若AB的中點坐標為(1,1), 則E的方程為 () D1. 通徑: 若過橢圓 的其中一個焦點垂直于焦點所在坐標軸的直線與橢圓交于P, Q兩點, 則| PQ|叫做橢圓的通徑, 且課堂小結：2. 弦長公式: 若直線 與橢圓 交于A(x1, y1), B(x2, y2)兩點, 則3.橢圓的第二定義以及焦半徑公式：5. 中點弦斜率公式: 若直線 與橢圓 交于A(x1, y1), B(x2